विचलन

This article is about वेक्टर कैल्कुलस में विचलन. For अनंत श्रृंखला का विचलन, see भिन्न श्रृंखला. For आँकड़ों में विचलन, see विचलन (सांख्यिकी). For अन्य उपयोग, see विचलन (disambiguation).

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विभिन्न वेक्टर क्षेत्रों का विचलन। बिंदु (एक्स, वाई) से वैक्टर का विचलन एक्स-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-एक्स के योग के बराबर होता है और उस पर वाई-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के- लिए-वाई के योग के बराबर होता है जिसका बिंदु: $\nabla \!\cdot (\mathbf {V} (x,y))={\frac {\partial \ {V_{x}(x,y)}}{\partial {x}}}+{\frac {\partial \ {V_{y}(x,y)}}{\partial {y}}}$

सदिश कलन में, विचलन वह सदिश संचालिका है जो सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है, प्रत्येक बिंदु पर सदिश क्षेत्र के स्रोत की मात्रा देने वाले अदिश क्षेत्र का उत्पादन भी करता है। अधिक तकनीकी रूप से यदि देंखे तो विचलन किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर अधिकतम मात्रा में सदिश क्षेत्र के बाहरी प्रवाह की मात्रा के घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है।

उदाहरण के रूप में, हवा को गर्म या ठंडा होने पर यदि बात करें तो प्रत्येक बिंदु पर हवा का वेग सदिश क्षेत्र को परिभाषित करता है। जबकि हवा का क्षेत्र गर्म होता है, यह सभी दिशाओं में फैलता है, और इस प्रकार वेग क्षेत्र उस क्षेत्र से बाहर की ओर इंगित करता है। इस प्रकार उस क्षेत्र में वेग क्षेत्र के विचलन का धनात्मक मूल्य होगा। जबकि हवा ठंडी होती है और इस प्रकार सिकुड़ती है, वेग के विचलन का ऋणात्मक मान होता है।

विचलन की भौतिक व्याख्या

भौतिक दृष्टि से, सदिश क्षेत्र का अपसरण वह सीमा है जिस तक सदिश क्षेत्र का प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर स्रोत की तरह व्यवहार करती है। यह इसकी बहिर्गामीता का स्थानीय माप है - वह सीमा जिस तक अंतरिक्ष के अतिसूक्ष्म क्षेत्र से बाहर निकलने वाले क्षेत्र सदिश उसमें प्रवेश करने की तुलना में अधिक हैं। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स बहिर्गामी होता है, धनात्मक विचलित होता है और इसे अधिकांश क्षेत्र का स्रोत कहा जाता है। वह बिंदु जिस पर फ्लक्स को अंदर की ओर निर्देशित किया जाता है, ऋणात्मक विचलन होता है, और इसे अधिकांश क्षेत्र का सिंक कहा जाता है। किसी दिए गए बिंदु को घेरने वाली छोटी सतह के माध्यम से क्षेत्र का प्रवाह जितना अधिक होता है, उस बिंदु पर विचलन का मान उतना ही अधिक होता है। वह बिंदु जिस पर संलग्न सतह के माध्यम से शून्य प्रवाह होता है, शून्य विचलन होता है।

सदिश क्षेत्र के विचलन को अधिकांशतः तरल, तरल या गैस के वेग क्षेत्र के सरल उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान गैस के प्रत्येक बिंदु पर वेग, गति और दिशा होती है, जिसे सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए गैस का वेग सदिश क्षेत्र बनाता है। यदि किसी गैस को गर्म किया जाए तो वह फैलती है। यह सभी दिशाओं में बाहर की ओर गैस कणों की शुद्ध गति का कारण बनेगा। गैस में कोई भी बंद सतह गैस को घेरेगी जो फैल रही है, इसलिए सतह के माध्यम से गैस का बाहरी प्रवाह होगा तो वेग क्षेत्र में हर स्थान पर धनात्मक विचलन होगा। इसी प्रकार यदि गैस को ठंडा किया जाए तो वह सिकुड़ेगी। किसी भी मात्रा में गैस के कणों के लिए अधिक जगह होगी, इसलिए द्रव के बाहरी दबाव से किसी भी बंद सतह के माध्यम से गैस की मात्रा का शुद्ध प्रवाह होगा। इसलिए वेग क्षेत्र में हर जगह ऋणात्मक विचलन होता है। इसके विपरीत, स्थिर तापमान और दबाव पर गैस में, किसी भी बंद सतह से गैस का शुद्ध प्रवाह शून्य होता है। गैस गतिमान हो सकती है, लेकिन किसी भी बंद सतह में प्रवाहित होने वाली गैस की आयतन दर बाहर बहने वाली आयतन दर के बराबर होनी चाहिए, इसलिए शुद्ध प्रवाह शून्य है। इस प्रकार गैस के वेग में हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलित होता है। वह क्षेत्र जिसमें हर स्थान पर शून्य मान के साथ विचलन होता है, सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र कहलाता है।

