कैसस इरेड्यूसीबिलिस

बीजगणित में, कैसस इरेड्यूसिबिलिस या कैसस अपरिवर्तनीयता (अलघुकरणीय कारक के लिए लैटिन) उन स्थितियों में से एक है, जो अंश (डिग्री) 3 या उच्च के बहुपदों को बीजगणितीय रूप से (संख्यात्मक रूप से विरोध के रूप में) पूर्णांक गुणांक के साथ हल करने में उत्पन्न हो सकता है, अर्थात उन संख्याओ को प्राप्त करके, जिन्हें पूर्णांक के साथ व्यक्त किया गया है। यह दर्शाता है कि कई बीजगणितीय संख्याएँ वास्तविक मान हैं, लेकिन सम्मिश्र संख्याओं को प्रस्तुत किए बिना मूलांक में व्यक्त नहीं की जा सकतीं है। कैसस इरेड्यूसिबिलिस की सबसे उल्लेखनीय घटना त्रिविमीय बहुपदों के स्थिति में होती है, जिसमें तीन वास्तविक संख्याए होती हैं, जिसे 1843 में पियरे वांजेल द्वारा सिद्ध किया गया था।^[1] कार्डानो के सूत्र के माध्यम से कोई यह देखा जा सकता है कि क्या दिया गया घन बहुपद विवेचक(discriminant) कैसस इरेड्यूसिबिलिस में उपस्थित है।^[2]

विवेचक की तीन स्थितिया

माना कि

ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0

$a\neq 0$ के साथ एक घन समीकरण हो। तब विवेचक द्वारा दिया जाता है

D:={\bigl (}(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3}){\bigr )}^{2}=18abcd-4ac^{3}-27a^{2}d^{2}+b^{2}c^{2}-4b^{3}d~.

यह बीजगणितीय समाधान में प्रकट होता है और उत्पाद का एक वर्ग है।

\Delta :=\prod _{j<k}(x_{j}-x_{k})=(x_{1}-x_{2})(x_{1}-x_{3})(x_{2}-x_{3})\qquad \qquad {\bigl (}\!=\pm {\sqrt {D}}{\bigr )}

${\tbinom {3}{2}}=3$ के 3 संख्याओ के अंतर $x_{1},x_{2},x_{3}$ .^[3]

यदि $D < 0$ , तब बहुपद का एक वास्तविक मूल और दो सम्मिश्र अवास्तविक मूल होते हैं। $\Delta \in i\mathbb {R} ^{\times }$ पूर्ण रुप से काल्पनिक है।
यद्यपि ऋणात्मक विभेदक के साथ घन बहुपद हैं, जो आधुनिक अर्थों में अपरिवर्तनीय हैं, तथा कैसस इरेड्यूसिबिलिस लागू नहीं होता है।^[4]
यदि $D = 0$ , तब $\Delta =0$ और तीन वास्तविक मूल हैं; उनमें से दो बराबर हैं। या $D = 0$ वर्ग-मुक्त बहुपद द्वारा पता लगाया जा सकता है, यदि ऐसा है, तो द्विघात सूत्र द्वारा संख्याए इसके अतिरिक्त, सभी संख्याए वास्तविक हैं और वास्तविक पूर्ण द्वारा अभिव्यक्त की जा सकती हैं। शून्य विभेदक वाले सभी घन बहुपदों को घटाया जा सकता है।
यदि $D > 0$ , फिर $\Delta \in \mathbb {R} ^{\times }$ गैर-शून्य और वास्तविक है, और तीन अलग-अलग वास्तविक संख्याए हैं, जो दो सम्मिश्र संयुग्मों का योग हैं।
क्योंकि उन्हें सम्मिश्र संख्याओं की आवश्यकता होती है (समय की समझ में: गैर-वास्तविक संख्याओं से घनमूल, अर्थात वर्ग से) ऋणात्मक संख्याओं के वर्ग उन्हें मूलांक में व्यक्त करने के लिए, 16 वीं शताब्दी में इस स्थिति को कैसस इरेड्यूसीबिलिस कहा गया है।^[5]

औपचारिक कथन और प्रमाण

अधिक आम तौर पर, मान लीजिए $F$ एक औपचारिक रूप से वास्तविक क्षेत्र है, और वह $p (x) \in F [x]$ एक घन बहुपद है, अलघुकरणीय से अधिक $F$ , लेकिन तीन वास्तविक जड़ें (वास्तविक बंद होने की जड़ें $F$ ). तब कैसस इरेड्यूसिबिलिस कहता है कि इसका समाधान व्यक्त करना असंभव है $p (x) = 0$ रेडिकैंड्स के साथ रेडिकल्स द्वारा $\in F$ .

