समाकल रूपांतर
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गणित में, एक समाकल रूपांतर एक फ़ंक्शन को उसके मूल फ़ंक्शन स्थान से समाकलन के माध्यम से दूसरे फ़ंक्शन स्पेस में मैप करता है, जहाँ मूल फ़ंक्शन के कुछ गुणों को मूल फ़ंक्शन स्पेस की तुलना में अधिक आसानी से वर्णन और हेरफेर किया जा सकता है। रूपांतरित फ़ंक्शन को सामान्यतः 'इनवर्स परिवर्तन' का उपयोग करके मूल फ़ंक्शन स्थान पर वापस मैप किया जा सकता है।
सामान्य रूप
एक समाकल रूपांतर निम्नलिखित रूप का कोई भी रूपांतर(फ़ंक्शन) T है:
इस रूपांतरण का इनपुट एक फंक्शन f है, और आउटपुट एक अन्य फंक्शन है। समाकलित रूपान्तरण एक विशेष प्रकार का गणितीय संकारक है।
कई उपयोगी समाकल रूपांतर हैं। प्रत्येक को फ़ंक्शन K के दो वेरिएबल्स, कर्नेल फ़ंक्शन, समाकल कर्नेल या ट्रांसफ़ॉर्म के न्यूक्लियस के विकल्प द्वारा निर्दिष्ट किया गया है
कुछ कर्नेल में एक व्युत्क्रम कर्नेल होता है जो (मोटे तौर पर बोलना) एक व्युत्क्रम रूपांतरण देता है:
एक सममित कर्नेल वह है जो दो चरों के अनुमत होने पर अपरिवर्तित रहता है; यह एक कर्नेल फ़ंक्शन है जैसे कि . समाकल समीकरणों के सिद्धांत में, सममित कर्नेल स्व-संलग्न ऑपरेटरों के अनुरूप होती है।[1]
प्रेरणा
समस्याओं के कई वर्ग हैं जिन्हें हल करना मुश्किल है - या कम से कम काफी बीजगणितीय रूप से - उनके मूल प्रतिनिधित्व में हल करना मुश्किल है। एक समाकल रूपांतर एक समीकरण को उसके मूल डोमेन से दूसरे डोमेन में मैप करता है, जिसमें मूल डोमेन की तुलना में समीकरण में हेरफेर करना और उसे हल करना बहुत आसान हो सकता है। इसके बाद प्राप्त हल को समाकल परिवर्तन के व्युत्क्रम के साथ मूल डोमेन पर वापस मैप किया जा सकता है।
प्रायिकता के कई अनुप्रयोग हैं जो समाकल परिवर्तनों पर निर्भर करते हैं, जैसे मूल्य निर्धारण कर्नेल या स्टोकेस्टिक छूट कारक, या मजबूत आँकड़ों से पुनर्प्राप्त डेटा का चौरसाई; कर्नेल (सांख्यिकी) देखें।
इतिहास
परिमित अंतराल में फ़ंक्शन को व्यक्त करने के लिए रूपांतरण के अग्रदूत फूरियर श्रृंखला थे। बाद में परिमित अंतराल की आवश्यकता को दूर करने के लिए फूरियर रूपांतरण विकसित किया गया था।
फूरियर श्रृंखला का उपयोग करते हुए, समय के किसी भी प्रायोगिक फ़ंक्शन (उदाहरण के लिए एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण के टर्मिनलों पर वोल्टेज) को ज्या और कोज्या के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, प्रत्येक को उपयुक्त रूप से बढ़ाया जाता है (एक स्थिर कारक से गुणा किया जाता है), स्थानांतरित (उन्नत) या समय में मंद) और निचोड़ा हुआ या फैला हुआ (आवृत्ति में वृद्धि या कमी)। फूरियर श्रृंखला में ज्या और कोज्या ऑर्थोनॉर्मल आधार का एक उदाहरण हैं।
उपयोग उदाहरण
समाकल रूपांतरणों के अनुप्रयोग के एक उदाहरण के रूप में, लाप्लास रूपांतरण पर विचार करें। यह एक ऐसी तकनीक है जो "समय" डोमेन में "जटिल आवृत्ति" डोमेन कहे जाने वाले समाकल-विभेदक समीकरण में अंतर समीकरण या पूर्णांक-अंतर समीकरणों को मैप करती है। (जटिल आवृत्ति वास्तविक, भौतिक आवृत्ति के समान है, बल्कि अधिक सामान्य है। विशेष रूप से, जटिल आवृत्ति s = -σ + iω का काल्पनिक घटक ω आवृत्ति की सामान्य अवधारणा से मेल खाता है, अर्थात, वह दर जिस पर एक साइनसॉइड चक्र होता है, जबकि जटिल आवृत्ति का वास्तविक घटक σ "की डिग्री से मेल खाता है (यानी आयाम की एक घातीय कमी)। जटिल आवृत्ति के संदर्भ में समीकरण को जटिल आवृत्ति डोमेन (जटिल में बहुपद समीकरणों की जड़ें में आसानी से हल किया जाता है। फ़्रीक्वेंसी डोमेन, टाइम डोमेन में आइगेन मान के अनुरूप है), जो फ़्रीक्वेंसी डोमेन में तैयार किए गए समाधान के लिए अग्रणी है। व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को नियोजित करना, अर्थात, मूल लाप्लास परिवर्तन की व्युत्क्रम प्रक्रिया, एक टाइम-डोमेन समाधान प्राप्त करता है। इस उदाहरण में, जटिल आवृत्ति डोमेन (आमतौर पर भाजक में होने वाली) में बहुपद समय डोमेन में शक्ति श्रृंखला के अनुरूप होते हैं, जबकि जटिल आवृत्ति डोमेन में अक्षीय बदलाव समय डोमेन में क्षयकारी घातांक द्वारा अवमंदन के अनुरूप होते हैं।
लाप्लास परिवर्तन का भौतिकी में और विशेष रूप से इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में व्यापक अनुप्रयोग है, जहां विशेषता समीकरण (कैलकुलस) जो जटिल आवृत्ति डोमेन में एक विद्युत परिपथ के व्यवहार का वर्णन करता है, वह उस समय में घातीय रूप से स्केल किए गए और समय-स्थानांतरित अवमंदित साइनसॉइड के रैखिक संयोजनों के अनुरूप होता है। अन्य समाकल परिवर्तन अन्य वैज्ञानिक और गणितीय विषयों के भीतर विशेष प्रयोज्यता पाते हैं।
एक अन्य उपयोग उदाहरण पथ समाकल सूत्रीकरण में कर्नेल है: