जनक फलन

This article is about generating functions in mathematics. For generating functions in classical mechanics, see Generating function (physics). For generators in computer programming, see Generator (computer programming). For the moment generating function in statistics, see Moment generating function.

गणित में, एक जनरेटिंग फ़ंक्शन संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को एन्कोड करने का एक तरीका है (a_n) उन्हें एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के गुणांक के रूप में मानकर। इस श्रृंखला को अनुक्रम का जनक फलन कहा जाता है। एक साधारण श्रृंखला के विपरीत, अभिसारी श्रृंखला के लिए औपचारिक शक्ति श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है: वास्तव में, जनरेटिंग फ़ंक्शन को वास्तव में एक फ़ंक्शन (गणित) के रूप में नहीं माना जाता है, और चर एक अनिश्चित (चर) रहता है। सामान्य रेखीय पुनरावर्तन समस्या को हल करने के लिए 1730 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा जनरेटिंग फ़ंक्शंस को पहली बार पेश किया गया था। संख्याओं के अनंत बहु-आयामी सरणियों के बारे में जानकारी को सांकेतिक करने के लिए, एक से अधिक अनिश्चित में औपचारिक शक्ति श्रृंखला का सामान्यीकरण किया जा सकता है।

विभिन्न प्रकार के जनरेटिंग फ़ंक्शंस हैं, जिनमें साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शंस, एक्सपोनेंशियल जेनरेटिंग फ़ंक्शंस, लैम्बर्ट सीरीज़, बेल सीरीज़ और डिरिचलेट सीरीज़ शामिल हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनरेटिंग फ़ंक्शन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के बजाय 1 पर शुरू करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा।

औपचारिक श्रृंखला के लिए परिभाषित संचालन से जुड़े कुछ अभिव्यक्ति द्वारा उत्पन्न कार्यों को अक्सर बंद-रूप अभिव्यक्ति (श्रृंखला के बजाय) में व्यक्त किया जाता है। इन भावों को अनिश्चित के संदर्भ मेंx के संबंध में अंकगणितीय संचालन, भेदभाव शामिल हो सकता हैx और संरचना के साथ (यानी, प्रतिस्थापन) अन्य जनरेटिंग फ़ंक्शंस; चूंकि इन कार्यों को कार्यों के लिए भी परिभाषित किया गया है, परिणाम एक कार्य की तरह दिखता हैx. वास्तव में, बंद रूप की अभिव्यक्ति को अक्सर एक ऐसे फ़ंक्शन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जिसका मूल्यांकन (पर्याप्त रूप से छोटे) ठोस मूल्यों पर किया जा सकता है x, और जिसकी श्रृंखला विस्तार के रूप में औपचारिक श्रृंखला है; यह पदनाम उत्पन्न करने वाले कार्यों की व्याख्या करता है। हालाँकि, इस तरह की व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि एक गैर-संख्यात्मक मान के लिए प्रतिस्थापित किए जाने पर अभिसारी श्रृंखला देने के लिए औपचारिक श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है।x. साथ ही, वे सभी व्यंजक नहीं हैं जो के फलन के रूप में अर्थपूर्ण हैंx अर्थपूर्ण हैं क्योंकि अभिव्यक्तियाँ औपचारिक श्रृंखला को निर्दिष्ट करती हैं; उदाहरण के लिए, की नकारात्मक और भिन्नात्मक शक्तियाँx ऐसे कार्यों के उदाहरण हैं जिनके पास संबंधित औपचारिक शक्ति श्रृंखला नहीं है।

किसी फ़ंक्शन के डोमेन से कोडोमेन तक मैपिंग के औपचारिक अर्थ में जनरेटिंग फ़ंक्शंस फ़ंक्शंस नहीं हैं। जनरेटिंग फ़ंक्शंस को कभी-कभी जनरेटिंग सीरीज़ कहा जाता है, इसमें शब्दों की एक श्रृंखला को शब्द गुणांकों के अनुक्रम का जनक कहा जा सकता है।

परिभाषाएँ

A generating function is a device somewhat similar to a bag. Instead of carrying many little objects detachedly, which could be embarrassing, we put them all in a bag, and then we have only one object to carry, the bag.

— George Pólya, Mathematics and plausible reasoning (1954)

A generating function is a clothesline on which we hang up a sequence of numbers for display.