यह सिद्ध करने के लिए,^[6] ध्यान दें कि विभेदक $D$ सकारात्मक है। फील्ड एक्सटेंशन तैयार करें $F (\sqrt D) = F (∆)$ . चूंकि यह है $F$ या का द्विघात विस्तार $F$ (चाहे या नहीं पर निर्भर करता है $D$ में एक वर्ग है $F$ ), $p (x)$ इसमें अपूरणीय रहता है। नतीजतन, के Galois समूह $p (x)$ ऊपर $F (\sqrt D)$ चक्रीय समूह है $C 3$ . मान लो कि $p (x) = 0$ वास्तविक मूलकों द्वारा हल किया जा सकता है। फिर $p (x)$ चक्रीय एक्सटेंशन के टावर द्वारा क्षेत्र को विभाजित किया जा सकता है

F\subset F({\sqrt {D}})\subset F({\sqrt {D}},{\sqrt[{p_{1}}]{\alpha _{1}}})\subset \cdots \subset K\subset K({\sqrt[{3}]{\alpha }})

मीनार की अंतिम सीढ़ी पर, $p (x)$ अंत से पहले क्षेत्र में अपूरणीय है $K$ , लेकिन विभाजित हो जाता है $K (3 \sqrt α)$ कुछ के लिए $α$ . लेकिन यह एक चक्रीय क्षेत्र विस्तार है, और इसलिए इसमें एक संयुग्मी तत्व (क्षेत्र सिद्धांत) होना चाहिए $3 \sqrt α$ और इसलिए एकता की एक आदिम जड़।

हालांकि, वास्तविक बंद क्षेत्र में एकता की कोई आदिम तीसरी जड़ें नहीं हैं। मान लीजिए कि ω एकता का आदिम तीसरा मूल है। फिर, एक आदेशित क्षेत्र को परिभाषित करने वाले अभिगृहीतों द्वारा, ω और ω² दोनों धनात्मक हैं, क्योंकि अन्यथा उनका घन (=1) ऋणात्मक होगा। लेकिन अगर ω²>ω, फिर दोनों पक्षों को घन करने पर 1>1, एक विरोधाभास मिलता है; इसी तरह अगर ω> ω^{2</उप>।}

अवास्तविक रेडिकल्स में समाधान

कार्डानो का समाधान

समीकरण $ax 3 + bx 2 + cx + d = 0$ द्वारा विभाजित करके एक मोनिक बहुपद त्रिपद के लिए उदास किया जा सकता है $a$ और प्रतिस्थापन $x = t − .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}b/3a$ (चिरनहॉस परिवर्तन), समीकरण दे रहा है $t 3 + pt + q = 0$ कहाँ पे

p={\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}

q={\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.

फिर वास्तविक जड़ों की संख्या की परवाह किए बिना, क्यूबिक समीकरण # कार्डानो के सूत्र | कार्डानो के समाधान द्वारा तीन जड़ें दी जाती हैं

t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}

कहाँ पे $\omega _{k}$ (k=1, 2, 3) 1 का घनमूल है ( $\omega _{1}=1$ , $\omega _{2}=-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ , तथा $\omega _{3}=-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i$ , कहाँ पे $i$ काल्पनिक इकाई है)। यहां यदि घनमूल के अंतर्गत रेडिकैंड्स गैर-वास्तविक हैं, तो रेडिकल्स द्वारा व्यक्त घनमूलों को जटिल संयुग्मी घनमूलों की किसी भी जोड़ी के रूप में परिभाषित किया जाता है, जबकि यदि वे वास्तविक हैं तो इन घनमूलों को वास्तविक घनमूलों के रूप में परिभाषित किया जाता है।

