संख्या

एक संख्या एक गणितीय वस्तु है जिसका उपयोग गिनती, माप और नाममात्र संख्या के लिए किया जाता है।मूल उदाहरण प्राकृतिक संख्या 1, 2, 3, 4, और आगे हैं।^[1] संख्या शब्दों के साथ भाषा में संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।अधिक सार्वभौमिक रूप से, व्यक्तिगत संख्याओं को प्रतीकों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिन्हें अंक कहा जाता है;उदाहरण के लिए, 5 एक अंक है जो 5 का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि केवल अपेक्षाकृत कम संख्या में प्रतीकों को याद किया जा सकता है, बुनियादी अंक आमतौर पर एक अंक प्रणाली में व्यवस्थित होते हैं, जो किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक संगठित तरीका है।सबसे आम अंक प्रणाली हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली है, जो दस मौलिक संख्यात्मक प्रतीकों के संयोजन का उपयोग करके किसी भी संख्या के प्रतिनिधित्व के लिए अनुमति देती है, जिसे संख्यात्मक अंक कहा जाता है।^[2]^{[lower-alpha 1]} गिनती और मापने में उनके उपयोग के अलावा, अंकों का उपयोग अक्सर लेबल के लिए (टेलीफोन नंबर के साथ) के लिए किया जाता है, ऑर्डर करने के लिए (क्रमिक संख्या के साथ), और कोड के लिए (जैसा कि आईएसबीएन के साथ)।सामान्य उपयोग में, एक अंक स्पष्ट रूप से उस संख्या से अलग नहीं है जो यह प्रतिनिधित्व करता है।

गणित में, 0 (0) को शामिल करने के लिए सदियों से एक संख्या की धारणा को बढ़ाया गया है,^[3] नकारात्मक संख्या,^[4] तर्कसंगत संख्या जैसे कि एक आधा $\left({\tfrac {1}{2}}\right)$ , वास्तविक संख्या जैसे कि 2 का वर्गमूल $\left({\sqrt {2}}\right)$ और पीआई | $π$ ,^[5] और जटिल संख्या^[6] जो एक काल्पनिक इकाई के साथ वास्तविक संख्याओं का विस्तार करते हैं | वर्गमूल का रूट $-1$ (और इसके गुणकों को जोड़कर या घटाने से वास्तविक संख्या के साथ इसके संयोजन)।^[4]संख्याओं के साथ गणना [[अंकगणितीय संचालन]] के साथ की जाती है, सबसे परिचित होने के अलावा, घटाव, गुणन, विभाजन (गणित), और घातांक।उनके अध्ययन या उपयोग को अंकगणित कहा जाता है, एक शब्द जो संख्या सिद्धांत, संख्याओं के गुणों के अध्ययन का भी उल्लेख कर सकता है।

उनके व्यावहारिक उपयोगों के अलावा, संख्याओं का दुनिया भर में सांस्कृतिक महत्व है।^[7]^[8] उदाहरण के लिए, पश्चिमी समाज में, 13 (संख्या) को अक्सर अशुभ माना जाता है, और एक मिलियन एक सटीक मात्रा के बजाय बहुत अधिक संकेत दे सकता है।^[7]यद्यपि इसे अब छद्म विज्ञान के रूप में माना जाता है, संख्या के एक रहस्यमय महत्व में विश्वास, जिसे अंक विज्ञान के रूप में जाना जाता है, प्राचीन और मध्ययुगीन विचार को अनुमति दी जाती है।^[9] न्यूमेरोलॉजी ने ग्रीक गणित के विकास को बहुत प्रभावित किया, संख्या सिद्धांत में कई समस्याओं की जांच को उत्तेजित किया जो आज भी रुचि के हैं।^[9]

19 वीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने कई अलग -अलग अमूर्तता विकसित करना शुरू कर दिया, जो संख्याओं के कुछ गुणों को साझा करते हैं, और अवधारणा को विस्तारित करने के रूप में देखा जा सकता है।पहले हाइपरकम्प्लेक्स संख्या थे, जिसमें जटिल संख्या प्रणाली के विभिन्न एक्सटेंशन या संशोधन शामिल थे।आधुनिक गणित में, संख्या प्रणालियों को अधिक सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं जैसे रिंग (गणित) और क्षेत्र (गणित) के महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण माना जाता है, और शब्द संख्या का अनुप्रयोग मौलिक महत्व के बिना, सम्मेलन का मामला है।^[10]

