स्थितीय संकेतन

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स्थितीय अंक प्रणाली में प्रयुक्त शब्दों की शब्दावली

स्थितीय संकेतन सामान्यतः हिंदू-अरबी या दशमलव अंक प्रणाली के किसी भी मूलांक के विस्तार को दर्शाता है। स्थानीय प्रणाली में किसी संख्या के मान में, अंक के योगदान को उस अंक के मान से गुणा किए जाने वाले एक कारक द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो उस अंक की स्थिति द्वारा निर्धारित होता है। प्रारम्भिक अंक प्रणालियों जैसे कि रोमन अंक में, एक अंक का केवल एक मान होता है: जैसे I का अर्थ एक, X का अर्थ दस और C का सौ होता है। यद्यपि, इन्हे यदि किसी अन्य अंक से पहले रखा जाता है तो ये संख्या को उस मान से ऋण कर देते है। आधुनिक स्थितीय प्रणालियों जैसे कि दशमलव में, अंक की स्थिति का अर्थ है कि इसके मान को किसी मान से गुणा किया जाना चाहिए: जैसे 555 में, तीन समान प्रतीकों क्रमशः पांच सैकड़ों, पांच दसियों और पांच इकाइयों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

बेबीलोनियन अंक जिसका आधार 60 है, विकसित होने वाली पहली स्थितीय प्रणाली थी, और इसका प्रभाव आज भी उपलब्ध है इनके अनुसार समय और कोणों को 60 से संबंधित लम्बाई में गिना जाता है, जैसे कि एक घंटे में 60 मिनट और एक वृत्त में 360 डिग्री आदि। आज, हिंदू-अरबी अंक प्रणाली जिनका आधार दस है, विश्व स्तर पर सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली प्रणाली है। यद्यपि, द्विआधारी अंक प्रणाली का उपयोग लगभग सभी कंप्यूटरों और विद्युतीय उपकरणो में किया जाता है क्योंकि विद्युत परिपथ में इन्हे कुशलता से लागू करना सरल होता है।

ऋणात्मक आधार, जटिल संख्या आधार या ऋणात्मक अंकों वाली प्रणालियों का वर्णन किया गया है। उनमें से अधिकांश को ऋणात्मक संख्याओं को निरूपित करने के लिए ऋण चिह्न की आवश्यकता नहीं होती है।

एक मूलांक बिंदु का उपयोग, अंश को सम्मिलित करने के लिए विस्तारित होता है और यादृच्छिक विधि से सटीकता के साथ किसी भी वास्तविक संख्या का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। स्थितीय संकेतन के साथ, अंकगणित किसी भी प्राचीन अंक प्रणाली की तुलना में बहुत सरल है। जब पश्चिमी यूरोप में इसे प्रस्तुत किया गया तो इसने संकेतन का तेजी से प्रसार किया।

इतिहास

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एसयू काला बाजार (तस्वीर में दर्शाई गई संख्या 6,302,715,408 है)

वर्तमान में, आधार -10 प्रणाली, जो संभवतः दस अंगुलियों पर गणना से प्रेरित है, सर्वव्यापी है। अन्य आधारों का उपयोग अतीत में किया गया है, और कुछ का आज भी उपयोग किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, बेबीलोनियाई अंक, जिसे प्रथम स्थितीय अंक प्रणाली के रूप में संदर्भित किया जाता है, आधार -60 था। यद्यपि, इसमें वास्तविक शून्य का अभाव था। प्रारंभ में केवल संदर्भ से अनुमान लगाया गया था, बाद में, लगभग 700 ईसा पूर्व तक, शून्य को अंकों के मध्य एक स्थान या विराम चिह्न द्वारा इंगित किया जाने लगा। यह एक वास्तविक शून्य के अतिरिक्त एक चर था क्योंकि इसका उपयोग अकेले या किसी संख्या के अंत में नहीं किया गया था। 2 और 120 (2×60) जैसी संख्याएँ समान दिखती थीं क्योंकि बड़ी संख्या में अंतिम स्थान का अभाव था। केवल संदर्भ ही उन्हें अलग कर सकता है।

पॉलीमैथ आर्किमिडीज (सी. 287-212 ईसा पूर्व) ने अपने रेत रेकनर में एक दशमलव स्थिति प्रणाली का आविष्कार किया जो 10 पर आधारित था⁸ और बाद में जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस को विलाप करने के लिए प्रेरित किया कि यदि आर्किमिडीज ने अपनी सरल खोज की क्षमता को पूरी तरह से महसूस किया होता तो विज्ञान उनके दिनों में कितनी ऊंचाइयों तक पहुंच चुका होता।

स्थितीय संकेतन के मानक बनने से पहले, रोमन अंकों जैसे साधारण धनात्मक प्रणाली का उपयोग किया जाता था, और प्राचीन रोम में और मध्य युग के समय अंकगणित के लिए एबैकस या स्टोन काउंटर का उपयोग किया जाता था।

