अवकलज

This article is about the term as used in calculus. For a less technical overview of the subject, see differential calculus. For other uses, see अवकलज (disambiguation).

एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। स्पर्शरेखा रेखा का ढलान चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के एकरूप है।

गणित में, एक वास्तविक चर के एक कार्य का व्युत्पन्न एक कार्य (निवेश मूल्य) के अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में कार्य मूल्य (प्रक्षेपण मूल्य) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। व्युत्पन्न गणना का एक मूलभूत उपकरण है। उदाहरण के लिए, समय के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का वेग है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है।

किसी सुचयनित निवेश मूल्य पर एकल चर के कार्य का व्युत्पन्न, जब वह उपस्थित होता है, उस बिंदु पर कार्य के लेखाचित्र पर स्पर्शरेखा का ढलान होता है। स्पर्श रेखा उस निवेश मूल्य के पास कार्य का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को प्रायः परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है।

व्युत्पन्न को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए सामूल्य्यीकृत किया जा सकता है। इस सामूल्य्यीकरण में, व्युत्पन्न को एक रैखिक परिवर्तन के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका लेखाचित्र (उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के लेखाचित्र के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है। जैकबियन आव्यूह (गणित) है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी गणना स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए, जेकोबियन आव्यूह प्रवणता संवाहक में कम हो जाता है।

व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विवेक कहा जाता है। विपत्ति प्रक्रिया को 'विरोधी विशिष्टीकरण ' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।

परिभाषा

एक वास्तविक चर का एक कार्य f(x) एक बिंदु पर अवकलनीय है a किसी कार्य के अपने अधि क्षेत्र का, यदि उसके अधि क्षेत्र में एक खुला अंतराल है I युक्त a, और सीमा (गणित)

$L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

उपस्थित। इसका उद्देश्य है कि, हर सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $\varepsilon$ (यहां तक ​​कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या उपस्थित है $\delta$ ऐसा है कि, हर के लिए h ऐसा है कि $|h|<\delta$ तथा $h\neq 0$ फिर $f(a+h)$ परिभाषित किया गया है, और

$\left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,$

जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मूल्य दर्शाती हैं (देखें (ε, δ)-सीमा की परिभाषा)।

यदि समारोह f पर अवकलनीय है a, वह अगर सीमा L उपस्थित है, तो इस सीमा को व्युत्पन्न कहा जाता है f पर a, और निरूपित $f'(a)$ (के रूप में पढ़ें f के प्रमुख a) या ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ (के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें f इसके संबंध में x पर a,dy द्वारा dx पर a, या dy ऊपर dx पर a); देखना § प्रतीकांकन (सूचना ), नीचे।

निरंतरता और भिन्नता

इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है (विशेष रूप से, इसमें कूदना बंद करो है)।

यदि f पर अवकलनीय है a, फिर f पर भी निरंतर कार्य करना चाहिए a. एक उदाहरण के रूप में, एक बिंदु चुनें a और जाने f चरण कार्य बनें जो सभी के लिए मूल्य 1 लौटाता है x से कम a, और सभी के लिए भिन्न मूल्य 10 लौटाता है x इससे बड़ा या इसके एकरूप a. f पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता a. यदि h नकारात्मक है, तो a + h कदम के निचले हिस्से पर है, इसलिए छेदक रेखा से a प्रति a + h बहुत खड़ी है, और रूप में h शून्य की शैली में जाता है ढलान अनंत की शैली जाता है। यदि h सकारात्मक है, तो a + h सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: से छेदक रेखा a प्रति a + h ढलान शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा उपस्थित नहीं होती है।

निरपेक्ष मूल्य फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है x = 0 चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं शैली से उसी मूल्य तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं शैली से करते हैं।

यद्यपि, समान ही एक बिंदु पर एक कार्य निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, द्वारा दिया गया निरपेक्ष मूल्य कार्य f(x) = |x| पर निरंतर है x = 0, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं है। यदि h धनात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से h एक है, जबकि अगर h ऋणात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से h एक नकारात्मक है। इसे लेखाचित्रिक रूप से लेखाचित्र में व्याकुंचन या संक्रांति के रूप में देखा जा सकता है x = 0. यहां तक ​​​​कि एक सुचारू लेखाचित्र वाला कार्य भी उस बिंदु पर भिन्न नहीं होता है जहां इसकी लंबवत स्पर्शरेखा होती है: उदाहरण के लिए, दिया गया कार्य f(x) = x^1/3 पर अवकलनीय नहीं है x = 0.

