लाई समूह

Not to be confused with Group of Lie type.

गणित में, एक झूठ समूह (उच्चारण /liː/ LEE) एक समूह (गणित) है जो एक अलग-अलग कई गुना भी है। विविध एक ऐसा स्थान है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन अंतरिक्ष से मिलता जुलता है, जबकि समूह एक बाइनरी ऑपरेशन की सार अवधारणा को परिभाषित करते हैं, साथ ही अतिरिक्त गुणों के साथ इसे एक समूह होना चाहिए, उदाहरण के लिए गुणन और व्युत्क्रम (विभाजन), या समकक्ष, जोड़ की अवधारणा और व्युत्क्रम (घटाव) लेना। इन दो विचारों के संयोजन से, एक निरंतर समूह प्राप्त होता है जहां गुणन बिंदु और उनके व्युत्क्रम निरंतर होते हैं। यदि व्युत्क्रमों का गुणन और लेना भी चिकनापन (भिन्न करने योग्य) है, तो एक लाई समूह प्राप्त होता है।

झूठ समूह निरंतर समरूपता की अवधारणा के लिए एक प्राकृतिक मॉडल प्रदान करते हैं, जिसका एक प्रसिद्ध उदाहरण तीन आयामों में घूर्णी समरूपता है (विशेष ऑर्थोगोनल समूह द्वारा दिया गया) ${\text{SO}}(3)$). आधुनिक गणित और भौतिकी के कई हिस्सों में लाई समूहों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

मैट्रिक्स (गणित) उपसमूहों का अध्ययन करके सबसे पहले झूठ समूह पाए गए $G$ इसमें रखा ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {R} )$ या ${\text{GL}}_{n}(\mathbb {C} )$, सामान्य रैखिक समूह | के समूह $n\times n$ उलटा मेट्रिसेस खत्म $\mathbb {R}$ या $\mathbb {C}$. इन्हें अब शास्त्रीय समूह कहा जाता है, क्योंकि अवधारणा को इन मूल से बहुत आगे बढ़ाया गया है। झूठे समूहों का नाम नार्वेजियन गणितज्ञ सोफस झूठ (1842-1899) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने निरंतर परिवर्तन समूहों के सिद्धांत की नींव रखी। लाई समूहों को शुरू करने के लिए लाई की मूल प्रेरणा अंतर समीकरणों की निरंतर समरूपता को मॉडल करना था, ठीक उसी तरह जिस तरह से परिमित समूहों को बीजगणितीय समीकरणों के असतत समरूपता को मॉडल करने के लिए गाल्वा सिद्धांत में उपयोग किया जाता है।

इतिहास

लाई समूहों के प्रारंभिक इतिहास पर सबसे आधिकारिक स्रोत के अनुसार (हॉकिन्स, पृ. 1), सोफस ली ने स्वयं 1873-1874 की सर्दियों को निरंतर समूहों के अपने सिद्धांत की जन्म तिथि माना। हॉकिन्स, हालांकि, सुझाव देते हैं कि यह 1869 के पतन से 1873 के पतन तक चार साल की अवधि के दौरान ली की विलक्षण शोध गतिविधि थी जिसने सिद्धांत के निर्माण का नेतृत्व किया (वही)। लाई के शुरुआती विचारों में से कुछ फेलिक्स क्लेन के निकट सहयोग से विकसित किए गए थे। अक्टूबर 1869 से 1872 तक हर दिन क्लेन से मिले: बर्लिन में अक्टूबर 1869 के अंत से फरवरी 1870 के अंत तक, और बाद के दो वर्षों में पेरिस, गॉटिंगेन और एर्लांगेन में (वही, पृ. 2)। ली ने कहा कि सभी प्रमुख परिणाम 1884 तक प्राप्त किए गए थे। लेकिन 1870 के दशक के दौरान उनके सभी पत्र (पहले नोट को छोड़कर) नॉर्वेजियन पत्रिकाओं में प्रकाशित हुए थे, जिसने पूरे यूरोप में काम की मान्यता को बाधित किया था (ibid, पृष्ठ.76) ). 1884 में एक युवा जर्मन गणितज्ञ, फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ), अपने निरंतर समूहों के सिद्धांत को उजागर करने के लिए एक व्यवस्थित ग्रंथ पर काम करने के लिए आए। इस प्रयास से 1888, 1890 और 1893 में प्रकाशित तीन-खंड थ्योरी डेर ट्रांसफॉर्मेशनग्रुपेन का परिणाम हुआ। समूह डी लाइ शब्द पहली बार फ्रेंच में 1893 में ली के छात्र आर्थर ट्रेस की थीसिस में दिखाई दिया। ले के विचार बाकी गणित से अलग नहीं थे। वास्तव में, विभेदक समीकरणों की ज्यामिति में उनकी रुचि सबसे पहले कार्ल गुस्ताव जैकोबी के काम से प्रेरित थी, जो पहले क्रम के आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत और शास्त्रीय यांत्रिकी के समीकरणों पर आधारित थी। 1860 के दशक में मरणोपरांत जैकोबी का अधिकांश काम प्रकाशित हुआ, जिससे फ्रांस और जर्मनी में भारी दिलचस्पी पैदा हुई (हॉकिन्स, पृष्ठ 43)। लाई की विचारधारा अंतर समीकरणों की समरूपता के एक सिद्धांत को विकसित करना था जो उनके लिए वह हासिल करेगा जो एवरिस्ट गैलोइस ने बीजगणितीय समीकरणों के लिए किया था: अर्थात्, उन्हें समूह सिद्धांत के संदर्भ में वर्गीकृत करना। ले और अन्य गणितज्ञों ने दिखाया कि विशेष कार्यों और ऑर्थोगोनल बहुपदों के लिए सबसे महत्वपूर्ण समीकरण समूह सैद्धांतिक समरूपता से उत्पन्न होते हैं। ली के शुरुआती काम में, फेलिक्स क्लेन और हेनरी पॉइनकेयर के हाथों मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में विकसित असतत समूहों के सिद्धांत को पूरक करने के लिए निरंतर समूहों के सिद्धांत का निर्माण करने का विचार था। लाई के मन में जो प्रारंभिक अनुप्रयोग था वह अवकल समीकरणों के सिद्धांत के लिए था। गैलोज़ सिद्धांत और बहुपद समीकरणों के मॉडल पर, ड्राइविंग अवधारणा समरूपता के अध्ययन से सामान्य अंतर समीकरणों के पूरे क्षेत्र को एकीकृत करने में सक्षम सिद्धांत की थी। हालाँकि, आशा है कि लाई थ्योरी साधारण अंतर समीकरणों के पूरे क्षेत्र को एकजुट करेगी, पूरी नहीं हुई। ODEs के लिए समरूपता विधियों का अध्ययन जारी है, लेकिन विषय पर हावी नहीं हैं। एक विभेदक गैलोज़ सिद्धांत है, लेकिन इसे दूसरों द्वारा विकसित किया गया था, जैसे कि पिकार्ड और वेसिओट, और यह चतुष्कोण (गणित) का सिद्धांत प्रदान करता है, समाधान व्यक्त करने के लिए आवश्यक अनिश्चित अभिन्न।

