बर्नस्टीन बहुपद

For the Bernstein polynomial in D-module theory, see Bernstein–Sato polynomial.

बर्नस्टीन बहुपद एक वक्र का अनुमान लगाते हैं

संख्यात्मक विश्लेषण के गणित क्षेत्र में, बर्नस्टीन बहुपद एक बहुपद है जो बर्नस्टीन आधार (रैखिक बीजगणित) बहुपदों का एक रैखिक संयोजन है। इस विचार का नाम सर्गेई नटनोविच बर्नस्टीन के नाम पर रखा गया है।

बर्नस्टीन रूप में बहुपदों का मूल्यांकन करने के लिए एक संख्यात्मक स्थिरता तरीका डी कास्टलजौ का एल्गोरिदम है।

बर्नस्टीन रूप में बहुपदों का उपयोग पहली बार बर्नस्टीन द्वारा स्टोन-वीयरस्ट्रास प्रमेय के लिए एक रचनात्मक प्रमाण में किया गया था। कंप्यूटर ग्राफिक्स के आगमन के साथ, बर्नस्टीन बहुपद, अंतराल [0, 1] तक सीमित, बेज़ियर वक्र के रूप में महत्वपूर्ण हो गया।

4 डिग्री कर्व ब्लेंडिंग के लिए बर्नस्टीन आधार बहुपद

परिभाषा

तब +1 डिग्री n के बर्नस्टीन आधार बहुपदों को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu },\quad \nu =0,\ldots ,n,$

कहाँ ${\tbinom {n}{\nu }}$ द्विपद गुणांक है।

तो, उदाहरण के लिए, $b_{2,5}(x)={\tbinom {5}{2}}x^{2}(1-x)^{3}=10x^{2}(1-x)^{3}.$ 1, 2, 3 या 4 मानों को एक साथ मिलाने के लिए पहले कुछ बर्नस्टीन आधारित बहुपद हैं:

${\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-x,&b_{1,1}(x)&=x\\b_{0,2}(x)&=(1-x)^{2},&b_{1,2}(x)&=2x(1-x),&b_{2,2}(x)&=x^{2}\\b_{0,3}(x)&=(1-x)^{3},&b_{1,3}(x)&=3x(1-x)^{2},&b_{2,3}(x)&=3x^{2}(1-x),&b_{3,3}(x)&=x^{3}\end{aligned}}$

डिग्री एन के बर्नस्टीन आधार बहुपद सदिश स्थान के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं $\Pi _{n}$ वास्तविक गुणांकों के साथ अधिकतम n डिग्री के बहुपदों की संख्या। बर्नस्टीन आधार बहुपदों का एक रैखिक संयोजन

$B_{n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}\beta _{\nu }b_{\nu ,n}(x)$

बर्नस्टीन बहुपद या बर्नस्टीन रूप में डिग्री एन के रूप में बहुपद कहा जाता है। गुणांक $\beta _{\nu }$ बर्नस्टीन गुणांक या बेज़ियर गुणांक कहलाते हैं।

ऊपर से एकपदी रूप में पहले कुछ बर्नस्टीन आधारित बहुपद हैं:

${\begin{aligned}b_{0,0}(x)&=1,\\b_{0,1}(x)&=1-1x,&b_{1,1}(x)&=0+1x\\b_{0,2}(x)&=1-2x+1x^{2},&b_{1,2}(x)&=0+2x-2x^{2},&b_{2,2}(x)&=0+0x+1x^{2}\\b_{0,3}(x)&=1-3x+3x^{2}-x^{3},&b_{1,3}(x)&=0+3x-6x^{2}+3x^{3},&b_{2,3}(x)&=0+0x+3x^{2}-3x^{3},&b_{3,3}(x)&=0+0x+0x^{2}+1x^{3}\end{aligned}}$

गुण

बर्नस्टीन आधार बहुपदों में निम्नलिखित गुण होते हैं:

• $b_{\nu ,n}(x)=0$, अगर $\nu <0$ या $\nu >n.$
• $b_{\nu ,n}(x)\geq 0$ के लिए $x\in [0,\ 1].$
• $b_{\nu ,n}\left(1-x\right)=b_{n-\nu ,n}(x).$
• $b_{\nu ,n}(0)=\delta _{\nu ,0}$ और $b_{\nu ,n}(1)=\delta _{\nu ,n}$ कहाँ $\delta$ क्रोनकर डेल्टा कार्य है: $\delta _{ij}={\begin{cases}0&{\text{if }}i\neq j,\\1&{\text{if }}i=j.\end{cases}}$
• $b_{\nu ,n}(x)$ बहुलता के साथ एक जड़ है $\nu$ बिंदु पर $x=0$ (ध्यान दें: अगर $\nu =0$, 0 पर कोई रूट नहीं है)।
• $b_{\nu ,n}(x)$ बहुलता के साथ एक जड़ है $\left(n-\nu \right)$ बिंदु पर $x=1$ (ध्यान दें: अगर $\nu =n$, 1 पर कोई रूट नहीं है)।
• अवकलज को निम्न कोटि के दो बहुपदों के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:
  $$b'_{\nu ,n}(x)=n\left(b_{\nu -1,n-1}(x)-b_{\nu ,n-1}(x)\right).$$
• k-वें व्युत्पन्न 0 पर:
  $$b_{\nu ,n}^{(k)}(0)={\frac {n!}{(n-k)!}}{\binom {k}{\nu }}(-1)^{\nu +k}.$$
• 1 पर k-वें डेरिवेटिव:
  $$b_{\nu ,n}^{(k)}(1)=(-1)^{k}b_{n-\nu ,n}^{(k)}(0).$$
• बर्नस्टीन बहुपद का एकपदी में रूपांतरण है
  $$b_{\nu ,n}(x)={\binom {n}{\nu }}\sum _{k=0}^{n-\nu }{\binom {n-\nu }{k}}(-1)^{n-\nu -k}x^{\nu +k}=\sum _{\ell =\nu }^{n}{\binom {n}{\ell }}{\binom {\ell }{\nu }}(-1)^{\ell -\nu }x^{\ell },$$
  और द्विपद परिवर्तन द्वारा, विपरीत परिवर्तन है
  $$x^{k}=\sum _{i=0}^{n-k}{\binom {n-k}{i}}{\frac {1}{\binom {n}{i}}}b_{n-i,n}(x)={\frac {1}{\binom {n}{k}}}\sum _{j=k}^{n}{\binom {j}{k}}b_{j,n}(x).$$
• अनिश्चित समाकल किसके द्वारा दिया जाता है
  $$\int b_{\nu ,n}(x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\sum _{j=\nu +1}^{n+1}b_{j,n+1}(x).$$
  * दिए गए n के लिए निश्चित अभिन्न स्थिर है:
  $$\int _{0}^{1}b_{\nu ,n}(x)\,dx={\frac {1}{n+1}}\quad \ \,{\text{for all }}\nu =0,1,\dots ,n.$$
• अगर $n\neq 0$, तब $b_{\nu ,n}(x)$ अंतराल पर एक अद्वितीय स्थानीय अधिकतम है $[0,\,1]$ पर $x={\frac {\nu }{n}}$. यह अधिकतम मान लेता है
  $$\nu ^{\nu }n^{-n}\left(n-\nu \right)^{n-\nu }{n \choose \nu }.$$
• डिग्री के बर्नस्टीन आधार बहुपद $n$ एकता का एक विभाजन बनाएँ:
  $$\sum _{\nu =0}^{n}b_{\nu ,n}(x)=\sum _{\nu =0}^{n}{n \choose \nu }x^{\nu }\left(1-x\right)^{n-\nu }=\left(x+\left(1-x\right)\right)^{n}=1.$$
• पहले लेने से $x$- के व्युत्पन्न $(x+y)^{n}$, इलाज $y$ स्थिर के रूप में, फिर मान को प्रतिस्थापित करना $y=1-x$, यह दिखाया जा सकता है
  $$\sum _{\nu =0}^{n}\nu b_{\nu ,n}(x)=nx.$$
• इसी तरह दूसरा $x$- के व्युत्पन्न $(x+y)^{n}$, साथ $y$ फिर से प्रतिस्थापित $y=1-x$, पता चलता है कि
  $$\sum _{\nu =1}^{n}\nu (\nu -1)b_{\nu ,n}(x)=n(n-1)x^{2}.$$
• बर्नस्टीन बहुपद को हमेशा उच्च कोटि के बहुपदों के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है:
  $$b_{\nu ,n-1}(x)={\frac {n-\nu }{n}}b_{\nu ,n}(x)+{\frac {\nu +1}{n}}b_{\nu +1,n}(x).$$
• बर्नस्टीन आधार में चेबिशेव बहुपदों का विस्तार है
  $$T_{n}(u)=(2n-1)!!\sum _{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{n-k}}{(2k-1)!!(2n-2k-1)!!}}b_{k,n}(u).$$

निरंतर कार्यों का अनुमान लगाना

ƒ को अंतराल [0, 1] पर एक सतत कार्य होने दें। बर्नस्टीन बहुपद पर विचार करें

$B_{n}(f)(x)=\sum _{\nu =0}^{n}f\left({\frac {\nu }{n}}\right)b_{\nu ,n}(x).$

यह दिखाया जा सकता है

$\lim _{n\to \infty }{B_{n}(f)}=f$

अंतराल पर एकसमान अभिसरण [0, 1]। बर्नस्टीन बहुपद इस प्रकार स्टोन-वीयरस्ट्रास प्रमेय # वीयरस्ट्रास सन्निकटन प्रमेय को साबित करने का एक तरीका प्रदान करते हैं कि वास्तविक अंतराल [ए, बी] पर प्रत्येक वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्य को बहुपद कार्यों द्वारा समान रूप से अनुमानित किया जा सकता है$\mathbb {R}$. निरंतर k वाले फ़ंक्शन के लिए एक अधिक सामान्य कथन^वें डेरिवेटिव है

${\left\|B_{n}(f)^{(k)}\right\|}_{\infty }\leq {\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}\left\|f^{(k)}\right\|_{\infty }\quad \ {\text{and}}\quad \ \left\|f^{(k)}-B_{n}(f)^{(k)}\right\|_{\infty }\to 0,$

इसके अतिरिक्त कहाँ

${\frac {(n)_{k}}{n^{k}}}=\left(1-{\frac {0}{n}}\right)\left(1-{\frac {1}{n}}\right)\cdots \left(1-{\frac {k-1}{n}}\right)$

B का eigenvalue है_n; संबंधित ईजेनफंक्शन डिग्री k का एक बहुपद है।

संभाव्य प्रमाण

यह प्रमाण बर्नस्टीन के 1912 के मूल प्रमाण का अनुसरण करता है। फेलर (1966) या कोरालोव और सिनाई (2007) भी देखें। मान लीजिए K प्रत्येक परीक्षण पर सफलता की संभावना x के साथ n स्वतंत्र बर्नौली परीक्षणों में सफलताओं की संख्या के रूप में वितरित एक यादृच्छिक चर है; दूसरे शब्दों में, K का पैरामीटर n और x के साथ द्विपद बंटन है। तब हमारे पास अपेक्षित मूल्य है $\operatorname {\mathcal {E}} \left[{\frac {K}{n}}\right]=x\$ और

$p(K)={n \choose K}x^{K}\left(1-x\right)^{n-K}=b_{K,n}(x)$

संभाव्यता सिद्धांत की बड़ी संख्या के कानून द्वारा,

$\lim _{n\to \infty }{P\left(\left|{\frac {K}{n}}-x\right|>\delta \right)}=0$

प्रत्येक δ > 0 के लिए। इसके अलावा, यह संबंध x में समान रूप से रहता है, जिसे इसके प्रमाण से चेबिशेव की असमानता के माध्यम से देखा जा सकता है, इस बात को ध्यान में रखते हुए कि 1⁄n के, के बराबर 1⁄n x(1−x), ऊपर से इससे घिरा हुआ है 1⁄(4n) एक्स के बावजूद।

क्योंकि ƒ, एक बंद परिबद्ध अंतराल पर निरंतर होने के कारण, उस अंतराल पर एक समान निरंतरता होनी चाहिए, एक फॉर्म के एक बयान का अनुमान लगाता है

$\lim _{n\to \infty }{P\left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|>\varepsilon \right)}=0$

एक्स में समान रूप से। यह ध्यान में रखते हुए कि ƒ बाध्य है (दिए गए अंतराल पर) उम्मीद के लिए मिलता है

$\lim _{n\to \infty }{\operatorname {\mathcal {E}} \left(\left|f\left({\frac {K}{n}}\right)-f\left(x\right)\right|\right)}=0$

एक्स में समान रूप से। यह अंत करने के लिए दो भागों में अपेक्षा के लिए योग को विभाजित करता है। एक भाग पर अंतर ε से अधिक नहीं है; यह भाग ε से अधिक योगदान नहीं दे सकता है। दूसरी ओर अंतर ε से अधिक है, लेकिन 2M से अधिक नहीं है, जहां M |ƒ(x)| के लिए एक ऊपरी सीमा है; यह हिस्सा ε से अधिक होने की छोटी संभावना के 2M गुना से अधिक योगदान नहीं दे सकता है।

अंत में, कोई देखता है कि अपेक्षाओं के बीच के अंतर का निरपेक्ष मूल्य कभी भी अंतर के निरपेक्ष मूल्य की अपेक्षा से अधिक नहीं होता है, और

$\operatorname {\mathcal {E}} \left[f\left({\frac {K}{n}}\right)\right]=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)p(K)=\sum _{K=0}^{n}f\left({\frac {K}{n}}\right)b_{K,n}(x)=B_{n}(f)(x)$