— Herbert Wilf, Generatingfunctionology (1994)

साधारण जनरेटिंग फंक्शन (OF)

एक अनुक्रम का सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन a_n है

$$G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.$$

जब बिना किसी योग्यता के जनन फलन शब्द का प्रयोग किया जाता है, तो इसे आमतौर पर सामान्य जनन फलन के रूप में लिया जाता है।

अगर a_n एक असतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता द्रव्यमान कार्य है, तो इसके साधारण जनन फलन को प्रायिकता-उत्पन्न करने वाला फलन कहा जाता है।

साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शन को कई सूचकांकों के साथ सरणियों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी सरणी का सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन a_m,n (कहाँ n और m प्राकृतिक संख्याएँ हैं) है

$$G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}.$$

घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन (ईजीएफ)

किसी अनुक्रम का चरघातांकी जनन फलन a_n है

$$\operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.$$

घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शंस आम तौर पर संयुक्त गणना समस्याओं के लिए साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शंस की तुलना में अधिक सुविधाजनक होते हैं जिनमें लेबल किए गए ऑब्जेक्ट शामिल होते हैं। एक्सपोनेंशियल जनरेटिंग फ़ंक्शंस का एक अन्य लाभ यह है कि वे रैखिक पुनरावृत्ति संबंधों को अंतर समीकरणों के दायरे में स्थानांतरित करने में उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम लें {f_n} जो रैखिक पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है f_n+2 = f_n+1 + f_n. संबंधित घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन का रूप है

$$\operatorname {EF} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}x^{n}$$

और इसके डेरिवेटिव को डिफरेंशियल इक्वेशन को संतुष्ट करने के लिए आसानी से दिखाया जा सकता है EF″(x) = EF′(x) + EF(x) उपरोक्त पुनरावृत्ति संबंध के साथ प्रत्यक्ष अनुरूप के रूप में। इस दृष्टि से, भाज्य शब्द n! डेरिवेटिव ऑपरेटर को सामान्य करने के लिए केवल एक काउंटर-टर्म है xⁿ.

पोइसन जनरेटिंग फंक्शन

एक अनुक्रम का पोइसन जनक फलन a_n है

$$\operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x).$$

लैम्बर्ट श्रृंखला

Main article: Lambert series

अनुक्रम की लैम्बर्ट श्रृंखला a_n है

$$\operatorname {LG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}.$$

पावर श्रृंखला विस्तार में लैम्बर्ट श्रृंखला गुणांक

$$b_{n}:=[x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)$$

पूर्णांकों के लिए n ≥ 1 भाजक राशि से संबंधित हैं

$$b_{n}=\sum _{d|n}a_{d}.$$

मुख्य लेख संख्या सिद्धांत में विशेष अंकगणितीय कार्यों से संबंधित कई और शास्त्रीय, या कम से कम प्रसिद्ध उदाहरण प्रदान करता है।

लैम्बर्ट श्रृंखला में index n 1 से शुरू होता है, 0 से नहीं, क्योंकि पहला पद अन्यथा अपरिभाषित होगा।

बेल सीरीज

एक क्रम की बेल श्रृंखला a_n एक अनिश्चित दोनों के संदर्भ में एक अभिव्यक्ति है x और एक प्रधान p और द्वारा दिया गया है

$$\operatorname {BG} _{p}(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{p^{n}}x^{n}.$$

डिरिचलेट श्रृंखला उत्पन्न करने वाले कार्य (डीजीएफ)

औपचारिक डिरिचलेट श्रृंखला को अक्सर उत्पादक कार्यों के रूप में वर्गीकृत किया जाता है, हालांकि वे सख्ती से औपचारिक शक्ति श्रृंखला नहीं हैं। डिरिचलेट श्रृंखला एक अनुक्रम का कार्य उत्पन्न करती है a_n है

$$\operatorname {DG} (a_{n};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.$$

डिरिचलेट श्रृंखला जनरेटिंग फ़ंक्शन विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब a_n एक गुणन फलन है, जिस स्थिति में इसमें एक यूलर गुणनफल व्यंजक होता है समारोह की बेल श्रृंखला के संदर्भ में

$$\operatorname {DG} (a_{n};s)=\prod _{p}\operatorname {BG} _{p}(a_{n};p^{-s})\,.$$