कैसस इरेड्यूसिबिलिस तब होता है जब कोई भी जड़ तर्कसंगत नहीं होती है और जब तीनों जड़ें अलग और वास्तविक होती हैं; तीन अलग-अलग वास्तविक जड़ों का मामला होता है अगर और केवल अगर $q 2 / 4 + p 3 / 27 < 0$ , जिस मामले में कार्डानो के सूत्र में पहले एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल लेना शामिल है, जो कि काल्पनिक संख्या है, और फिर एक सम्मिश्र संख्या का घनमूल लेना (घनमूल को स्वयं के रूप में नहीं रखा जा सकता है) $α + βi$ के लिए वास्तविक nवें मूल में विशेष रूप से दिए गए भावों के साथ $α$ तथा $β$ , क्योंकि ऐसा करने के लिए मूल घन को स्वतंत्र रूप से हल करने की आवश्यकता होगी)। यहां तक कि कम करने योग्य मामले में जिसमें तीन वास्तविक जड़ों में से एक तर्कसंगत है और इसलिए बहुपद लंबे विभाजन से इसका पता लगाया जा सकता है, कार्डानो का सूत्र (इस मामले में अनावश्यक रूप से) उस जड़ (और अन्य) को गैर-वास्तविक मूलांक के संदर्भ में व्यक्त करता है।

उदाहरण

घन समीकरण

2x^{3}-9x^{2}-6x+3=0

अप्रासंगिक है, क्योंकि यदि इसका गुणनखंड किया जा सकता है तो एक परिमेय समाधान देने वाला एक रैखिक गुणक होगा, जबकि परिमेय मूल परीक्षण द्वारा दिए गए संभावित मूलों में से कोई भी वास्तव में मूल नहीं है। चूंकि इसका विभेदक सकारात्मक है, इसकी तीन वास्तविक जड़ें हैं, इसलिए यह कैसस इरेड्यूसिबिलिस का एक उदाहरण है। इन जड़ों को व्यक्त किया जा सकता है

t_{k}={\frac {3-\omega _{k}{\sqrt[{3}]{39-26i}}-\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{39+26i}}}{2}}

के लिये $k\in \left\{1,2,3\right\}$ . समाधान रेडिकल्स में हैं और इसमें जटिल संयुग्म संख्याओं के घनमूल शामिल हैं।

वास्तविक मात्रा के संदर्भ में त्रिकोणमितीय समाधान

जबकि कैसस इरेड्यूसिबिलिस वास्तविक मात्रा के संदर्भ में बीजगणितीय समाधान नहीं हो सकता है, इसे वास्तविक मात्रा के संदर्भ में त्रिकोणमिति को हल किया जा सकता है।^[7] विशेष रूप से, उदास मोनिक क्यूबिक समीकरण $t^{3}+pt+q=0$ द्वारा हल किया जाता है

t_{k}=2{\sqrt {-{\frac {p}{3}}}}\cos \left[{\frac {1}{3}}\arccos \left({\frac {3q}{2p}}{\sqrt {\frac {-3}{p}}}\right)-k{\frac {2\pi }{3}}\right]\quad {\text{for}}\quad k=0,1,2\,.

ये समाधान वास्तविक मात्रा के संदर्भ में हैं यदि और केवल यदि ${q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}<0$ - यानी, अगर और केवल अगर तीन असली जड़ें हैं। सूत्र में एक कोण से शुरू करना शामिल है जिसका कोज्या ज्ञात है, कोण को 1/3 से गुणा करके, और परिणामी कोण के कोज्या को लेकर और पैमाने के लिए समायोजन करके।

यद्यपि कोज्या और इसका व्युत्क्रम फलन (arccosine) पारलौकिक फलन हैं, यह समाधान इस अर्थ में बीजगणितीय है कि $\cos \left[\arccos \left(x\right)/3\right]$ एक बीजगणितीय फलन है, जो कोण त्रिविभाजन के तुल्य है।

कोण त्रिखंड से संबंध

तीन वास्तविक जड़ों के साथ रिड्यूसिबल और इरेड्यूसिबल क्यूबिक मामलों के बीच का अंतर इस मुद्दे से संबंधित है कि क्या कोई कोण कम्पास और स्ट्रेटेज निर्माण के शास्त्रीय माध्यमों द्वारा एंगल ट्राइसेक्शन है या नहीं। किसी भी कोण के लिए $θ$ , इस कोण के एक तिहाई हिस्से में एक कोसाइन है जो तीन समाधानों में से एक है

4x^{3}-3x-\cos(\theta )=0.

वैसे ही, $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}θ⁄3$ में एक ज्या है जो तीन वास्तविक समाधानों में से एक है

4y^{3}-3y+\sin(\theta )=0.