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चीनी रॉड अंक; ऊपरी पंक्ति लंबवत रूप
निचली पंक्ति क्षैतिज रूप

स्थितीय अंक प्रणाली में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए गिनती की छड़ें और अधिकांश अबेकस का उपयोग किया गया है। अंकगणितीय संक्रियाओं को करने के लिए गिनने की छड़ों या अबेकस के साथ, गणना के आरंभिक, मध्यवर्ती और अंतिम मानों का लेखन सरलता से प्रत्येक स्थिति या स्तंभ में एक सरल योज्य प्रणाली के साथ किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण को तालिकाओं के याद रखने की आवश्यकता नहीं है और शीघ्रता से व्यावहारिक परिणाम दे सकता है।

सबसे पुरानी उपलब्ध स्थितीय संकेतन प्रणाली या तो चीनी रॉड अंकों की है, जो कम से कम 8 वीं शताब्दी की प्रारंभ से या संभावतः खमेर अंक से उपयोग की जाती है, जो 7 वीं शताब्दी में स्थितीय-संख्याओं के संभावित उपयोग को दर्शाती है। खमेर अंक और अन्य भारतीय अंक लगभग तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व के ब्राह्मी अंकों से उत्पन्न होते हैं, जब उस समय प्रतीकों का उपयोग नहीं किया गया था। मध्यकालीन भारतीय अंक स्थितीय हैं, जैसा कि व्युत्पन्न अरबी अंक हैं, जिनका उल्लेख 10वीं शताब्दी से प्राप्त होता है।

फ्रांसीसी क्रांति (1789-1799) के उपरांत, नई फ्रांसीसी सरकार ने दशमलव प्रणाली के विस्तार को बढ़ावा दिया। उनमें से कुछ समर्थक-दशमलव प्रयास—जैसे दशमलव समय और दशमलव कैलेंडर—असफल रहे। अन्य फ्रांसीसी दशमलव प्रयास-मुद्रा दशमलवकरण और भार और माप का मीट्रिकेशन-फ्रांस से लगभग पूरे संसार में व्यापक रूप से फैल गया।

स्थितीय अंशों का इतिहास

Main article: दसमलव

जे. लेनार्ट बर्गग्रेन ने अभिलेखित किया कि स्थितीय दशमलव अंशों का उपयोग प्रथम बार अरब गणितज्ञ अबू-हसन अल-उक्लिदिसी द्वारा 10वीं शताब्दी के प्रारंभ में किया गया था। यहूदी गणितज्ञ इमैनुएल बोनफिल्स ने 1350 के निकट दशमलव अंशों का उपयोग किया, परंतु उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई अंकन विकसित नहीं किया। फ़ारसी गणितज्ञ जमशीद अल-काशी ने 15वीं शताब्दी में दशमलव भिन्नों की खोज की।9वीं शताब्दी की प्रारंभ में अलखावरिज़मी ने इस्लामिक देशों में भिन्नों को प्रस्तुत किया; उनकी अंश प्रस्तुति सुन त्स़ी सुआनजिंग के पारंपरिक चीनी गणितीय अंशों के समान थी। क्षैतिज पट्टी के बिना शीर्ष पर अंश और तल पर भाजक के साथ अंश का यह रूप 10 वीं शताब्दी के अबू-हसन अल-उक्लिदिसी और 15 वीं शताब्दी के जमशेद अल-काशी के कार्य अंकगणितीय कुंजी द्वारा भी उपयोग किया गया था।

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एक से कम संख्या, एक अंश के दशमलव प्रतिनिधित्व को अपनाने का श्रेय प्रायः साइमन स्टीवन को उनकी पाठ्यपुस्तक डी थिएन्डे के माध्यम से दिया जाता है; परंतु स्टीविन और ई.जे. डिज्कस्टरहुइस दोनों संकेत करते हैं कि रेजीओमोंटानस ने सामान्य दशमलव के यूरोपीय रूप को अपनाने में योगदान दिया:

यूरोपीय गणितज्ञों ने जब हिंदुओं से अरबों के माध्यम से पूर्णांकों के लिए स्थितीय मान का विचार लिया, तो इस विचार को भिन्नों तक विस्तारित करने की उपेक्षा की। कुछ शताब्दियों के लिए उन्होंने स्वयं को सामान्य और सेक्सेजिमल अंशों का उपयोग करने तक सीमित कर लिया। यह आधा-अधूरापन कभी भी पूरी तरह से दूर नहीं हुआ है, और साठवाँ अंश अभी भी हमारे त्रिकोणमिति, खगोल विज्ञान और समय के मापन का आधार बनते हैं। गणितज्ञों ने 10 रूप की लंबाई की इकाइयों की संख्या के बराबर त्रिज्या Rⁿ लेकर अंशों से बचने का प्रयास किया और फिर n के लिए इतना बड़ा अभिन्न मान को निरूपित किया कि सभी घटित होने वाली मात्राओं को पूर्णांकों द्वारा पर्याप्त सटीकता के साथ व्यक्त किया जा सकता था। इस पद्धति को लागू करने वाला पहला जर्मन खगोलशास्त्री रेजीओमोंटानस था। जितना कि वह गोणीमेट्रिकल रेखांश को एक इकाई R/10n में व्यक्त करते थे, रेजियोमॉन्टेनस को दशमलव स्थानीय भिन्नों के सिद्धांत के पूर्ववत समझा जा सकता है।