अगर a_n एक डिरिचलेट चरित्र है तो इसके डिरिचलेट सीरीज जनरेटिंग फंक्शन को डाइरिचलेट एल-सीरीज़ कहा जाता है। L-शृंखला। उपरोक्त लैम्बर्ट श्रृंखला विस्तार और उनके डीजीएफ में गुणांक की जोड़ी के बीच भी हमारा संबंध है। अर्थात्, हम यह साबित कर सकते हैं

$$[x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)=b_{n}$$

अगर और केवल अगर

$$\operatorname {DG} (a_{n};s)\zeta (s)=\operatorname {DG} (b_{n};s),$$

कहाँ ζ(s) रीमैन जीटा फ़ंक्शन है।

बहुपद अनुक्रम उत्पन्न करने वाले कार्य

कार्यों को उत्पन्न करने के विचार को अन्य वस्तुओं के अनुक्रमों तक बढ़ाया जा सकता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, द्विपद प्रकार के बहुपद अनुक्रम द्वारा उत्पन्न होते हैं

$$e^{xf(t)}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(x)}{n!}}t^{n}$$

कहाँ p_n(x) बहुपदों का एक क्रम है और f(t) एक निश्चित रूप का कार्य है। शेफ़र क्रम इसी तरह से उत्पन्न होते हैं। अधिक जानकारी के लिए मुख्य लेख सामान्यीकृत अपेल बहुपद देखें।

साधारण उत्पादन कार्य

=== सरल अनुक्रम === के लिए कार्यों को उत्पन्न करने के उदाहरण

बहुपद साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शंस का एक विशेष मामला है, जो परिमित अनुक्रमों के अनुरूप है, या समतुल्य अनुक्रम जो एक निश्चित बिंदु के बाद गायब हो जाते हैं। ये इस मायने में महत्वपूर्ण हैं कि कई परिमित अनुक्रमों को जनरेटिंग फ़ंक्शंस के रूप में उपयोगी रूप से व्याख्यायित किया जा सकता है, जैसे कि पॉइनकेयर बहुपद और अन्य।

एक मौलिक जनरेटिंग फ़ंक्शन निरंतर अनुक्रम का है 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, ..., जिसका साधारण जनरेटिंग फंक्शन Geometric_series#Closed-form_formula है

$$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={\frac {1}{1-x}}.$$

बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार है। वैकल्पिक रूप से, बायीं ओर की घात श्रृंखला को गुणा करके समानता को न्यायोचित ठहराया जा सकता है 1 − x, और जांच कर रहा है कि परिणाम निरंतर शक्ति श्रृंखला 1 है (दूसरे शब्दों में, सभी गुणांकों में से एक को छोड़कर x⁰ 0 के बराबर हैं)। इसके अलावा, इस संपत्ति के साथ कोई अन्य शक्ति श्रृंखला नहीं हो सकती है। इसलिए बाईं ओर का गुणनात्मक प्रतिलोम निर्दिष्ट करता है 1 − x शक्ति श्रृंखला की अंगूठी में।

अन्य अनुक्रमों के साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शन के लिए भाव आसानी से इस एक से प्राप्त किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिस्थापन x → ax ज्यामितीय प्रगति के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन देता है 1, a, a², a³, ... किसी भी स्थिरांक के लिए a:

$$\sum _{n=0}^{\infty }(ax)^{n}={\frac {1}{1-ax}}.$$

(समानता इस तथ्य से भी प्रत्यक्ष रूप से अनुसरण करती है कि बाएँ हाथ की ओर दाईं ओर का मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार है।) विशेष रूप से,

$$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}={\frac {1}{1+x}}.$$

अनुक्रम में नियमित अंतराल को प्रतिस्थापित करके भी प्रस्तुत किया जा सकता है x की कुछ शक्ति द्वारा x, तो उदाहरण के लिए अनुक्रम के लिए 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ... (जो रुक जाता है x, x³, x⁵, ...) किसी को जनरेटिंग फंक्शन मिलता है

$$\sum _{n=0}^{\infty }x^{2n}={\frac {1}{1-x^{2}}}.$$

आरंभिक जनक फलन का वर्ग करके, या इसके संबंध में दोनों पक्षों का अवकलज ज्ञात करके x और रनिंग वेरिएबल में बदलाव करना n → n + 1, कोई देखता है कि गुणांक अनुक्रम बनाते हैं 1, 2, 3, 4, 5, ..., तो किसी के पास है

$$\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{2}}},$$

और तीसरी शक्ति के गुणांक के रूप में त्रिकोणीय संख्याएँ हैं 1, 3, 6, 10, 15, 21, ... जिसका कार्यकाल n द्विपद गुणांक है (^{n + 2}
₂), ताकि