किसी भी स्थिति में, यदि परिमेय मूल परीक्षण एक परिमेय समाधान प्रकट करता है, $x$ या $y$ माइनस उस रूट को बायीं ओर के बहुपद से फैक्टर किया जा सकता है, एक वर्ग को छोड़कर जिसे शेष दो रूटों के लिए वर्गमूल के संदर्भ में हल किया जा सकता है; तो ये सभी जड़ें शास्त्रीय रूप से रचनात्मक हैं क्योंकि वे विशेष रूप से वर्गमूल से अधिक में अभिव्यक्त नहीं हैं $cos(θ ⁄ 3)$ या $sin(θ ⁄ 3)$ रचनात्मक है और इसलिए संबंधित कोण है $θ ⁄ 3$ . दूसरी ओर, यदि परिमेय मूल परीक्षण दर्शाता है कि कोई परिमेय मूल नहीं है, तो कैसस इरेड्यूसीबिलिस लागू होता है, $cos(θ ⁄ 3)$ या $sin(θ ⁄ 3)$ रचनात्मक नहीं है, कोण $θ ⁄ 3$ रचनात्मक नहीं है, और angle $θ$ शास्त्रीय रूप से त्रिविभाजित नहीं है।

एक उदाहरण के रूप में, जबकि एक 180° के कोण को तीन 60° के कोणों में समत्रिभाजित किया जा सकता है, एक 60° के कोण को केवल परकार और सीधी भुजा से समत्रिभाजित नहीं किया जा सकता है। List_of_trigonometric_identities#Multiple-angle_formulae|triple-angle फ़ार्मुलों का उपयोग करके कोई भी यह देख सकता है $cos π / 3 = 4 x 3 - 3 x$ कहाँ पे $x = cos(20°)$ . पुनर्व्यवस्थित करता है $8 x 3 - 6 x - 1 = 0$ , जो परिमेय मूल परीक्षण में विफल रहता है क्योंकि प्रमेय द्वारा सुझाई गई कोई भी परिमेय संख्या वास्तव में मूल नहीं है। इसलिए, का न्यूनतम बहुपद $cos(20°)$ डिग्री 3 है, जबकि किसी भी रचनात्मक संख्या के न्यूनतम बहुपद की डिग्री दो की शक्ति होनी चाहिए।

जताते $cos(20°)$ रेडिकल्स में परिणाम होता है

\cos \left({\frac {\pi }{9}}\right)={\frac {{\sqrt[{3}]{1-i{\sqrt {3}}}}+{\sqrt[{3}]{1+i{\sqrt {3}}}}}{2{\sqrt[{3}]{2}}}}

जिसमें सम्मिश्र संख्याओं का घनमूल निकालना शामिल है। समानता पर ध्यान दें $e iπ /3 = 1+ i \sqrt 3 / 2$ तथा $e -iπ /3 = 1- i \sqrt 3 / 2$ .

तर्कसंगत जड़ों और ट्राइसेक्टेबिलिटी के बीच संबंध को कुछ मामलों में भी बढ़ाया जा सकता है जहां दिए गए कोण के साइन और कोसाइन अपरिमेय हैं। एक उदाहरण के रूप में उस मामले पर विचार करें जहां दिया गया कोण है $θ$ एक नियमित पेंटागन का एक शीर्ष कोण है, एक बहुभुज जिसे शास्त्रीय रूप से बनाया जा सकता है। इस कोण के लिए $5θ/3$ 180° है, और तब मानक त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ देते हैं

\cos(\theta )+\cos(\theta /3)=2\cos(\theta /3)\cos(2\theta /3)=-2\cos(\theta /3)\cos(\theta )

इस प्रकार

\cos(\theta /3)=-\cos(\theta )/(1+2\cos(\theta )).

