त्रि-गुणन नियम
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त्रि-गुणन नियम एक ऐसा सूत्र है जो तीन परस्पर आश्रित चरों के आंशिक अवकलजों के मध्य सम्बन्ध स्थापित करता है; इसे चक्रीय श्रृंखला नियम, चक्रीय संबंध, चक्रीय नियम या यूलर की श्रृंखला के नियम के रूप में जाना जाता है। इस नियम का अनुप्रयोग ऊष्मागतिकी में पाया जाता है, जहाँ प्रायः तीन चरों को f(x, y, z) = 0 के एक फलन द्वारा संबंधित किया जा सकता है, इसलिए प्रत्येक चर को अन्य दो चरों के निहित फलन के रूप में दिया जाता है। उदाहरण के लिए, एक तरल की अवस्था समीकरण ताप, दाब और आयतन को इसी प्रकार संबंधित करती है। इस प्रकार के परस्पर संबंधित चरों x, y, और z के लिए त्रिगुण उत्पाद नियम निहित फलन प्रमेय के परिणाम पर एक पारस्परिक संबंध का उपयोग करने से प्राप्त होता है, जो कि इस प्रकार है
जहाँ प्रत्येक गुणनखंड अंश में चर का आंशिक अवकलज है, जिसे अन्य दो चरों का फलन माना जाता है।
त्रि-गुणन नियम का लाभ यह है कि इसमें पदों को पुनर्व्यवस्थित करके कई प्रतिस्थापन सर्वसमिकाएँ प्राप्त की जा सकती हैं जो ऐसे आंशिक अवकलजों को प्रतिस्थापित करने की अनुमति प्रदान करती हैं जो विश्लेषणात्मक रूप से मूल्यांकित करने, प्रयोगात्मक रूप से मापने या आंशिक अवकलजों के ऐसे भागफलों के साथ समाकलित करने के लिए कठिन हैं जिनके साथ कार्य करना आसान है। उदाहरण के लिए,
शास्त्र में इस नियम के अन्य विभिन्न रूप उपस्थित हैं; इन्हें चरों {x, y, z} के क्रम-परिवर्तन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।
व्युत्पत्ति
एक अनौपचारिक व्युत्पत्ति इस प्रकार है। माना f(x, y, z) = 0। z को x और y के फलन के रूप में लिखिए। अतः संपूर्ण अवकल dz इस प्रकार है
माना, हम dz = 0 के साथ एक वक्र के अनुदिश आगे बढ़ते हैं, जहाँ यह वक्र x द्वारा प्राचलित है। इस प्रकार y को x के पदों में लिखा जा सकता है, इसलिए इस वक्र पर
इसलिए, dz = 0 के लिए समीकरण इस प्रकार है
चूँकि यह सभी dx के लिए सत्य होना चाहिए, अतः पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर निम्न समीकरण प्राप्त है ,