दिज्क्स्टरहुइस के अनुमान में, डी थिएन्डे के प्रकाशन के उपरांत दशमलव स्थितीय अंशों की पूरी प्रणाली को स्थापित करने के लिए केवल एक छोटे से अग्रिम संख्या की आवश्यकता थी, और यह कदम कई लेखकों द्वारा तुरंत उठाया गया था। डिज्कस्टरहुइस ने उल्लेख किया कि स्टीविन अपने पूर्व योगदान के लिए, यह कहते हुए कि जर्मन खगोलशास्त्री की त्रिकोणमितीय तालिकाओं में वास्तव में 'दसवीं प्रगति की संख्या' का संपूर्ण सिद्धांत सम्मिलित है, रेगिओमोंटानस को पूरा श्रेय देते हैं।

गणित

अंक प्रणाली का आधार

अंक प्रणाली में मूलांक r सामान्यतः शून्य सहित अद्वितीय संख्यात्मक अंकों की संख्या होती है, जो एक स्थितीय संख्या प्रणाली संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाती है। कुछ विषयों में, जैसे ऋणात्मक आधार b के साथ, मूलांक निरपेक्ष मान $r=|b|$ होता है। उदाहरण के लिए, दशमलव प्रणाली के लिए आधार और आधार दस है, क्योंकि यह 0 से 9 तक के दस अंकों का उपयोग करता है। जब कोई संख्या 9 होती है, तो अगली संख्या कोई अन्य भिन्न प्रतीक नहीं होगी, बल्कि 1 के उपरांत 0 होगा। द्विआधारी संख्याओ में, आधार दो होता है, क्योंकि 1 लिखने के बाद, 2 या किसी अन्य लिखित प्रतीक के अतिरिक्त, यह सीधे 10 पर चला जाता है,जिसके बाद 11 और 100 आता है।

स्थितीय अंक प्रणाली के उच्चतम प्रतीक का मान सामान्यतः उस अंक प्रणाली के मूलांक के मान से एक कम होता है। मानक स्थितीय अंक प्रणाली एक दूसरे से केवल उनके द्वारा उपयोग किए जाने वाले आधार में भिन्न होती है।

आधार एक पूर्णांक है जो 1 से अधिक है, क्योंकि शून्य के आधार में कोई अंक नहीं होगा, और 1 के आधार में केवल शून्य अंक होगा। नकारात्मक आधारों का संभवतः ही कभी उपयोग किया जाता है। $|b|$ से अधिक के साथ किसी प्रणाली में अद्वितीय अंक, संख्याओं के कई भिन्न-भिन्न संभावित प्रतिनिधित्व हो सकते हैं।

यह महत्वपूर्ण है कि मूलांक परिमित है, जिससे यह पता चलता है कि अंकों की संख्या अत्यधिक कम है। अन्यथा, अंक की लंबाई आवश्यक रूप से इसके आकार में लॉगरिदमिक नहीं होती है।

विशेषण संख्या सहित कुछ गैर-मानक स्थितीय अंक प्रणालियों में, आधार की परिभाषा या अनुमत अंक ऊपर से परिवर्तित होते हैं।

मानक आधार-दस अर्थात दसमलव के स्थितीय संकेतन में, दस दशमलव अंक और संख्या होती है

$5305_{\mathrm {dec} }=(5\times 10^{3})+(3\times 10^{2})+(0\times 10^{1})+(5\times 10^{0})$.

मानक आधार-सोलह अर्थात हेक्साडेसिमल में, सोलह हेक्साडेसिमल अंक (0–9 और A–F) होते हैं और संख्या

$14\mathrm {B} 9_{\mathrm {hex} }=(1\times 16^{3})+(4\times 16^{2})+(\mathrm {B} \times 16^{1})+(9\times 16^{0})\qquad (=5305_{\mathrm {dec} }),$

जहां बी संख्या ग्यारह को एक प्रतीक के रूप में दर्शाती है।

सामान्यतः, आधार-बी में, बी अंक $\{d_{1},d_{2},\dotsb ,d_{b}\}=:D$ होते हैं और संख्या

${({}_{}}_{}$