सारांश में, एक ऐसा फलन जिसमें एक अवकलज होता है, सतत होता है, लेकिन ऐसे सतत फलन होते हैं जिनका कोई अवकलज नहीं होता।

अभ्यास में होने वाले अधिकांश कार्यों में सभी बिंदुओं पर या इतस्ततः हर जगह व्युत्पन्न होते हैं। गणना के इतिहास के आरंभ में, कई गणितज्ञों ने यह मूल्य लिया था कि एक सतत फलन अधिकांश बिंदुओं पर अवकलनीय था। हल्की परिस्थितियों में, उदाहरण के लिए यदि कार्य एक एकदिष्ट समारोह या लिप्सचिट्ज़ समारोह है, तो यह सत्य है। यद्यपि, 1872 में वेइरस्ट्रास ने एक ऐसे कार्य का पहला उदाहरण पाया जो हर जगह निरंतर है लेकिन कहीं भी भिन्न नहीं है। यह उदाहरण अब वीयरस्ट्रैस समारोह के रूप में जाना जाता है। 1931 में, स्टीफन बानाच ने सिद्ध किया कि किसी बिंदु पर व्युत्पन्न वाले कार्य का निर्धारित सभी निरंतर कार्य के स्थान पर एक अल्प निर्धारित है। अनौपचारिक रूप से, इसका उद्देश्य यह है कि किसी भी यादृच्छिक निरंतर कार्यों का एक बिंदु पर भी व्युत्पन्न होता है।

एक समारोह के रूप में व्युत्पन्न

अवकलनीय फलन के विभिन्न बिंदुओं पर व्युत्पन्न। इस मामले में, व्युत्पन्न के एकरूप है:$\sin \left(x^{2}\right)+2x^{2}\cos \left(x^{2}\right)$

होने देना f ऐसा फलन हो जिसका फलन के अपने क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु पर एक अवकलज हो। हम तब एक कार्य को परिभाषित कर सकते हैं जो हर बिंदु को मानचित्र करता है x के व्युत्पन्न के मूल्य के लिए f पर x. यह समारोह लिखा है f′ और इसे व्युत्पन्न कार्य या व्युत्पन्न कहा जाता है f.

कभी-कभी f इसके अधि क्षेत्र के अधिकांश बिंदुओं पर व्युत्पन्न है, लेकिन सभी नहीं। वह कार्य जिसका मूल्य at a एकरूपी f′(a) जब भी f′(a) परिभाषित किया गया है और कहीं और अपरिभाषित है, इसे व्युत्पन्न भी कहा जाता है f. यह अभी भी एक कार्य है, लेकिन इसका अधि क्षेत्र के अधि क्षेत्र से छोटा हो सकता है f.

इस विचार का उपयोग करते हुए, विवेक कार्यों का एक कार्य बन जाता है: व्युत्पन्न एक संचालक (गणित) है जिसका अधि क्षेत्र उन सभी कार्यों का निर्धारित है जिनके अधि क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर व्युत्पन्न हैं और जिनकी सीमा कार्यों का एक निर्धारित है। यदि हम इस संचालक को निरूपित करते हैं D, फिर D(f) कार्य है f′. तब से D(f) एक कार्य है, इसका मूल्यांकन एक बिंदु पर किया जा सकता है a. व्युत्पन्न समारोह की परिभाषा के द्वारा, D(f)(a) = f′(a).

तुलना के लिए, द्वारा दिए गए दोहरीकरण समारोह पर विचार करें f(x) = 2x; f एक वास्तविक संख्या का वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, जिसका अर्थ है कि यह संख्याओं को निवेश के रूप में लेता है और संख्याओं को प्रक्षेपण के रूप में रखता है:

${\begin{aligned}1&{}\mapsto 2,\\2&{}\mapsto 4,\\3&{}\mapsto 6.\end{aligned}}$

परिचालक D यद्यपि, अलग-अलग अंको पर परिभाषित नहीं किया गया है। यह केवल कार्यों पर परिभाषित किया गया है:

${\begin{aligned}D(x\mapsto 1)&=(x\mapsto 0),\\D(x\mapsto x)&=(x\mapsto 1),\\D\left(x\mapsto x^{2}\right)&=(x\mapsto 2\cdot x).\end{aligned}}$

क्योंकि का उत्पादन D एक कार्य है, का प्रक्षेपण D एक बिंदु पर मूल्यांकन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कब D चौकोर कार्य पर लागू होता है, x ↦ x², D दोहरीकरण समारोह को प्रक्षेपण करता है x ↦ 2xजिसे हमने नाम दिया है f(x). इस प्रक्षेपण कार्य का मूल्यांकन प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है f(1) = 2, f(2) = 4, और इसी तरह।

उच्च व्युत्पन्न

होने देना f एक अवकलनीय कार्य हो, और चलो f ′ इसका व्युत्पन्न हो। का व्युत्पन्न f ′ (यदि है तो) लिखा हुआ है f ′′ और का दूसरा व्युत्पन्न कहा जाता है f. इसी प्रकार, दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न, यदि यह उपस्थित है, लिखा गया है f ′′′ का तीसरा व्युत्पन्न कहा जाता है f. इस प्रक्रिया को जारी रखते हुए, परिभाषित किया जा सकता है, यदि यह उपस्थित है, तो nवें व्युत्पन्न के व्युत्पन्न के रूप में (n−1)वें व्युत्पन्न। इन पुनरावर्ती गए व्युत्पन्न को उच्च-क्रम व्युत्पन्न कहा जाता है। n'}}वें अवकलज को क्रम का अवकलज भी कहा जाता है n और # लैग्रेंज का अंकन f ⁽ⁿ⁾.

यदि x(t) समय पर किसी वस्तु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है t, फिर के उच्च-क्रम के व्युत्पन्न x भौतिकी में विशिष्ट व्याख्याएँ हैं। पहला व्युत्पन्न x वस्तु का वेग है। दूसरा व्युत्पन्न x त्वरण है। तीसरा व्युत्पन्न x झटका (भौतिकी) है। और अंत में, चौथे से छठे व्युत्पन्न के x हैं उछाल, गुर्राना, भड़कना, और लोकप्रिय; खगोल भौतिकी के लिए सबसे अधिक लागू।

एक समारोह f व्युत्पन्न होने की आवश्यकता नहीं है (उदाहरण के लिए, यदि यह निरंतर नहीं है)। इसी तरह, समान ही f एक व्युत्पन्न है, इसका दूसरा व्युत्पन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, चलो

$f(x)={\begin{cases}+x^{2},&{\text{if }}x\geq 0\\-x^{2},&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}$

गणना यह दर्शाती है f एक अवकलनीय फलन है जिसका व्युत्पन्न है $x$ द्वारा दिया गया है

$f'(x)={\begin{cases}+2x,&{\text{if }}x\geq 0\\-2x,&{\text{if }}x\leq 0.\end{cases}}$

f'(x) पर निरपेक्ष मूल्य फलन का दुगुना है $x$, और इसका शून्य पर व्युत्पन्न नहीं है। समूल्य उदाहरण दिखाते हैं कि एक फलन में a हो सकता है kप्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए वें व्युत्पन्न k लेकिन नहीं (k + 1)वें व्युत्पन्न। एक समारोह जिसमें है k उत्तरोत्तर व्युत्पन्न कहलाते हैंk बार अलग करने योग्य है। अगर इसके अलावा kवां अवकलज सतत है, तो फलन अवकलनीयता वर्ग का कहा जाता है C^k. (यह होने की तुलना में एक मजबूत स्थिति है k व्युत्पन्न, जैसा कि दूसरे उदाहरण द्वारा दिखाया गया है सहजता § उदहारण।) एक ऐसा फलन जिसके अपरिमित रूप से अनेक अवकलज होते हैं, अपरिमित रूप से अवकलनीय या सहजता कहलाता है।

वास्तविक रेखा पर, प्रत्येक बहुपद फलन अपरिमित रूप से अवकलनीय होता है। मूल्यक विवेक नियमों द्वारा, यदि श्रेणी का बहुपद n विभेदित है n समय, तो यह एक निरंतर कार्य बन जाता है। इसके बाद के सभी व्युत्पन्न समूल्य रूप से शून्य हैं। विशेष रूप से, वे उपस्थित हैं, इसलिए बहुपद सहज कार्य हैं।