त्रिकोणीय कोण के कोसाइन को दिए गए कोण के कोसाइन के संदर्भ में एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, इसलिए एक नियमित पेंटागन के शीर्ष कोण को ट्राइसेक्ट किया जा सकता है (यांत्रिक रूप से, केवल एक विकर्ण खींचकर)।

सामान्यीकरण

कैसस इरेड्यूसिबिलिस को निम्नानुसार उच्च डिग्री बहुपदों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। होने देना $p \in F [x]$ एक अप्रासंगिक बहुपद हो जो औपचारिक रूप से वास्तविक विस्तार में विभाजित हो $R$ का $F$ (अर्थात।, $p$ केवल वास्तविक जड़ें हैं)। मान लो की $p$ में जड़ है $K\subseteq R$ जो का विस्तार है $F$ कट्टरपंथियों द्वारा। फिर की डिग्री $p$ 2 की शक्ति है, और इसका विभाजन क्षेत्र का पुनरावर्तित द्विघात विस्तार है $F$ .^[8]^[9]^{: 571–572} इस प्रकार किसी भी अलघुकरणीय बहुपद के लिए जिसकी डिग्री 2 की शक्ति नहीं है और जिसकी सभी जड़ें वास्तविक हैं, वास्तविक रेडिकल्स के संदर्भ में किसी भी जड़ को शुद्ध रूप से व्यक्त नहीं किया जा सकता है, अर्थात यह इस लेख के (16वीं शताब्दी) अर्थ में एक कैसस इरेड्यूसिबिलिस है। इसके अलावा, यदि बहुपद की डिग्री 2 की शक्ति है और जड़ें सभी वास्तविक हैं, तो यदि कोई जड़ है जिसे वास्तविक मूलांक में व्यक्त किया जा सकता है, तो इसे वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और उच्च-स्तरीय जड़ों के रूप में नहीं, जैसा कि हो सकता है अन्य जड़ें, और इसलिए जड़ें रचनात्मक संख्या हैं।

डमिट द्वारा पंचक समारोह के लिए कैसस इरेड्यूसिबिलिस पर चर्चा की गई है।^[10]^: 17

=== कोण पेंटासेक्शन (क्विंटिसेक्शन) और उच्चतर === से संबंध पांच वास्तविक जड़ों के साथ रिड्यूसिबल और इरेड्यूसिबल क्विंटिक मामलों के बीच का अंतर इस मुद्दे से संबंधित है कि क्या तर्कसंगत कोसाइन या तर्कसंगत साइन के साथ एक कोण पेंटेसेक्टेबल है (पांच बराबर भागों में विभाजित होने में सक्षम) कंपास और अचिह्नित के शास्त्रीय माध्यमों द्वारा सीधे बढ़त। किसी भी कोण के लिए $θ$ , इस कोण के पांचवें हिस्से में कोसाइन है जो समीकरण के पांच वास्तविक मूलों में से एक है

16x^{5}-20x^{3}+5x-\cos(\theta )=0.

वैसे ही, $θ / 5$ में एक ज्या है जो समीकरण के पाँच वास्तविक मूलों में से एक है

16y^{5}-20y^{3}+5y-\sin(\theta )=0.

किसी भी स्थिति में, यदि परिमेय मूल परीक्षण एक परिमेय मूल x देता है₁, तो पंचक कम हो जाता है क्योंकि इसे एक कारक के रूप में लिखा जा सकता है (x-x₁) गुणा एक क्वार्टिक बहुपद। लेकिन अगर परीक्षण से पता चलता है कि कोई परिमेय जड़ नहीं है, तो बहुपद अलघुकरणीय हो सकता है, जिस स्थिति में कैसस इरेड्यूसिबिलिस लागू होता है, $cos(θ ⁄ 5)$ तथा $sin(θ ⁄ 5)$ रचनात्मक नहीं हैं, कोण $θ ⁄ 5$ रचनात्मक नहीं है, और angle $θ$ क्लासिकल पेंटेसेक्टिबल नहीं है। इसका एक उदाहरण है जब कोई कम्पास और सीधे किनारे के साथ 25-गॉन (आइकोसिपेंटागन) बनाने का प्रयास करता है। जबकि एक पेंटागन का निर्माण करना अपेक्षाकृत आसान है, एक 25-गॉन के लिए न्यूनतम बहुपद के रूप में एक कोण पेंटासेक्टर की आवश्यकता होती है $cos(14.4°)$ डिग्री 10 है:

{\begin{aligned}\cos \left({\frac {2\pi }{5}}\right)&={\frac {{\sqrt {5}}-1}{4}}\\16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}&=0\qquad \qquad x=\cos \left({\frac {2\pi }{25}}\right)\\4\left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1-{\sqrt {5}}}{4}}\right)\left(16x^{5}-20x^{3}+5x+{\frac {1+{\sqrt {5}}}{4}}\right)&=0\\4\left(16x^{5}-20x^{3}+5x\right)^{2}+2\left(16x^{5}-20x^{3}+5x\right)-1&=0\\1024x^{10}-2560x^{8}+2240x^{6}+32x^{5}-800x^{4}-40x^{3}+100x^{2}+10x-1&=0.\end{aligned}}