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n+2}{2}}x^{n}={\frac {1}{(1-x)^{3}}}.$$

अधिक सामान्यतः, किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए k और गैर-शून्य वास्तविक मान a, यह सच है कि

$$\sum _{n=0}^{\infty }a^{n}{\binom {n+k}{k}}x^{n}={\frac {1}{(1-ax)^{k+1}}}\,.$$

तब से

$$2{\binom {n+2}{2}}-3{\binom {n+1}{1}}+{\binom {n}{0}}=2{\frac {(n+1)(n+2)}{2}}-3(n+1)+1=n^{2},$$

कोई अनुक्रम के लिए सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन पा सकता है {{nowrap|0, 1, 4, 9, 16, ...}द्विपद-गुणांक उत्पन्न करने वाले अनुक्रमों के रैखिक संयोजन द्वारा वर्ग संख्याओं का }:

$$G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {2}{(1-x)^{3}}}-{\frac {3}{(1-x)^{2}}}+{\frac {1}{1-x}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.$$

हम निम्नलिखित रूप में ज्यामितीय श्रृंखला के डेरिवेटिव के योग के रूप में वर्गों के इसी क्रम को उत्पन्न करने के लिए वैकल्पिक रूप से विस्तार भी कर सकते हैं:

$${\begin{aligned}G(n^{2};x)&=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}\\[4px]&=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)x^{n}+\sum _{n=0}^{\infty }nx^{n}\\[4px]&=x^{2}D^{2}\left[{\frac {1}{1-x}}\right]+xD\left[{\frac {1}{1-x}}\right]\\[4px]&={\frac {2x^{2}}{(1-x)^{3}}}+{\frac {x}{(1-x)^{2}}}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.\end{aligned}}$$

प्रेरण द्वारा, हम सकारात्मक पूर्णांकों के लिए इसी तरह दिखा सकते हैं m ≥ 1 वह

$$n^{m}=\sum _{j=0}^{m}{\begin{Bmatrix}m\\j\end{Bmatrix}}{\frac {n!}{(n-j)!}},$$

कहाँ {ⁿ
_k} दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या और जहां जनरेटिंग फ़ंक्शन को दर्शाता है

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{(n-j)!}}\,z^{n}={\frac {j!\cdot z^{j}}{(1-z)^{j+1}}},$$

ताकि हम इंटीग्रल के ऊपर समान जनरेटिंग फंक्शन बना सकें {{mvar|m}उपरोक्त वर्ग मामले में परिणाम का सामान्यीकरण करने वाली }वीं शक्तियाँ। विशेष रूप से, चूंकि हम लिख सकते हैं

$${\frac {z^{k}}{(1-z)^{k+1}}}=\sum _{i=0}^{k}{\binom {k}{i}}{\frac {(-1)^{k-i}}{(1-z)^{i+1}}},$$

हम इसे प्राप्त करने के लिए स्टर्लिंग संख्याओं से संबंधित एक प्रसिद्ध परिमित योग पहचान लागू कर सकते हैं

$$\sum _{n=0}^{\infty }n^{m}z^{n}=\sum _{j=0}^{m}{\begin{Bmatrix}m+1\\j+1\end{Bmatrix}}{\frac {(-1)^{m-j}j!}{(1-z)^{j+1}}}.$$

तर्कसंगत कार्य

Main article: Linear recursive sequence

एक अनुक्रम के सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन को एक तर्कसंगत फ़ंक्शन (दो परिमित-डिग्री बहुपदों का अनुपात) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है यदि और केवल यदि अनुक्रम निरंतर गुणांक के साथ एक रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम है; यह उपरोक्त उदाहरणों का सामान्यीकरण करता है। इसके विपरीत, बहुपदों के एक अंश द्वारा उत्पन्न प्रत्येक अनुक्रम निरंतर गुणांकों के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है; ये गुणांक अंश भाजक बहुपद के गुणांक के समान हैं (इसलिए उन्हें सीधे पढ़ा जा सकता है)। इस अवलोकन से पता चलता है कि निरंतर गुणांक वाले रैखिक परिमित अंतर समीकरण द्वारा परिभाषित अनुक्रमों के कार्यों को उत्पन्न करने के लिए हल करना आसान है, और फिर इन उत्पन्न कार्यों के गुणांकों के लिए स्पष्ट रूप से बंद फॉर्म सूत्रों के लिए। यहाँ प्रोटोटाइपिकल उदाहरण फ़ंक्शन तकनीकों को जनरेट करके फाइबोनैचि संख्याओं के लिए बिनेट के सूत्र को प्राप्त करना है।