इतिहास

अंक

संख्याओं को अंकों से अलग किया जाना चाहिए, संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों।मिस्रियों ने पहले सिफर्ड अंक प्रणाली का आविष्कार किया, और यूनानियों ने इओनियन और डोरिक अक्षर पर अपनी गिनती संख्याओं को मैप करने के बाद यूनानियों को आविष्कार किया।^[11] रोमन अंकों, एक प्रणाली, जो रोमन वर्णमाला से अक्षरों के संयोजन का उपयोग करती थी, 14 वीं शताब्दी के अंत में श्रेष्ठ हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली के प्रसार तक यूरोप में प्रमुख रही, और हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे आम प्रणाली बनी हुई हैआज दुनिया में संख्या।^[12]^{[better source needed]} सिस्टम की प्रभावशीलता की कुंजी शून्य के लिए प्रतीक था, जिसे प्राचीन भारतीय गणित द्वारा 500 ईस्वी के आसपास विकसित किया गया था।^[12]

संख्याओं का पहला उपयोग

हड्डियों और अन्य कलाकृतियों की खोज उनमें कटौती के साथ की गई है कि कई लोगों का मानना है कि टैली के निशान हैं।^[13] इन टैली के निशान का उपयोग बीते समय की गिनती के लिए किया जा सकता है, जैसे कि दिन की संख्या, चंद्र चक्र या मात्रा के रिकॉर्ड रखने, जैसे कि जानवरों की।

एक टैली सिस्टम में जगह मूल्य (आधुनिक दशमलव संकेतन में) की कोई अवधारणा नहीं है, जो बड़ी संख्या के अपने प्रतिनिधित्व को सीमित करता है।बहरहाल, टैली सिस्टम को पहले प्रकार का अमूर्त अंक प्रणाली माना जाता है।

स्थान मूल्य के साथ पहली ज्ञात प्रणाली माप की प्राचीन मेसोपोटामियन इकाइयाँ थीं। मेसोपोटामियन बेस & nbsp; 60 सिस्टम (c. 3400& nbsp; bc) और सबसे पहले ज्ञात आधार & nbsp; 10 सिस्टम की तारीखों को 3100 & nbsp; मिस्र में bc।^[14]

शून्य

628 ईस्वी के लिए शून्य तिथियों का पहला ज्ञात प्रलेखित उपयोग, और भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त के मुख्य कार्य ब्रोहमस्फुसिद्धान्टा में दिखाई दिया।उन्होंने एक संख्या के रूप में & nbsp; 0 का इलाज किया और इसे शामिल करने वाले संचालन पर चर्चा की, जिसमें शून्य द्वारा विभाजन भी शामिल है।इस समय तक (7 वीं & nbsp; सेंचुरी) अवधारणा स्पष्ट रूप से कंबोडिया तक खमेर अंकों के रूप में पहुंच गई थी, और प्रलेखन ने बाद में चीन और इस्लामी दुनिया में फैलने के विचार को दिखाया।

File:Khmer Numerals - 605 from the Sambor inscriptions.jpg

खमेर अंकों में 605 नंबर, 683 ईस्वी से एक शिलालेख से।दशमलव आकृति के रूप में शून्य का प्रारंभिक उपयोग।

ब्रह्मगुप्त की ब्रहमस्फुसिधान्ता पहली पुस्तक है जो शून्य का उल्लेख एक संख्या के रूप में करती है, इसलिए ब्रह्मगुप्त को आमतौर पर शून्य की अवधारणा को बनाने के लिए पहला माना जाता है।उन्होंने नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं के साथ शून्य का उपयोग करने के नियम दिए, जैसे कि शून्य प्लस एक सकारात्मक संख्या एक सकारात्मक संख्या है, और एक नकारात्मक संख्या प्लस शून्य नकारात्मक संख्या है।Brāhmasphuṭasiddhantta शून्य को अपने आप में एक संख्या के रूप में इलाज करने के लिए जल्द से जल्द ज्ञात पाठ है, बजाय एक दूसरे नंबर का प्रतिनिधित्व करने में केवल एक प्लेसहोल्डर अंक के रूप में, जैसा कि बेबीलोनियों द्वारा किया गया था या मात्रा की कमी के लिए एक प्रतीक के रूप में, जैसा कि टॉलेमी द्वारा किया गया था औररोम वासी।

