लैग्रेंज बहुपद

यह चित्र चार बिंदुओं ((−9, 5), (−4, 2), (−1, −2), (7, 9)), के लिए दिखाता है (घन) अंतर्वेशन बहुपद L(x) (असतत, काला), जो प्रवर्धित किए गए आधार बहुपदों y₀ℓ₀(x), y₁ℓ₁(x), y₂ℓ₂(x) और y₃ℓ₃(x) का योग है। अंतर्वेशन बहुपद सभी चार नियंत्रण बिंदुओं से होकर गुजरता है, और प्रत्येक प्रवर्धित आधार बहुपद अपने संबंधित नियंत्रण बिंदु से गुजरता है और जहां 0 और x अन्य तीन नियंत्रण बिंदुओं से समान है।

संख्यात्मक विश्लेषण में, लैग्रेंज अंतर्वेशन बहुपद की निम्नतम कोटि का अद्वितीय बहुपद है जो बहुपद डेटा के समुच्चय को प्रक्षेपित करता है।

किसी फलन के ग्राफ़ के डेटा समुच्चय को देखते हुए $(x_{j},y_{j})$ के साथ निर्देशांक युग्म $0\leq j\leq k,$ $x_{j}$ को नोड कहा जाता है और $y_{j}$ मान कहलाते हैं। लैग्रेंज बहुपद $L(x)$ कोटि ${\textstyle \leq k}$ है और प्रत्येक मान $L(x_{j})=y_{j}$ को संबंधित बिन्दु पर मान लेता है।

हालांकि इसका नाम जोसेफ-लुई लाग्रेंज के नाम पर रखा गया, जिन्होंने इसे 1795 में प्रकाशित किया था, इस विधि की खोज सबसे पहले 1779 में एडवर्ड वारिंग ने की थी। यह लियोनहार्ड यूलर द्वारा 1783 में प्रकाशित एक सूत्र का भी आसान परिणाम है।

लैग्रेंज बहुपदों के उपयोग में न्यूटन-कोट्स सूत्र सम्मिलित हैं। न्यूटन-कोट्स संख्यात्मक एकीकरण की विधि और क्रिप्टोग्राफी (कूटलेखन) में शमीर की गुप्त साझाकरण योजना सम्मिलित है।

समस्थानिक नोड्स के लिए, लैग्रेंज अंतर्वेशन बड़े दोलन की रूंज की घटना के लिए अतिसंवेदनशील है।

परिभाषा

${\textstyle k+1}$ नोड्स $\{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}\}$ का एक समुच्चय दिया दिया गया है, जो सभी अलग-अलग होने चाहिए, $x_{j}\neq x_{m}$ सूचकांकों $j\neq m$ के लिए, कोटि के बहुपदों के लिए लैग्रेंज आधार ${\textstyle \leq k}$ उन नोड्स के लिए बहुपदों ${\textstyle \{\ell _{0}(x),\ell _{1}(x),\ldots ,\ell _{k}(x)\}}$का समूह है प्रत्येक कोटि ${\textstyle k}$ जो मान लेते हैं ${\textstyle \ell _{j}(x_{m})=0}$ यदि ${\textstyle m\neq j}$ और ${\textstyle \ell _{j}(x_{j})=1}$ क्रोनकर डेल्टा ${\textstyle \ell _{j}(x_{m})=\delta _{jm}}$ का उपयोग करके इसे लिखा जा सकता है। प्रत्येक आधार बहुपद को गुणनफल द्वारा स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है:

$${\begin{aligned}\ell _{j}(x)&={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}\\[10mu]&=\prod _{\begin{smallmatrix}0\leq m\leq k\\m\neq j\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}.\end{aligned}}$$

ध्यान दें कि अंश ${\textstyle \prod _{m\neq j}(x-x_{m})}$ मे ${\textstyle k}$ नोड्स पर ${\textstyle \{x_{m}\}_{m\neq j}}$ मूल पद है जबकि भाजक ${\textstyle \prod _{m\neq j}(x_{j}-x_{m})}$ परिणामी बहुपद को प्रवर्धित करता है ताकि ${\mathrm{\ell <!--\; \ell \; -->}}_j$