हम यह भी ध्यान देते हैं कि तर्कसंगत जनक फलनों का वर्ग निश्चित रूप से उन जनक फलनों से मेल खाता है जो प्रपत्र के अर्ध-बहुपद अनुक्रमों की गणना करते हैं

$$f_{n}=p_{1}(n)\rho _{1}^{n}+\cdots +p_{l}(n)\rho _{l}^{n},$$

जहां पारस्परिक जड़ें, ρ_i ∈ ℂ, स्थिर अदिश हैं और कहाँ हैं p_i(n) में एक बहुपद है n सभी के लिए 1 ≤ i ≤ l.

सामान्य तौर पर, जनरेटिंग फंक्शन ट्रांसफ़ॉर्मेशन # हैडमार्ड उत्पाद और तर्कसंगत फ़ंक्शंस के विकर्ण जनरेटिंग फ़ंक्शंस तर्कसंगत जनरेटिंग फ़ंक्शंस का उत्पादन करते हैं। इसी प्रकार यदि

$$F(s,t):=\sum _{m,n\geq 0}f(m,n)w^{m}z^{n}$$

एक द्विभाजित तर्कसंगत जनक फलन है, तो इसका संगत विकर्ण जनक फलन,

$$\operatorname {diag} (F):=\sum _{n=0}^{\infty }f(n,n)z^{n},$$

बीजीय है। उदाहरण के लिए, अगर हम करते हैं

$$F(s,t):=\sum _{i,j\geq 0}{\binom {i+j}{i}}s^{i}t^{j}={\frac {1}{1-s-t}},$$

तब यह जनक फलन विकर्ण गुणांक जनक फलन सुप्रसिद्ध OF सूत्र द्वारा दिया जाता है

$$\operatorname {diag} (F)=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {2n}{n}}z^{n}={\frac {1}{\sqrt {1-4z}}}.$$

इस परिणाम की कई तरह से गणना की जाती है, जिसमें कॉची का अभिन्न सूत्र या समोच्च एकीकरण, जटिल अवशेष (जटिल विश्लेषण) लेना, या दो चरों में औपचारिक शक्ति श्रृंखला के प्रत्यक्ष हेरफेर द्वारा शामिल है।

कार्यों को उत्पन्न करने पर संचालन

गुणन से कनवल्शन मिलता है

Main article: Cauchy product

साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शंस का गुणन अनुक्रमों के असतत कनवल्शन (कॉची उत्पाद) का उत्पादन करता है। उदाहरण के लिए, संचयी रकम का क्रम (थोड़ा अधिक सामान्य यूलर-मैकलॉरिन सूत्र की तुलना में)

$$(a_{0},a_{0}+a_{1},a_{0}+a_{1}+a_{2},\ldots )$$

साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शन के साथ अनुक्रम का G(a_n; x) का जनरेटिंग फंक्शन है

$$G(a_{n};x)\cdot {\frac {1}{1-x}}$$

क्योंकि 1/1 − x अनुक्रम के लिए सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन है (1, 1, ...). नीचे दिए गए इस आलेख के अनुप्रयोग अनुभाग में जनरेटिंग फ़ंक्शन#कनवॉल्यूशन (कॉची उत्पाद) भी देखें, जिससे समस्याओं को हल करने के और उदाहरणों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शंस और व्याख्याओं को हल किया जा सके।

शिफ्टिंग सीक्वेंस इंडेक्स

पूर्णांकों के लिए m ≥ 1, हमारे पास शिफ्ट किए गए अनुक्रम वेरिएंट की गणना करने वाले संशोधित जनरेटिंग फ़ंक्शंस के लिए निम्नलिखित दो समान पहचान हैं ⟨ g_{n − m} ⟩ और ⟨ g_{n + m} ⟩, क्रमश:

$${\begin{aligned}&z^{m}G(z)=\sum _{n=m}^{\infty }g_{n-m}z^{n}\\[4px]&{\frac {G(z)-g_{0}-g_{1}z-\cdots -g_{m-1}z^{m-1}}{z^{m}}}=\sum _{n=0}^{\infty }g_{n+m}z^{n}.\end{aligned}}$$