एक संख्या के रूप में 0 के उपयोग को जगह-मूल्य प्रणालियों में एक प्लेसहोल्डर अंक के रूप में इसके उपयोग से अलग किया जाना चाहिए।कई प्राचीन ग्रंथों का उपयोग & nbsp; 0।बेबीलोन और मिस्र के ग्रंथों ने इसका इस्तेमाल किया।मिस्रियों ने शून्य & nbsp; डबल-एंट्री बहीखाता प्रणाली में संतुलन को निरूपित करने के लिए एनएफआर शब्द का उपयोग किया।भारतीय ग्रंथों ने एक संस्कृत शब्द का इस्तेमाल किया Shunye या shunya शून्य की अवधारणा का उल्लेख करने के लिए।गणित के ग्रंथों में यह शब्द अक्सर संख्या शून्य को संदर्भित करता है।^[15] इसी तरह की नस में, Pānini (5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व) ने अष्टाध्यायी में NULL (शून्य) ऑपरेटर का उपयोग किया, जो संस्कृत भाषा के लिए एक औपचारिक व्याकरण का एक प्रारंभिक उदाहरण (पिंगला भी देखें)।

ब्रह्मगुप्त से पहले शून्य के अन्य उपयोग हैं, हालांकि दस्तावेज उतना पूरा नहीं है जितना कि यह ब्रोहमस्फुसिदहन्टा में है।

रिकॉर्ड बताते हैं कि प्राचीन ग्रीस & nbsp की स्थिति के बारे में अनिश्चित लग रहा था; 0 एक संख्या के रूप में: उन्होंने खुद से पूछा कि 'कुछ भी नहीं' कुछ कैसे हो सकता है?दिलचस्प दार्शनिक के लिए अग्रणी और, मध्ययुगीन काल तक, & nbsp; 0 और खालीपन की प्रकृति और अस्तित्व के बारे में धार्मिक तर्क।एले के ज़ेनो के ज़ेनो के विरोधाभास & nbsp; 0 की अनिश्चित व्याख्या पर निर्भर करते हैं।(प्राचीन यूनानियों ने यह भी सवाल किया कि क्या & nbsp;1 एक संख्या थी।)

दक्षिण-मध्य मेक्सिको के स्वर्गीय ऑल्मेक लोगों ने नई दुनिया में शून्य, एक शेल ग्लाइफ ़ के लिए एक प्रतीक का उपयोग करना शुरू कर दिया, संभवतः द्वारा 4th century BC लेकिन निश्चित रूप से 40 & nbsp; bc द्वारा, जो माया अंकों और माया कैलेंडर का एक अभिन्न अंग बन गया।माया अंकगणित का उपयोग किया गया आधार & nbsp; 4 और आधार & nbsp; 5 आधार के रूप में लिखा गया था & nbsp; 20।1961 में जॉर्ज आई। सैंचेज़ ने एक आधार & nbsp; 4, बेस & nbsp; 5 फिंगर एबाकस की सूचना दी।^[16]^{[better source needed]} 130 ईस्वी तक, टॉलेमी, हिप्पार्चस और बेबीलोनियों से प्रभावित, & nbsp के लिए एक प्रतीक का उपयोग कर रहा था; 0 (एक लंबे ओवरबार के साथ एक छोटा सा सर्कल) एक साठवाँ अंक प्रणाली के भीतर अन्यथा अल्फाबेटिक ग्रीक अंकों का उपयोग कर रहा था।क्योंकि यह अकेले इस्तेमाल किया गया था, न कि केवल एक प्लेसहोल्डर के रूप में, यह ग्रीक अंक#हेलेनिस्टिक ज़ीरो पुरानी दुनिया में एक सच्चे शून्य का पहला प्रलेखित उपयोग था।बाद के बीजान्टिन साम्राज्य में उनके सिंटैक्सिस मैथेमेटिका (अल्मागेस्ट) की पांडुलिपियों में, हेलेनिस्टिक शून्य ने ग्रीक वर्णमाला ऑमिक्रॉन (अन्यथा अर्थ और nbsp; 70) में रूपांतरित किया था।