एक समारोह के व्युत्पन्न f एक बिंदु पर x उस कार्य के पास बहुपद सन्निकटन प्रदान करें x. उदाहरण के लिए, यदि f तब दो बार अवकलनीय है

$f(x+h)\approx f(x)+f'(x)h+{\tfrac {1}{2}}f''(x)h^{2}$

इस अर्थ में कि

$\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)-f'(x)h-{\frac {1}{2}}f''(x)h^{2}}{h^{2}}}=0.$

यदि f असीम रूप से भिन्न है, तो यह टेलर श्रृंखला की शुरुआत है f पर मूल्यांकन किया गया x + h चारों शैली x.

विभक्ति बिंदु

Main article: विभक्ति उल्लेख

एक बिंदु जहां किसी कार्य का दूसरा व्युत्पन्न संकेत बदलता है, एक विभक्ति बिंदु कहलाता है। एक विभक्ति बिंदु पर, दूसरा व्युत्पन्न शून्य हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में होता है x = 0 द्वारा दिए गए समारोह का $f(x)=x^{3}$, या यह अस्तित्व में विफल हो सकता है, जैसा कि विभक्ति बिंदु के मामले में है x = 0 द्वारा दिए गए समारोह का $f(x)=x^{\frac {1}{3}}$. एक मोड़ बिंदु पर, एक कार्य उत्तल कार्य होने से अवतल कार्य या इसके विपरीत होने पर विपर्येण करता है।

अंकन (विवरण)

Main article: अंकन पद्धति के प्रति विशिष्टीकरण

लीबनिज का अंकन

Main article: Leibniz's अंकन पद्धति

प्रतीक $dx$, $dy$, तथा ${\frac {dy}{dx}}$ 1675 में Gottfried Wilhelm Leibniz द्वारा पेश किए गए थे। यह तब भी सामान्यतः प्रयोग किया जाता है जब समीकरण y = f(x) निर्भर और स्वतंत्र चर के बीच कार्यात्मक संबंध के रूप में देखा जाता है। फिर पहले व्युत्पन्न द्वारा निरूपित किया जाता है

${\frac {dy}{dx}},\quad {\frac {df}{dx}},{\text{ or }}{\frac {d}{dx}}f,$

और एक बार एक अतिसूक्ष्म भागफल के रूप में सोचा गया था। उच्च व्युत्पन्न्स को संकेतन का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है

${\frac {d^{n}y}{dx^{n}}},\quad {\frac {d^{n}f}{dx^{n}}},{\text{ or }}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}f$

के n वें व्युत्पन्न के लिए $y=f(x)$. ये व्युत्पन्न संचालक के कई अनुप्रयोगों के लिए संक्षिप्त रूप हैं। उदाहरण के लिए,

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

Leibniz's के अंकन के साथ, हम का व्युत्पन्न लिख सकते हैं $y$ बिंदु पर $x=a$ दो अलग-अलग तरीकों से:

$\left.{\frac {dy}{dx}}\right|_{x=a}={\frac {dy}{dx}}(a).$

Leibniz's के अंकन से विभेदीकरण (हर में) के लिए चर निर्दिष्ट करने की अनुमति मिलती है, जो आंशिक व्युत्पन्न में प्रासंगिक है। इसकी उपयोग श्रृंखला नियम को लिखने के लिए भी की जा सकती है

${\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{du}}\cdot {\frac {du}{dx}}.$

लैग्रेंज का अंकन

कभी-कभी मुख्य अंकन पद्धति के रूप में जाना जाता है, विवेक के लिए सबसे सामान्य आधुनिक अंकन पद्धति में से एक जोसेफ-लुई लाग्रेंज के कारण है और मुख्य (प्रतीक) का उपयोग करता है, ताकि किसी कार्य का व्युत्पन्न हो सके $f$ निरूपित किया जाता है $f'$. इसी तरह, दूसरे और तीसरे व्युत्पन्न को निरूपित किया जाता है

$(f')'=f''$ तथा $(f'')'=f'''.$

इस बिंदु से परे व्युत्पन्न की संख्या को निरूपित करने के लिए, कुछ लेखक अधिलेख में प्राचीन रोमी अंकों का उपयोग करते हैं, जबकि अन्य संख्या को कोष्ठक में रखते हैं:

$f^{\mathrm {iv} }$ या $f^{}$