एबेलियन समूह

For the group described by the archaic use of the related term "Abelian linear group", see Symplectic group.

गणित में, एक एबेलियन समूह, जिसे एक कम्यूटेटिव समूह भी कहा जाता है, एक समूह (गणित) है जिसमें समूह संक्रिया (गणित) को दो समूह तत्वों पर लागू करने का परिणाम उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें वे लिखे गए हैं। अर्थात्, समूह संक्रिया क्रमविनिमेय है। एक ऑपरेशन के रूप में जोड़ के साथ, पूर्णांक और वास्तविक संख्या एबेलियन समूह बनाते हैं, और एक एबेलियन समूह की अवधारणा को इन उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। एबेलियन समूहों का नाम 19वीं सदी के आरंभिक गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है। एक एबेलियन समूह की अवधारणा कई मौलिक बीजगणितीय संरचनाओं को रेखांकित करती है, जैसे कि क्षेत्र (गणित), वलय (गणित), सदिश स्थान और एक क्षेत्र पर बीजगणित। एबेलियन समूहों का सिद्धांत आम तौर पर उनके गैर-अबेलियन समूहों की तुलना में सरल होता है|गैर-एबेलियन समकक्षों, और परिमित एबेलियन समूहों को बहुत अच्छी तरह से समझा जाता है और #वर्गीकरण किया जाता है।

परिभाषा

एक एबेलियन समूह एक सेट (गणित) है $A$, एक साथ एक बाइनरी ऑपरेशन के साथ $\cdot$ जो किसी भी दो तत्वों को जोड़ता है (गणित) $a$ तथा $b$ का $A$ का एक अन्य तत्व बनाना $A,$ लक्षित $a\cdot b$. प्रतीक $\cdot$ ठोस रूप से दिए गए ऑपरेशन के लिए एक सामान्य प्लेसहोल्डर है। एबेलियन समूह, सेट और ऑपरेशन के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, $(A,\cdot )$, एबेलियन समूह अभिगृहीत के रूप में जानी जाने वाली चार आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए (कुछ लेखकों ने अभिगृहीत में कुछ गुण शामिल किए हैं जो किसी संक्रिया की परिभाषा से संबंधित हैं: अर्थात् संक्रिया को तत्वों के किसी भी क्रमित युग्म के लिए परिभाषित किया गया है A, कि परिणाम अच्छी तरह से परिभाषित अभिव्यक्ति है | अच्छी तरह से परिभाषित है, और परिणाम तत्व (गणित) # अंकन और शब्दावली A):

साहचर्य: सभी के लिए $a$, $b$, तथा $c$ में $A$, समीकरण $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ रखती है। पहचान तत्व: एक तत्व मौजूद है $e$ में $A$, जैसे कि सभी तत्वों के लिए $a$ में $A$, समीकरण $e\cdot a=a\cdot e=a$ रखती है। उलटा तत्व: प्रत्येक के लिए $a$ में $A$ एक तत्व मौजूद है $b$ में $A$ ऐसा है कि $a\cdot b=b\cdot a=e$, कहाँ पे $e$ पहचान तत्व है। कम्यूटेटिविटी: सभी के लिए $a$, $b$ में $A$, $a\cdot b=b\cdot a$.

एक समूह जिसमें समूह संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है, एक गैर-अबेलियन समूह या गैर-क्रमविनिमेय समूह कहलाता है।

तथ्य

अंकन

See also: Additive group and Multiplicative group

एबेलियन समूहों के लिए दो मुख्य सांकेतिक परंपराएँ हैं - योज्य और गुणक।

Convention	Operation	Identity	Powers	Inverse
Addition	$x+y$	0	$nx$	$-x$
Multiplication	$x\cdot y$ or $xy$	1	$x^{n}$	$x^{-1}$

आम तौर पर, गुणक संकेतन समूहों के लिए सामान्य संकेतन होता है, जबकि योगात्मक संकेतन मॉड्यूल (गणित) और रिंग (गणित) के लिए सामान्य संकेतन होता है। योज्य संकेतन का उपयोग इस बात पर जोर देने के लिए भी किया जा सकता है कि एक विशेष समूह एबेलियन है, जब भी एबेलियन और गैर-एबेलियन दोनों समूहों पर विचार किया जाता है, कुछ उल्लेखनीय अपवाद निकट-अंगूठियां और आंशिक रूप से आदेशित समूह होते हैं, जहां गैर-अबेलियन होने पर भी एक ऑपरेशन योगात्मक रूप से लिखा जाता है। .