समाधेय समूह

गणित में, अधिक विशेष रूप से समूह सिद्धांत के क्षेत्र में, हल करने योग्य समूह या घुलनशील समूह एक ऐसा समूह है जिसे प्रसार का उपयोग करके एबेलियन समूहों से बनाया जाता है। समतुल्य रूप से, एक हल करने योग्य समूह एक ऐसा समूह होता है जिसकी व्युत्पन्न श्रृंखला तुच्छ उपसमूह में समाप्त होती है।

प्रेरणा

ऐतिहासिक रूप से, हल करने योग्य समूह शब्द गाल्वा सिद्धांत से उत्पन्न हुआ है और क्विंटिक समीकरण की सामान्य अघुलनशीलता का गणितीय प्रमाण है। विशेष रूप से, एक बहुपद समीकरण को मौलिक में हल किया जाता है और केवल तभी संबंधित गैलोज़ समूह हल करने योग्य है (ध्यान दें कि यह प्रमेय केवल विशेषता 0 में है)। इसका मतलब बहुपद से जुड़ा है $f\in F[x]$ छेत्र प्रसार का एक उत्तुंग है

$F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K$

ऐसे है कि

1. $F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]$ जहाँ $\alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}$, इसलिए $\alpha _{i}$ समीकरण का हल है $x^{m_{i}}-a$ जहाँ $a\in F_{i-1}$
2. $F_{m}$ के लिए एक विभाजन क्षेत्र सम्मलित है $f(x)$

उदाहरण

उदाहरण के लिए, सबसे छोटा गैल्वा क्षेत्र विस्तार $\mathbb {Q}$ तत्व युक्त

$a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}$

एक हल करने योग्य समूह देता है। इसमें संबद्ध छेत्र प्रसार है

$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2\pi i/5}{\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}\right)$

युक्त एक हल करने योग्य समूह देता है $\mathbb {Z} /5$ (पर अभिनय $e^{2\pi i/5}$) और $\mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2$ (अभिनय करता है ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$).

परिभाषा

एक समूह G को 'हल करने योग्य' कहा जाता है यदि इसकी एक उपसामान्य श्रृंखला है जिसके कारक समूह (गुणांक समूह) सभी एबेलियन समूह है, अर्थात, यदि उपसमूह 1 = G₀ है < G₁ < ⋅⋅⋅ < G_k= G ऐसा है कि G_j−1 G में सामान्य उपसमूह है_j, और G_j/G_j−1 j = 1, 2, ..., k के लिए एक एबेलियन समूह है।

या समकक्ष, यदि इसकी व्युत्पन्न श्रृंखला, अवरोही सामान्य श्रृंखला है

$G▹<!--\; ▹\; -->$