एक और सच्चे शून्य का उपयोग रोमन अंकों के साथ टेबल में किया गया था। nulla मतलब कुछ भी नहीं, एक प्रतीक के रूप में नहीं।जब विभाजन का उत्पादन किया गया & nbsp; 0 एक शेष के रूप में, nihil, यह भी कुछ भी नहीं, इस्तेमाल किया गया था।इन मध्ययुगीन शून्य का उपयोग भविष्य के सभी मध्ययुगीन कम्प्यूटस (ईस्टर के कैलकुलेटर) द्वारा किया गया था।उनके प्रारंभिक, एन का एक अलग उपयोग, बेडे या एक सहयोगी द्वारा रोमन अंकों की एक तालिका में 725, एक सच्चे शून्य प्रतीक के बारे में उपयोग किया गया था।

नकारात्मक संख्या

नकारात्मक संख्याओं की अमूर्त अवधारणा को चीन में 100-50 ईसा पूर्व की शुरुआत में मान्यता दी गई थी।गणितीय कला पर नौ अध्यायों में आंकड़े के क्षेत्रों को खोजने के तरीके हैं;लाल छड़ का उपयोग सकारात्मक गुणांक को निरूपित करने के लिए किया गया था, नकारात्मक के लिए काला।^[17] एक पश्चिमी कार्य में पहला संदर्भ ग्रीस में 3 & nbsp; सेंचुरी ईस्वी में था।डायोफेंटस ने समीकरण के समकक्ष संदर्भित किया 4x + 20 = 0 (समाधान नकारात्मक है) अंकगणित में, यह कहते हुए कि समीकरण ने एक बेतुका परिणाम दिया।

600 के दशक के दौरान, ऋण का प्रतिनिधित्व करने के लिए भारत में नकारात्मक संख्या का उपयोग किया गया था।डायोफेंटस के पिछले संदर्भ पर 628 में ब्राहमस्फुसिद्दान्टा में भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से चर्चा की गई थी, जिन्होंने आज के उपयोग में रहने वाले सामान्य रूप से द्विघात फार्मूले का उत्पादन करने के लिए नकारात्मक संख्याओं का उपयोग किया था।हालाँकि, भारत में 12 वीं & nbsp; सदी में, भस्कारा II द्विघात समीकरणों के लिए नकारात्मक जड़ें देता है, लेकिन कहता है कि नकारात्मक मूल्य इस मामले में नहीं लिया जाना है, क्योंकि यह अपर्याप्त है;लोग नकारात्मक जड़ों को मंजूरी नहीं देते हैं।

अधिकांश भाग के लिए, यूरोपीय गणितज्ञों ने 17 वीं & nbsp; सेंचुरी तक नकारात्मक संख्याओं की अवधारणा का विरोध किया, हालांकि फाइबोनैचि ने वित्तीय समस्याओं में नकारात्मक समाधान की अनुमति दी, जहां उन्हें ऋण के रूप में व्याख्या की जा सकती है (अध्याय & nbsp; 13 द बुक ऑफ द एबाकस, 1202) और बाद में नुकसान के रूप में (में Flos)।रेने डेसकार्टेस ने उन्हें झूठी जड़ें कही क्योंकि वे बीजगणितीय बहुपदों में फसली थीं, फिर भी उन्हें सच्ची जड़ों और झूठी जड़ों को भी स्वैप करने का एक तरीका मिला।इसी समय, चीनी इसी सकारात्मक संख्या के अंक के दाहिने-सबसे गैर-शून्य अंक के माध्यम से एक विकर्ण स्ट्रोक को खींचकर नकारात्मक संख्याओं का संकेत दे रहे थे।^[18] एक यूरोपीय काम में नकारात्मक संख्याओं का पहला उपयोग निकोलस चौक्वेट द्वारा 15 वीं & nbsp; सेंचुरी के दौरान था।उन्होंने उन्हें घातांक के रूप में इस्तेमाल किया, लेकिन उन्हें बेतुका संख्या के रूप में संदर्भित किया।

