विभाजन क्षेत्र

This article is about बहुपद का विभाजन क्षेत्र. For सीएसए का विभाजन क्षेत्र, see केंद्रीय सरल बीजगणित.

अमूर्त बीजगणित में, किसी क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपद का विभाजन क्षेत्र उस क्षेत्र का सबसे अल्प क्षेत्र विस्तार होता है, जिस पर बहुपद विभाजित होता है, अर्थात, रैखिक कारकों में विघटित होता है।

परिभाषा

क्षेत्र K पर एक बहुपद p(X) का विभाजन क्षेत्र K का क्षेत्र विस्तार L है, जिस पर p रैखिक कारकों में गुणनखंड करता है।

$p(X)=c\prod _{i=1}^{\deg(p)}(X-a_{i})$

जहाँ $c\in K$और प्रत्येक i के लिए हमारे पास $X-a_{i}\in L[X]$विस्तार L तब K के ऊपर न्यूनतम डिग्री का विस्तार है जिसमें p विभाजित होता है। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसे विभाजन क्षेत्र उपस्थित हैं और आइसोमोर्फिज़्म तक अद्वितीय हैं। उस समरूपता में स्वतंत्रता की मात्रा को p के गैलोइस समूह के रूप में जाना जाता है (यदि हम मानते हैं कि यह अलग करने योग्य है)।

गुण

विस्तार L जो K के ऊपर बहुपद p(X) के समुच्चय के लिए एक विभाजक क्षेत्र है, K का सामान्य विस्तार कहलाता है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र A को देखते हुए, जिसमें K सम्मिलित है, K और A के बीच p का एक अद्वितीय विभाजन क्षेत्र L है, जो p की मूल द्वारा उत्पन्न होता है। यदि K सम्मिश्र संख्याओं का एक उपक्षेत्र है, तो अस्तित्व तत्काल है। दूसरी ओर, बीजीय समापन का अस्तित्व, सामान्य तौर पर, विभाजन क्षेत्र परिणाम से 'सीमा तक जाने' से सिद्ध होता है, इसलिए परिपत्र तर्क से बचने के लिए एक स्वतंत्र प्रमाण की आवश्यकता होती है।

K के अलग करने योग्य विस्तार K' को देखते हुए, K' का गैलोज़ क्लोजर' L एक प्रकार का विभाजन क्षेत्र है, और K का एक गैलोज़ विस्तार भी है जिसमें K' सम्मिलित है जो कि एक स्पष्ट अर्थ में न्यूनतम है। इस तरह के गैलोइस क्लोजर में K के ऊपर सभी बहुपद p के लिए एक विभाजन क्षेत्र होना चाहिए जो कि K के अवयवों के K के ऊपर न्यूनतम बहुपद हैं।

विभाजन क्षेत्रों का निर्माण

प्रेरणा

प्राचीन यूनानियों के समय से ही बहुपदों के फलन का मूल खोजना महत्वपूर्ण समस्या रही है। हालाँकि, कुछ बहुपद, जैसे x² + 1 ऊपर R, वास्तविक संख्याओं का कोई मूल नहीं होता। ऐसे बहुपद के लिए विभाजन क्षेत्र का निर्माण करके कोई भी नए क्षेत्र में बहुपद की मूल पा सकता है।

निर्माण

मान लीजिए कि F क्षेत्र है और p(X) एक बहुपद n की घात वाले बहुपद वलय F[X] में बहुपद है। K के निर्माण की सामान्य प्रक्रिया, F पर p(X) का विभाजन क्षेत्र, क्षेत्र की श्रृंखला $F=K_{0}\subset K_{1}\subset \cdots \subset K_{r-1}\subset K_{r}=K$का निर्माण करना है। ऐसा कि Ki, Ki −1 का विस्तार है जिसमें p(X) का एक नया मूल है। चूंकि p(X) में अधिकतम n मूल हैं इसलिए निर्माण के लिए अधिकतम n एक्सटेंशन की आवश्यकता होगी। K_i के निर्माण के चरण निम्नानुसार दिए गए हैं:

• K_i के ऊपर p(X) को अप्रासंगिक कारकों $f_{1}(X)f_{2}(X)\cdots f_{k}(X)$में गुणनखंडित करें।
• कोई भी अरैखिक अलघुकरणीय कारक f(X) = f_i(X) चुनें।
• K_i के क्षेत्र विस्तारK_i +1 को भागफल वलय K_i +1 = K_i[X] / (f(X)) के रूप में बनाएं, जहां (f(X)) f(X)) द्वारा उत्पन्न K_i[X] में आदर्श को दर्शाता है।
• K_i +1 के लिए प्रक्रिया को तब तक दोहराएँ जब तक कि p(X) पूरी तरह से गुणनखंड न हो जाए।

भागफल निर्माण में उपयोग किए जाने वाले अपरिवर्तनीय कारक f_i(X) को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। हालाँकि कारकों के विभिन्न विकल्पों के कारण अलग-अलग उपक्षेत्र अनुक्रम हो सकते हैं, परिणामी विभाजन क्षेत्र समरूपी होंगे।

चूँकि f(X) अप्रासंगिक है, (f(X)) K_i[X] का अधिकतम आदर्श है और K_i[X] / (f(X)) वास्तव में क्षेत्र है। इसके अलावा, अगर हम $\pi :K_{i}[X]\to K_{i}[X]/(f(X))$फिर वलय को उसके भागफल पर

$f(\pi (X))=\pi (f(X))=f(X)\ {\bmod {\ }}f(X)=0$

इसलिए π(X) f(X) और p(X) का मूल है।

एकल विस्तार की डिग्री $[K_{i+1}:K_{i}]$इरेड्यूसिबल फ़ैक्टर f(X) की डिग्री के बराबर है। विस्तार की डिग्री [K : F] द्वारा दी गई है $[K_{r}:K_{r-1}]\cdots [K_{2}:K_{1}][K_{1}:F]$और अधिकतम n! है।

क्षेत्र K_i[X]/(f(X))

जैसा कि ऊपर बताया गया है, भागफल वलय K_i +1 = K_i[X]/(f(X)) क्षेत्र है जब f(X) अप्रासंगिक है। इसके तत्त्व रूप के हैं

$c_{n-1}\alpha ^{n-1}+c_{n-2}\alpha ^{n-2}+\cdots +c_{1}\alpha +c_{0}$

जहां c_j K_i और α = π(X) में हैं। (यदि कोई K_i +1 को K_i के ऊपर सदिश समष्टि मानता है तो 0 ≤ j ≤ n−1 के लिए घात α^j आधार बनाता है।)

K_i +1 के अवयवों को n से कम घात वाले α में बहुपद माना जा सकता है। K_i +1 में जोड़ बहुपद जोड़ के नियमों द्वारा दिया जाता है और गुणन बहुपद गुणन मॉड्यूल f(X) द्वारा दिया जाता है। अर्थात्, K_i +1 में g(α) और h(α) के लिए उनका गुणनफल g(α)h(α) = r(α) है जहां r(X) g(X)h(X) का शेषफल है जब K_i[X] में f(X) से विभाजित किया जाता है।

शेष r(X) की गणना बहुपदों के लंबे विभाजन के माध्यम से की जा सकती है, हालाँकि एक सीधा कमी नियम भी है जिसका उपयोग सीधे r(α) = g(α)h(α) की गणना करने के लिए किया जा सकता है। मान लीजिये

$f(X)=X^{n}+b_{n-1}X^{n-1}+\cdots +b_{1}X+b_{0}.$

बहुपद क्षेत्र के ऊपर है इसलिए व्यापकता की हानि के बिना कोई f(X) को एकात्मक बहुपद मान सकता है। अब α, f(X) का मूल है, इसलिए

$\alpha ^{n}=-(b_{n-1}\alpha ^{n-1}+\cdots +b_{1}\alpha +b_{0}).$

यदि उत्पाद g(α)h(α) का पद α^m है के साथ m ≥ n इसे इस प्रकार कम किया जा सकता है:

${\mathrm{\alpha <!--\; \alpha \; -->}}^n$