सृजन कार्यों का विभेदीकरण और एकीकरण

हमारे पास जनरेटिंग फ़ंक्शन के पहले व्युत्पन्न और इसके अभिन्न अंग के लिए निम्नलिखित संबंधित शक्ति श्रृंखला विस्तार हैं:

$${\begin{aligned}G'(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)g_{n+1}z^{n}\\[4px]z\cdot G'(z)&=\sum _{n=0}^{\infty }ng_{n}z^{n}\\[4px]\int _{0}^{z}G(t)\,dt&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {g_{n-1}}{n}}z^{n}.\end{aligned}}$$

दूसरी सर्वसमिका की अवकलन-गुणन संक्रिया को दोहराया जा सकता है k बार अनुक्रम को गुणा करने के लिए n^k, लेकिन इसके लिए विभेदन और गुणन के बीच अदल-बदल करने की आवश्यकता होती है। अगर इसके बजाय कर रहे हैं k अनुक्रम में विभेदन, प्रभाव द्वारा गुणा करना है kगिरता हुआ भाज्य:

$$z^{k}G^{(k)}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{\underline {k}}g_{n}z^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)\dotsb (n-k+1)g_{n}z^{n}\quad {\text{for all }}k\in \mathbb {N} .$$

दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं का उपयोग करके, जिसे गुणा करने के लिए दूसरे सूत्र में बदला जा सकता है $n^{k}$ इस प्रकार है (जनरेटिंग फंक्शन ट्रांसफॉर्मेशन # डेरिवेटिव ट्रांसफॉर्मेशन पर मुख्य लेख देखें):

$$\sum _{j=0}^{k}{\begin{Bmatrix}k\\j\end{Bmatrix}}z^{j}F^{(j)}(z)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{k}f_{n}z^{n}\quad {\text{for all }}k\in \mathbb {N} .$$

बार-बार एकीकरण के संचालन के अनुरूप इस अनुक्रम शक्ति सूत्र का एक नकारात्मक-क्रम उत्क्रमण समारोह परिवर्तन उत्पन्न करना # डेरिवेटिव ट्रांसफ़ॉर्मेशन द्वारा परिभाषित किया गया है और इसके सामान्यीकरण को डेरिवेटिव-आधारित जनरेटिंग फ़ंक्शन ट्रांसफ़ॉर्मेशन के रूप में परिभाषित किया गया है, या वैकल्पिक रूप से एक जनरेटिंग फ़ंक्शन ट्रांसफ़ॉर्मेशन द्वारा और निष्पादित किया गया है अनुक्रम जनरेटिंग फ़ंक्शन पर #Polylogarithm श्रृंखला परिवर्तन। एक अनुक्रम उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन पर भिन्नात्मक कलन करने के संबंधित संचालन पर चर्चा की जाती है फ़ंक्शन परिवर्तन # भिन्नात्मक इंटीग्रल और डेरिवेटिव उत्पन्न करना।

अनुक्रमों की अंकगणितीय प्रगति की गणना करना

इस खंड में हम अनुक्रम की गणना करने वाले कार्यों को उत्पन्न करने के सूत्र देते हैं {f_{an + b}} एक सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन दिया गया F(z) कहाँ a, b ∈ ℕ, a ≥ 2, और 0 ≤ b < a (जनरेटिंग फंक्शन ट्रांसफॉर्मेशन देखें)। के लिए a = 2, यह केवल सम और विषम कार्यों (यानी, सम और विषम शक्तियों) में एक फ़ंक्शन का परिचित अपघटन है:

$${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }f_{2n}z^{2n}&={\frac {F(z)+F(-z)}{2}}\\[4px]\sum _{n=0}^{\infty }f_{2n+1}z^{2n+1}&={\frac {F(z)-F(-z)}{2}}.\end{aligned}}$$

अधिक आम तौर पर, मान लीजिए a ≥ 3 ओर वो ω_a = exp 2πi/a दर्शाता है {{mvar|a}एकता की } वीं जड़। फिर, असतत फूरियर रूपांतरण के अनुप्रयोग के रूप में, हमारे पास सूत्र है

$$\sum _{n=0}^{\infty }f_{an+b}z^{an+b}={\frac {1}{a}}\sum _{m=0}^{a-1}\omega _{a}^{-mb}F\left(\omega _{a}^{m}z\right).$$

पूर्णांकों के लिए m ≥ 1, एक अन्य उपयोगी सूत्र है जो कुछ हद तक उलटे फर्श वाली अंकगणितीय प्रगति प्रदान करता है - प्रभावी रूप से प्रत्येक गुणांक को दोहराता है m बार — पहचान से उत्पन्न होते हैं

$$\sum _{n=0}^{\infty }f_{\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor }z^{n}={\frac {1-z^{m}}{1-z}}F(z^{m})=\left(1+z+\cdots +z^{m-2}+z^{m-1}\right)F(z^{m}).$$