हाल ही में 18 वीं शताब्दी के रूप में, इस धारणा पर समीकरणों द्वारा लौटे किसी भी नकारात्मक परिणाम को अनदेखा करना आम बात थी कि वे अर्थहीन थे।

तर्कसंगत संख्याएँ

यह संभावना है कि भिन्नात्मक संख्याओं की अवधारणा प्रागैतिहासिक समय की तारीख है।प्राचीन मिस्रियों ने अपने मिस्र के अंश संकेतन का इस्तेमाल गणितीय ग्रंथों में तर्कसंगत संख्याओं के लिए किया, जैसे कि Rhind गणितीय पेपिरस और काहुन पपीरस।शास्त्रीय ग्रीक और भारतीय गणितज्ञों ने संख्या सिद्धांत के सामान्य अध्ययन के हिस्से के रूप में तर्कसंगत संख्याओं के सिद्धांत का अध्ययन किया।^[19] इनमें से सबसे प्रसिद्ध यूक्लिड के तत्व हैं। Euclid के तत्व, लगभग 300 & nbsp; bc के लिए डेटिंग।भारतीय ग्रंथों में से, सबसे प्रासंगिक स्टैनंगा सूत्र है, जो गणित के एक सामान्य अध्ययन के हिस्से के रूप में संख्या सिद्धांत को भी शामिल करता है।

दशमलव अंशों की अवधारणा दशमलव स्थान-मूल्य संकेतन के साथ निकटता से जुड़ी हुई है;लगता है कि दोनों मिलकर विकसित हुए हैं।उदाहरण के लिए, नीलन का सूत्र के लिए यह आम है कि अनुकरणीय आई या 2 के वर्गमूल के लिए दशमलव-अंश सन्निकटन की गणना शामिल करें।^{[citation needed]} इसी तरह, बेबीलोनियन गणित के ग्रंथों ने महान आवृत्ति के साथ सेक्सजैमिमल (बेस एंड एनबीएसपी; 60) अंशों का उपयोग किया।

तर्कहीन संख्या

800 और 500 & nbsp; ईसा पूर्व के बीच रचित भारतीय गणित सुलबा सूत्रों में तर्कहीन संख्याओं का सबसे पहले ज्ञात उपयोग था।^[20]^{[better source needed]} तर्कहीन संख्याओं के पहले अस्तित्व के प्रमाण आमतौर पर पाइथागोरस के लिए जिम्मेदार होते हैं, विशेष रूप से पाइथागोरसिज़्म हिपपासस के लिए, जिन्होंने वर्गमूल की अतार्किकता का एक (सबसे अधिक संभावना ज्यामितीय) प्रमाण का उत्पादन किया। कहानी यह है कि हिप्पासस ने हिप्पासस की खोज की, जब कोशिश की जा रही है जब कोशिश की जा रही है तो कोशिश की जा रही है कि जब तक हिप्पस ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की, जब कोशिश की जा रही है तो कोशिश की जा रही है कि जब हिप्पस ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की, तो कोशिश की जा रहीएक अंश के रूप में 2 के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करें।हालांकि, पाइथागोरस संख्याओं की निरपेक्षता में विश्वास करते थे, और तर्कहीन संख्या के अस्तित्व को स्वीकार नहीं कर सकते थे।वह तर्क के माध्यम से अपने अस्तित्व को नापसंद नहीं कर सकता था, लेकिन वह तर्कहीन संख्या को स्वीकार नहीं कर सकता था, और इसलिए, कथित तौर पर और अक्सर रिपोर्ट किया गया, उसने हिप्पासस को डूबने की सजा सुनाई, इस विस्मयादिबोधक समाचार को फैलाने के लिए।^[21]^{[better source needed]} 16 वीं शताब्दी ने नकारात्मक संख्या अभिन्न और अंश (गणित) संख्याओं की अंतिम यूरोपीय स्वीकृति लाई।17 वीं & nbsp द्वारा;सेंचुरी, गणितज्ञों ने आमतौर पर आधुनिक संकेतन के साथ दशमलव अंशों का इस्तेमाल किया।हालांकि, यह 19 वीं शताब्दी तक नहीं था कि गणितज्ञों ने तर्कहीनों को बीजगणितीय और पारलौकिक भागों में अलग कर दिया, और एक बार फिर अतार्किक के वैज्ञानिक अध्ययन को शुरू किया।यह यूक्लिड के बाद से लगभग निष्क्रिय रहा था।1872 में, कार्ल वीमर स्ट्रैस के सिद्धांतों का प्रकाशन (उनके शिष्य ई। कोसाक द्वारा), एडुआर्ड हाइन,^[22] जॉर्ज कैंटर,^[23] और रिचर्ड डेडेकिंड^[24] के बारे में लाया गया था।1869 में, चार्ल्स मेरे ने हेइन के रूप में प्रस्थान के एक ही बिंदु को लिया था, लेकिन सिद्धांत को आम तौर पर वर्ष 1872 में संदर्भित किया जाता है। वेयरस्ट्रास की विधि पूरी तरह से साल्वटोर पिंचरेल (1880) द्वारा निर्धारित की गई थी, और डेडेकिंड कट लेखक के बाद के काम के माध्यम से अतिरिक्त प्रमुखता मिली है।(1888) और पॉल टैनरी (1894) द्वारा समर्थन।Weierstrass, Cantor, और Heine ने अनंत श्रृंखला पर अपने सिद्धांतों को आधार बनाया, जबकि Dedekind ने वास्तविक संख्याओं की प्रणाली में एक Dedecind कट के विचार पर पाया।इस विषय को बाद में वेयरस्ट्रास, लियोपोल्ड क्रोनकर के हाथों में योगदान मिला है,^[25] और méray।