प्राथमिक प्रमाण

संभाव्यता प्रमाण को अंतर्निहित संभाव्य विचारों का उपयोग करते हुए, लेकिन प्रत्यक्ष सत्यापन द्वारा आगे बढ़ने पर, प्राथमिक तरीके से भी दोहराया जा सकता है: निम्नलिखित पहचानों को सत्यापित किया जा सकता है:

1. $\sum _{k}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=1$ ( संभावना )
2. $\sum _{k}{k \over n}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}=x$ ( अर्थ )
3. $\sum _{k}\left(x-{k \over n}\right)^{2}{n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k}={x(1-x) \over n}.$ (भिन्नता)

वास्तव में, द्विपद प्रमेय द्वारा

$$(1+t)^{n}=\sum _{k}{n \choose k}t^{k},$$

और इस समीकरण को दो बार लागू किया जा सकता है $t{\frac {d}{dt}}$. प्रतिस्थापन का उपयोग करके सर्वसमिका (1), (2), और (3) आसानी से अनुसरण करते हैं $t=x/(1-x)$.

इन तीन सर्वसमिकाओं के भीतर, उपरोक्त आधार बहुपद संकेतन का उपयोग करें

$b_{k,n}(x)={n \choose k}x^{k}(1-x)^{n-k},$

और जाने

$f_{n}(x)=\sum _{k}f(k/n)\,b_{k,n}(x).$

अत: सर्वसमिका (1) द्वारा

$f_{n}(x)-f(x)=\sum _{k}[f(k/n)-f(x)]\,b_{k,n}(x),$

ताकि

$|f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{k}|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).$

चूंकि f समान रूप से निरंतर है, दिया गया है $\varepsilon >0$, वहां एक है $\delta >0$ ऐसा है कि $|f(a)-f(b)|<\varepsilon$ जब कभी भी $|a-b|<\delta$. इसके अलावा, निरंतरता से, $M=\sup |f|<\infty$. परन्तु फिर

$|f_{n}(x)-f(x)|\leq \sum _{|x-{k \over n}|<\delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x)+\sum _{|x-{k \over n}|\geq \delta }|f(k/n)-f(x)|\,b_{k,n}(x).$

पहला योग ε से कम है। दूसरी ओर, उपरोक्त पहचान (3) द्वारा, और चूंकि $|x-k/n|\geq \delta$, दूसरा योग 2M गुना से घिरा हुआ है

$\sum _{|x-k/n|\geq \delta }b_{k,n}(x)\leq \sum _{k}\delta ^{-2}\left(x-{k \over n}\right)^{2}b_{k,n}(x)=\delta ^{-2}{x(1-x) \over n}<\delta ^{-2}n^{-1}.$

(चेबीशेव की असमानता)

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि बहुपद f_n समान रूप से एफ करते हैं।

उच्च आयाम के लिए सामान्यीकरण

बर्नस्टीन बहुपदों को सामान्यीकृत किया जा सकता है k आयाम - परिणामी बहुपदों का रूप होता है B_i1(x₁) B_i2(x₂) ... B_ik(x_k). सरलतम मामले में केवल इकाई अंतराल के गुणनफल [0,1] माने जाते हैं; लेकिन, लाइन के एफ़िन रूपांतरणों का उपयोग करके, बर्नस्टीन बहुपदों को उत्पादों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है [a₁, b₁] × [a₂, b₂] × ... × [a_k, b_k]. निरंतर कार्य के लिए f पर k-गुना गुणनफल इकाई अंतराल का, प्रमाण है कि f(x₁, x₂, ... , x_k) द्वारा समान रूप से अनुमानित किया जा सकता है

$\sum _{i_{1}}\sum _{i_{2}}\cdots \sum _{i_{k}}{n_{1} \choose i_{1}}{n_{2} \choose i_{2}}\cdots {n_{k} \choose i_{k}}f\left({i_{1} \over n_{1}},{i_{2} \over n_{2}},\dots ,{i_{k} \over n_{k}}\right)x_{1}^{i_{1}}(1-x_{1})^{n_{1}-i_{1}}x_{2}^{i_{2}}(1-x_{2})^{n_{2}-i_{2}}\cdots x_{k}^{i_{k}}(1-x_{k})^{n_{k}-i_{k}}$

एक आयाम में बर्नस्टीन के प्रमाण का सीधा विस्तार है।

यह भी देखें

• बहुपद प्रक्षेप
• न्यूटन बहुपद
• लैग्रेंज बहुपद
• द्विपद QMF (जिसे Daubechies wavelet के नाम से भी जाना जाता है)

संदर्भ

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