P-पुनरावर्ती अनुक्रम और होलोनोमिक जनरेटिंग फ़ंक्शन

परिभाषाएं

एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला (या फ़ंक्शन) F(z) को होलोनोमिक कहा जाता है यदि यह फॉर्म के रैखिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है

$$c_{0}(z)F^{(r)}(z)+c_{1}(z)F^{(r-1)}(z)+\cdots +c_{r}(z)F(z)=0,$$

जहां गुणांक c_i(z) तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र में हैं, ℂ(z). समान रूप से, F(z) होलोनोमिक है यदि सदिश स्थान समाप्त हो गया है ℂ(z) इसके सभी डेरिवेटिव्स के सेट द्वारा परिमित आयामी है।

चूंकि पिछले समीकरण में आवश्यकता पड़ने पर हम हर को स्पष्ट कर सकते हैं, हम मान सकते हैं कि फलन, c_i(z) में बहुपद हैं z. इस प्रकार हम एक समतुल्य स्थिति देख सकते हैं कि एक जनन फलन होलोनोमिक है यदि इसके गुणांक a को संतुष्ट करते हैंP-रूप की पुनरावृत्ति

$${\widehat {c}}_{s}(n)f_{n+s}+{\widehat {c}}_{s-1}(n)f_{n+s-1}+\cdots +{\widehat {c}}_{0}(n)f_{n}=0,$$

सभी के लिए काफी बड़ा है n ≥ n₀ और कहाँ ĉ_i(n) निश्चित परिमित-डिग्री बहुपद हैं n. दूसरे शब्दों में, गुण जो अनुक्रम होP-रिकर्सिव और एक होलोनोमिक जनरेटिंग फंक्शन समतुल्य हैं। होलोनोमिक फ़ंक्शंस जनरेटिंग फ़ंक्शन ट्रांसफ़ॉर्मेशन # हैडमार्ड उत्पादों और विकर्ण जनरेटिंग फ़ंक्शंस ऑपरेशन के तहत बंद हैं ⊙ कार्यों को उत्पन्न करने पर।

उदाहरण

कार्य e^z, log z, cos z, arcsin z, √1 + z, dilogarithm फ़ंक्शन Li₂(z), सामान्यीकृत हाइपरज्यामितीय कार्य _pF_q(...; ...; z) और पावर श्रृंखला द्वारा परिभाषित कार्य

$$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n!)^{2}}}$$

और गैर-अभिसरण

$$\sum _{n=0}^{\infty }n!\cdot z^{n}$$

सभी होलोनोमिक हैं।

इसके उदाहरण P-होलोनोमिक जनरेटिंग फ़ंक्शंस के साथ रिकर्सिव सीक्वेंस में शामिल हैं f_n ≔ 1/n + 1 (²ⁿ
_n) और f_n ≔ 2ⁿ/n² + 1, जहां अनुक्रम जैसे √n और log n नहीं हैं P-उनके संबंधित उत्पादन कार्यों में विलक्षणताओं की प्रकृति के कारण पुनरावर्ती। इसी तरह, असीम रूप से कई विलक्षणताओं के साथ कार्य करता है जैसे tan z, sec z, और गामा फ़ंक्शन |Γ(z) होलोनोमिक कार्य नहीं हैं।

साथ काम करने के लिए सॉफ्टवेयरP-पुनरावर्ती अनुक्रम और होलोनोमिक जनरेटिंग फ़ंक्शन

प्रसंस्करण और साथ काम करने के लिए उपकरण P-Mathematica में पुनरावर्ती अनुक्रम में RISC Combinatorics Group Algorithmic Combinatorics Software साइट पर गैर-वाणिज्यिक उपयोग के लिए प्रदान किए गए सॉफ़्टवेयर पैकेज शामिल हैं। अधिकांशतः बंद-स्रोत होने के बावजूद, इस सॉफ़्टवेयर सूट में विशेष रूप से शक्तिशाली उपकरण इसके द्वारा प्रदान किए जाते हैं Guess अनुमान लगाने के लिए पैकेजP- मनमाना इनपुट अनुक्रमों के लिए पुनरावर्तन (प्रायोगिक गणित और अन्वेषण के लिए उपयोगी) और Sigma पैकेज जो कई राशियों के लिए पी-पुनरावृत्ति खोजने में सक्षम है और बंद-रूप समाधानों के लिए हल करता है P-पुनरावृत्ति सामान्यीकृत हार्मोनिक संख्याओं को शामिल करती है। इस विशेष आरआईएससी साइट पर सूचीबद्ध अन्य पैकेज विशेष रूप से होलोनोमिक जनरेटिंग फ़ंक्शंस के साथ काम करने के लिए लक्षित हैं।