क्विंटिक समीकरण और उच्च डिग्री समीकरणों की जड़ों की खोज एक महत्वपूर्ण विकास था, एबेल -रफिनी प्रमेय (पाओलो रफिनी (गणितज्ञ) 1799, नील्स हेनरिक एबेल 1824) ने दिखाया कि वे एनटीएच रूट (केवल अंकगणित संचालन से जुड़े सूत्र (सूत्रों को हल नहीं किया जा सकता है)और जड़ें)।इसलिए बीजगणितीय संख्याओं के व्यापक सेट (बहुपद समीकरणों के सभी समाधान) पर विचार करना आवश्यक था।Évariste Galois (1832) ने Galois सिद्धांत के क्षेत्र को जन्म देने वाले समूह सिद्धांत से बहुपद समीकरणों को जोड़ा।

निरंतर अंश, निकटता से संबंधित संख्या से संबंधित (और कैटाल्डी, 1613 के कारण), यूलर के हाथों ध्यान आकर्षित किया,^[26] और 19 वीं & nbsp; शताब्दी के उद्घाटन में जोसेफ लुइस लैग्रेंज के लेखन के माध्यम से प्रमुखता में लाया गया था।अन्य उल्लेखनीय योगदान Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), और Günther (1872) द्वारा किए गए हैं।रामस^[27] पहले विषय को निर्धारकों के साथ जोड़ा, जिसके परिणामस्वरूप, हेइन के बाद के योगदान के साथ,^[28] अगस्त फर्डिनेंड मोबियस | मोबियस, और गुंथर,^[29] के सिद्धांत में Kettenbruchdeterminanten।

ट्रांसेंडेंटल नंबर और रियल

पारलौकिक संख्याओं का अस्तित्व^[30] पहली बार जोसेफ लिउविले (1844, 1851) द्वारा स्थापित किया गया था।1873 में चार्ल्स हरमाइट ने साबित किया कि ई ट्रान्सेंडैंटल है और फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने 1882 में साबित किया कि and ट्रान्सेंडैंटल है।अंत में, कैंटर के पहले बधाई देने वाले सबूत से पता चला कि सभी वास्तविक संख्याओं का सेट बेशुमार है, लेकिन सभी बीजीय संख्याओं का सेट गिनने योग्य है, इसलिए ट्रांसेंडेंटल नंबरों की एक बेशुमार अनंत संख्या है।