इस प्रकार,

{\begin{aligned}e^{2\pi i/5}&={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}+{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i\\e^{-2\pi i/5}&={\frac {-1+{\sqrt {5}}}{4}}-{\frac {\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}{4}}i\\\cos \left({\frac {2\pi }{25}}\right)&={\frac {{\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {5}}-i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}+{\sqrt[{5}]{-1+{\sqrt {5}}+i{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}}}{2{\sqrt[{5}]{4}}}}.\end{aligned}}

↑ Wantzel, Pierre (1843), "Classification des nombres incommensurables d'origine algébrique" (PDF), Nouvelles Annales de Mathématiques (in french), 2: 117–127{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link)
↑ Cox (2012), Theorem 1.3.1, p. 15.
↑ $\Delta$ is closely related to the Vandermonde polynomial.
↑ The polynomial $x^{3}+x+1$ with discriminant $D = -31 < 0$ is easily seen to be irreducible, because according the rational root theorem it would have to have roots $\in \{-1,1\}$ which it does not have.

↑ James Pierpont in Annals of Mathematics 1900-1901 on p. 42: „To Cardan and his contemporaries who had no idea how such cube roots could be found this case was highly paradoxical. Since that time mathematicians have attempted to present these real roots as sums of real radicals. As their efforts were unsuccessful, the case when D > 0 was known as the casus irreducibilis.“
Artur Ekert Complex and unpredictable Cardano takes Cardano’s example

x^{3}-15x-4=0

having

{\textstyle q^{2}/4+p^{3}/27=(-4)^{2}/4+(-15)^{3}/27=-121<0}

and writes on p. 9: „Cardano knew that

x=4

was one of the solutions and yet it was a casus irreducibilis“. This shows that in the 16th century „irreducibilis“ must have meant something like „not reducible to real radicals“.
On the other hand, Cardano’s example may be used to show how real roots can arise from cube roots of non-real numbers:

We have	$p=-15,\;q=-4$ ,
which yields	$d:={q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}=-121$ ,
from which	$-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {d}}=2\pm 11\,i$ .
In the 16th century it was difficult („verè sophistica“) to find that
	${\sqrt[{3}]{2+11^{\color {white};}i}}=2+i=:u$
and	${\sqrt[{3}]{2-11^{\color {white};}i}}=2-i=:v$ ,
so that	$t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$
	$=\omega _{k}u+\omega _{k}^{2}v$ .
This means in detail:
1st root	$t_{1}=\omega _{1}u+\omega _{1}^{2}v$
	$=1\cdot (2+i)+1\cdot (2-i)$
	$=4$ ,
2nd root	$t_{2}=\omega _{2}u+\omega _{2}^{2}v$
	$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)-{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$
	$=-2-{\sqrt {3}}$ ,
3rd root	$t_{3}=\omega _{3}u+\omega _{3}^{2}v$
	$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)+{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$
	$=-2+{\sqrt {3}}$ .

It may be noticed that ${\textstyle d:=q^{2}/4+p^{3}/27=-121}$ is not the discriminant $D$ ; it is $D=-108\,d=13068=2^{2}3^{3}11^{2}$ with the sign inverted. Interestingly ${\textstyle {\sqrt {d}}=i{\sqrt {D/108}}}$ occurs in Cardano’s formula (as well as the primitive 3rd roots of unity $\omega _{2,3}$ with their $i{\sqrt {3}}$ ), although ${\sqrt {D}}~,$ and not ${\sqrt {d}}~,$ is necessarily an element of the splitting field.

↑ B.L. van der Waerden, Modern Algebra (translated from German by Fred Blum), Frederick Ungar Publ. Co., 1949, p. 180.
↑ Cox (2012), Section 1.3B Trigonometric Solution of the Cubic, pp. 18–19.
↑ Cox (2012), Theorem 8.6.5, p. 222.
↑ I. M. Isaacs, "Solution of polynomials by real radicals", American Mathematical Monthly 92 (8), October 1985, 571–575,
↑ David S. Dummit Solving Solvable Quintics

संदर्भ

Cox, David A. (2012), Galois Theory, Pure and Applied Mathematics (2nd ed.), John Wiley & Sons, doi:10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9. See in particular Section 1.3 Cubic Equations over the Real Numbers (pp. 15–22) and Section 8.6 The Casus Irreducibilis (pp. 220–227).
van der Waerden, Bartel Leendert (2003), Modern Algebra I, F. Blum, J.R. Schulenberg, Springer, ISBN 978-0-387-40624-4

बाहरी संबंध

casus irreducibilis at PlanetMath.