निरंतर समूहों पर विचार करने के लिए अतिरिक्त प्रेरणा, ज्यामिति की नींव पर बर्नहार्ड रीमैन के विचारों और क्लेन के हाथों उनके आगे के विकास से आई। इस प्रकार 19वीं शताब्दी के गणित में तीन प्रमुख विषयों को ली द्वारा अपने नए सिद्धांत को बनाने में जोड़ा गया था: समरूपता का विचार, जैसा कि एक समूह (गणित) की बीजगणितीय धारणा के माध्यम से गैलोज़ द्वारा उदाहरण दिया गया था; ज्यामितीय सिद्धांत और यांत्रिकी के अंतर समीकरणों के स्पष्ट समाधान, सिमोन डेनिस पॉइसन और जैकोबी द्वारा काम किया गया; और जूलियस प्लकर | प्लकर, अगस्त फर्डिनेंड मोबियस | मोबियस, ग्रासमैन और अन्य के कार्यों में उभरी ज्यामिति की नई समझ, और इस विषय पर रीमैन की क्रांतिकारी दृष्टि में चरम पर पहुंच गई।

यद्यपि आज सोफस ली को निरंतर समूहों के सिद्धांत के निर्माता के रूप में मान्यता प्राप्त है, उनके संरचना सिद्धांत के विकास में एक प्रमुख प्रगति, जिसका गणित के बाद के विकास पर गहरा प्रभाव होना था, विल्हेम हत्या द्वारा किया गया था, जिसने 1888 में Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (द कंपोजीशन ऑफ़ कंटीन्यूअस फाइन ट्रांसफॉर्मेशन ग्रुप्स) नामक श्रृंखला में पहला पेपर प्रकाशित किया (हॉकिन्स, पृष्ठ 100)। एली कार्टन द्वारा बाद में परिष्कृत और सामान्यीकृत किए गए किलिंग के कार्य ने अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण का नेतृत्व किया, कार्टन का रिमेंनियन सममित स्थान का सिद्धांत, और हरमन वेइल का उच्चतम वजन का उपयोग करके कॉम्पैक्ट और अर्ध-सरल झूठ समूहों के समूह प्रतिनिधित्व का विवरण।

1900 में डेविड हिल्बर्ट ने पेरिस में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में पेश अपनी हिल्बर्ट की पांचवीं समस्या के साथ लाई सिद्धांतकारों को चुनौती दी।

वेइल ने लाई समूहों के सिद्धांत के विकास की प्रारंभिक अवधि को फलित किया, क्योंकि उन्होंने न केवल सेमीसिंपल लाई समूहों के इरेड्यूसिबल निरूपण को वर्गीकृत किया और क्वांटम यांत्रिकी के साथ समूहों के सिद्धांत को जोड़ा, बल्कि उन्होंने लाई के सिद्धांत को भी मजबूती से स्थापित किया। स्पष्ट रूप से लाइ के अपरिमेय समूहों (यानी, लाइ अलजेब्रा) और उचित लाइ समूहों के बीच अंतर को स्पष्ट करते हुए, और लाइ समूहों की टोपोलॉजी की जांच शुरू की। क्लाउड चेवेली द्वारा एक मोनोग्राफ में आधुनिक गणितीय भाषा में झूठ समूहों के सिद्धांत को व्यवस्थित रूप से फिर से काम किया गया था।

सिंहावलोकन

File:Circle as Lie group.svg

पूर्ण मान 1 के साथ सभी जटिल संख्याओं का सेट (जटिल विमान में केंद्र 0 और त्र