अनंत और infinitesimals

गणितीय अनंत का सबसे पहले ज्ञात अवधारणा यजुर विदाई, एक प्राचीन भारतीय स्क्रिप्ट में दिखाई देती है, जो एक बिंदु पर बताती है, यदि आप अनंत से एक हिस्सा निकालते हैं या अनंत में एक हिस्सा जोड़ते हैं, तो भी क्या रहता अनंतता जैन गणितज्ञों के बीच दार्शनिक अध्ययन का एक लोकप्रिय विषय था।400 & nbsp; bc।वे पांच प्रकार के अनंत के बीच प्रतिष्ठित होते हैं: एक और दो दिशाओं में अनंत, क्षेत्र में अनंत, अनंत हर जगह, और अनंत सदा।प्रतीक ${\text{∞}}$ अक्सर एक अनंत मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है।

अरस्तू ने गणितीय अनंत की पारंपरिक पश्चिमी धारणा को परिभाषित किया।उन्होंने वास्तविक अनंत और संभावित अनंत के बीच प्रतिष्ठित किया - आम सहमति यह है कि केवल बाद वाले का सही मूल्य था।गैलीलियो गैलीली के दो नए विज्ञानों ने द्विभाजन के विचार पर चर्चा की। अनंत सेटों के बीच एक-से-एक पत्राचार।लेकिन सिद्धांत में अगली प्रमुख अग्रिम जॉर्ज कैंटर द्वारा किया गया था;1895 में उन्होंने अपने नए सेट सिद्धांत के बारे में एक पुस्तक प्रकाशित की, जो अन्य चीजों के साथ -साथ, ट्रांसफ़िनाइट संख्या और कंटीनम परिकल्पना को तैयार कर रही थी।

1960 के दशक में, अब्राहम रॉबिन्सन ने दिखाया कि असीम रूप से बड़ी और अनंत संख्याओं को सख्ती से परिभाषित किया जा सकता है और इसका उपयोग गैर -मानक विश्लेषण के क्षेत्र को विकसित करने के लिए किया जा सकता है।हाइपररेल नंबरों की प्रणाली अनंत और अनंत संख्याओं के बारे में विचारों के इलाज की एक कठोर विधि का प्रतिनिधित्व करती है, जो कि आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लिबनिज़ द्वारा अनंत पथरी के आविष्कार के बाद से गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों द्वारा लापरवाही से उपयोग की गई थी।

इन्फिनिटी का एक आधुनिक ज्यामितीय संस्करण प्रोजेक्टिव ज्यामिति द्वारा दिया गया है, जो प्रत्येक स्थानिक दिशा के लिए एक, इन्फिनिटी में आदर्श बिंदुओं का परिचय देता है।किसी दिए गए दिशा में समानांतर लाइनों के प्रत्येक परिवार को संबंधित आदर्श बिंदु में परिवर्तित करने के लिए पोस्ट किया जाता है।यह परिप्रेक्ष्य (ग्राफिकल) ड्राइंग में गायब होने के विचार से निकटता से संबंधित है।

जटिल संख्या

नकारात्मक संख्याओं की चौकोर जड़ों के लिए जल्द से जल्द क्षणभंगुर संदर्भ गणितज्ञ और अलेक्जेंड्रिया के आविष्कारक बगुले के काम में हुआ 1st century AD, जब उन्होंने एक पिरामिड के एक असंभव टुकड़ा की मात्रा पर विचार किया।जब 16 वीं & nbsp; सेंचुरी ने तीसरे और चौथे डिग्री के बहुपदों की जड़ों के लिए फार्मूले को बंद कर दिया, तो निकोलो फोंटाना टार्टग्लिया और गेरोलमो कार्डानो जैसे इतालवी गणितज्ञों द्वारा खोजे गए।यह जल्द ही महसूस किया गया कि ये सूत्र, भले ही कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता था, कभी -कभी नकारात्मक संख्याओं की चौकोर जड़ों के हेरफेर की आवश्यकता होती है।

यह दोगुना अस्थिर था क्योंकि वे उस समय भी नकारात्मक संख्याओं पर विचार नहीं करते थे।जब रेने डेसकार्टेस ने 1637 में इन मात्राओं के लिए काल्पनिक शब्द गढ़ा, तो उन्होंने इसे अपमानजनक माना।(जटिल संख्याओं की वास्तविकता की चर्चा के लिए काल्पनिक संख्या देखें।) भ्रम का एक और स्रोत यह था कि समीकरण

{(\sqrt{- 1})}^{2} = \sqrt{- 1}

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