यदि गैस को केवल किसी बिंदु या छोटे क्षेत्र में गर्म किया जाता है, या किसी छोटी ट्यूब में प्रस्तुत किया जाता है जो किसी बिंदु पर अतिरिक्त गैस के स्रोत की आपूर्ति करती है, तो वहाँ गैस का विस्तार होगा, इसके चारों ओर द्रव कणों को सभी दिशाओं में बाहर धकेल दिया जाएगा। यह गर्म बिंदु पर केंद्रित पूरे गैस में बाहरी वेग क्षेत्र का कारण बनेगा। गर्म बिंदु को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से निकलने वाले गैस कणों का प्रवाह होगा, इसलिए उस बिंदु पर धनात्मक विचलन होता है। चूंकि किसी भी बंद सतह में बिंदु को सम्मलित नहीं करने से अंदर गैस का निरंतर घनत्व होगा, इसलिए जिस प्रकार कई द्रव कण मात्रा छोड़ने के रूप में प्रवेश कर रहे हैं, इस प्रकार आयतन से शुद्ध प्रवाह शून्य है। इसलिए किसी अन्य बिंदु पर विचलन शून्य है।

परिभाषा

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एक बिंदु पर विचलन x प्रवाह के अनुपात की सीमा है $\Phi$ सतह के माध्यम से S_i (लाल तीर) मात्रा के लिए $|V_{i}|$ बंद क्षेत्रों के किसी भी क्रम के लिए V₁, V₂, V₃, … संलग्नित x जो ज़ीरो आयतन तक पहुंचता है:
$\operatorname {div} \mathbf {F} =\lim _{|V_{i}|\to 0}{\frac {\Phi (S_{i})}{|V_{i}|}}$

किसी वेक्टर क्षेत्र F का विचलन बिंदु x₀ पर F(x) की सतह अभिन्न के अनुपात की सीमा (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया है आयतन V की बंद सतह से बाहर V संलग्नित x₀ की मात्रा के लिए, जैसा V शून्य हो जाता है

$\left.\operatorname {div} \mathbf {F} \right|_{\mathbf {x_{0}} }=\lim _{V\to 0}{\frac {1}{|V|}}$ File:OiintLaTeX.svg$\scriptstyle S(V)$ $\mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} \,dS$

जहां |V| का आयतन है V, S(V) की सीमा V है , और $\mathbf {\hat {n}}$ उस सतह के लिए बाहरी सामान्य वेक्टर है। इस प्रकार यह देखा जा सकता है कि उपरोक्त सीमा में आयतन के किसी भी अनुक्रम के लिए x₀ के समान मान में परिवर्तित हो जाती है और शून्य मात्रा तक पहुँच जाती हैं। परिणाम, div F, का अदिश कार्य x है।

चूंकि यह परिभाषा समन्वय-मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन किसी भी समन्वय प्रणाली में समान है। चूंकि यह अधिकांशतः विचलन की गणना करने के लिए व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है; जब वेक्टर क्षेत्र समन्वय प्रणाली में दिया जाता है तो नीचे दी गई समन्वय परिभाषाएँ उपयोग करने में बहुत सरल होती हैं।

हर जगह शून्य विचलन वाला सदिश क्षेत्र सोलेनोइडल सदिश क्षेत्र कहलाता है - इस स्थिति में किसी भी बंद सतह के पास कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता है।

निर्देशांक में परिभाषा

कार्तीय निर्देशांक

त्रि-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक में, निरंतर भिन्न वेक्टर क्षेत्र का विचलन $\mathbf {F} =F_{x}\mathbf {i} +F_{y}\mathbf {j} +F_{z}\mathbf {k}$ अदिश (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया है - मूल्यवान कार्य:

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot (F_{x},F_{y},F_{z})={\frac {\partial F_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial F_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$

चूंकि निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया है, परिणाम रोटेशन मैट्रिक्स के अनुसार अपरिवर्तनीय है, जैसा कि भौतिक व्याख्या से पता चलता है। इसका कारण यह है कि जैकोबियन मैट्रिक्स का पता लगाना और इसके निर्धारक N-आयामी वेक्टर क्षेत्र F में N-विमीय स्थान किसी भी व्युत्क्रम रैखिक परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है।

विचलन के लिए सामान्य संकेतन ∇ · F सुविधाजनक स्मरक है, जहां डॉट ऑपरेशन को इंगित करता है जो डॉट उत्पाद की याद दिलाता है: के घटकों को लें तो ∇ ऑपरेटर (का देखें), उन्हें संबंधित घटकों पर लागू करें F, और परिणामों का योग करें। क्योंकि यह ऑपरेटर को लागू करना तथा उसके घटकों को गुणा करने से पृथक होता हैं है, इसे अंकन का दुरुपयोग माना जाता है।

बेलनाकार निर्देशांक

स्थानीय इकाई बेलनाकार समन्वय प्रणाली में व्यक्त वेक्टर के लिए

$\mathbf {F} =\mathbf {e} _{r}F_{r}+\mathbf {e} _{\theta }F_{\theta }+\mathbf {e} _{z}F_{z},$

जहां e_a दिशा में इकाई वेक्टर है a, अंतर है

$\operatorname {div} \mathbf {F} =\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(rF_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial F_{\theta }}{\partial \theta }}+{\frac {\partial F_{z}}{\partial z}}.$

अभिव्यक्ति की वैधता के लिए स्थानीय निर्देशांक का उपयोग महत्वपूर्ण है। यदि हम विचार करें x स्थिति वेक्टर और कार्य r(x), θ(x), और z(x), जो सामान्य रूप से सदिश को संबंधित वैश्विक बेलनाकार निर्देशांक प्रदान करते हैं $r($