[Wantzel-1] Wantzel, Pierre (1843), "Classification des nombres incommensurables d'origine algébrique" (PDF), Nouvelles Annales de Mathématiques (in french), 2: 117–127{{citation}}: CS1 maint: unrecognized language (link)

[2] Cox (2012), Theorem 1.3.1, p. 15.

[3] $\Delta$ is closely related to the Vandermonde polynomial.

[4] The polynomial $x^{3}+x+1$ with discriminant $D = -31 < 0$ is easily seen to be irreducible, because according the rational root theorem it would have to have roots $\in \{-1,1\}$ which it does not have.

[5] James Pierpont in Annals of Mathematics 1900-1901 on p. 42: „To Cardan and his contemporaries who had no idea how such cube roots could be found this case was highly paradoxical. Since that time mathematicians have attempted to present these real roots as sums of real radicals. As their efforts were unsuccessful, the case when D > 0 was known as the casus irreducibilis.“
Artur Ekert Complex and unpredictable Cardano takes Cardano’s example $x^{3}-15x-4=0$ having ${\textstyle q^{2}/4+p^{3}/27=(-4)^{2}/4+(-15)^{3}/27=-121<0}$ and writes on p. 9: „Cardano knew that $x=4$ was one of the solutions and yet it was a casus irreducibilis“. This shows that in the 16th century „irreducibilis“ must have meant something like „not reducible to real radicals“.
On the other hand, Cardano’s example may be used to show how real roots can arise from cube roots of non-real numbers:

We have $p=-15,\;q=-4$ ,

which yields $d:={q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}=-121$ ,

from which $-{q \over 2}\pm {\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}=-{q \over 2}\pm {\sqrt {d}}=2\pm 11\,i$ .

In the 16th century it was difficult („verè sophistica“) to find that

${\sqrt[{3}]{2+11^{\color {white};}i}}=2+i=:u$

and ${\sqrt[{3}]{2-11^{\color {white};}i}}=2-i=:v$ ,

so that $t_{k}=\omega _{k}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}+{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}+\omega _{k}^{2}{\sqrt[{3}]{-{q \over 2}-{\sqrt {{q^{2} \over 4}+{p^{3} \over 27}}}}}$

$=\omega _{k}u+\omega _{k}^{2}v$ .

This means in detail:

1st root $t_{1}=\omega _{1}u+\omega _{1}^{2}v$

$=1\cdot (2+i)+1\cdot (2-i)$

$=4$ ,

2nd root $t_{2}=\omega _{2}u+\omega _{2}^{2}v$

$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)-{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$

$=-2-{\sqrt {3}}$ ,

3rd root $t_{3}=\omega _{3}u+\omega _{3}^{2}v$

$={\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2+i)+{\biggl (}\!\!-{\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}i{\biggr )}\cdot (2-i)$

$=-2+{\sqrt {3}}$ .

It may be noticed that ${\textstyle d:=q^{2}/4+p^{3}/27=-121}$ is not the discriminant $D$ ; it is $D=-108\,d=13068=2^{2}3^{3}11^{2}$ with the sign inverted. Interestingly ${\textstyle {\sqrt {d}}=i{\sqrt {D/108}}}$ occurs in Cardano’s formula (as well as the primitive 3rd roots of unity $\omega _{2,3}$ with their $i{\sqrt {3}}$ ), although ${\sqrt {D}}~,$ and not ${\sqrt {d}}~,$ is necessarily an element of the splitting field.

[6] B.L. van der Waerden, Modern Algebra (translated from German by Fred Blum), Frederick Ungar Publ. Co., 1949, p. 180.

[7] Cox (2012), Section 1.3B Trigonometric Solution of the Cubic, pp. 18–19.

[8] Cox (2012), Theorem 8.6.5, p. 222.

[Isaacs-9] I. M. Isaacs, "Solution of polynomials by real radicals", American Mathematical Monthly 92 (8), October 1985, 571–575,

[10] David S. Dummit Solving Solvable Quintics

[1]

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