असतत-समय फूरियर रूपांतरण से संबंध

Main article: Discrete-time Fourier transform

जब श्रृंखला निरपेक्ष अभिसरण,

$$G\left(a_{n};e^{-i\omega }\right)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-i\omega n}$$

अनुक्रम का असतत-समय फूरियर रूपांतरण है a₀, a₁, ....

एक अनुक्रम की स्पर्शोन्मुख वृद्धि

कलन में, अक्सर घात श्रृंखला के गुणांकों की वृद्धि दर का उपयोग घात श्रृंखला के लिए अभिसरण की त्रिज्या निकालने के लिए किया जा सकता है। उल्टा भी पकड़ सकता है; अंतर्निहित अनुक्रम के असिम्प्टोटिक विश्लेषण को निकालने के लिए अक्सर जनरेटिंग फ़ंक्शन के अभिसरण के त्रिज्या का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, यदि कोई सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन G(a_n; x) जिसके अभिसरण की परिमित त्रिज्या है r के रूप में लिखा जा सकता है

$$G(a_{n};x)={\frac {A(x)+B(x)\left(1-{\frac {x}{r}}\right)^{-\beta }}{x^{\alpha }}}$$

जहां प्रत्येक A(x) और B(x) एक ऐसा फलन है जो अभिसरण की त्रिज्या से अधिक का विश्लेषणात्मक फलन है r (या संपूर्ण कार्य है), और कहाँ B(r) ≠ 0 तब

$$a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}{\binom {n+\beta -1}{n}}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}\left(\!\!{\binom {\beta }{n}}\!\!\right)\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}\,,$$

गामा समारोह, एक द्विपद गुणांक या एक मल्टीसेट गुणांक का उपयोग करना।

अक्सर इस दृष्टिकोण को एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला में कई शब्द उत्पन्न करने के लिए पुनरावृत्त किया जा सकता है a_n. विशेष रूप से,

$$G\left(a_{n}-{\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}{\binom {n+\beta -1}{n}}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n};x\right)=G(a_{n};x)-{\frac {B(r)}{r^{\alpha }}}\left(1-{\frac {x}{r}}\right)^{-\beta }\,.$$

इस जनक फलन के गुणांकों की स्पर्शोन्मुख वृद्धि को खोज के माध्यम से खोजा जा सकता है A, B, α, β, और r ऊपर के रूप में, जनरेटिंग फ़ंक्शन का वर्णन करने के लिए।

घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शंस के लिए समान स्पर्शोन्मुख विश्लेषण संभव है; एक घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन के साथ, यह है a_n/n! जो इन स्पर्शोन्मुख सूत्रों के अनुसार बढ़ता है। आम तौर पर, यदि एक अनुक्रम का जनरेटिंग फ़ंक्शन माइनस दूसरे अनुक्रम के जनरेटिंग फ़ंक्शन में अभिसरण का त्रिज्या होता है जो व्यक्तिगत जनरेटिंग फ़ंक्शंस के अभिसरण के त्रिज्या से बड़ा होता है तो दो अनुक्रमों में एक ही स्पर्शोन्मुख वृद्धि होती है।

वर्गों के अनुक्रम की स्पर्शोन्मुख वृद्धि

जैसा कि ऊपर व्युत्पन्न किया गया है, वर्गों के अनुक्रम के लिए सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन है

$$G(n^{2};x)={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}.$$

साथ r = 1, α = −1, β = 3, A(x) = 0, और B(x) = x + 1, हम यह सत्यापित कर सकते हैं कि वर्ग अपेक्षित रूप से बढ़ते हैं, वर्गों की तरह:

$$a_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {1+1}{1^{-1}\,\Gamma (3)}}\,n^{3-1}\left({\frac {1}{1}}\right)^{n}=n^{2}.$$

कैटलन संख्या की स्पर्शोन्मुख वृद्धि

Main article: Catalan number

कैटलन संख्या ों के लिए सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन है

$$G(C_{n};x)={\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}.$$

साथ r = 1/4, α = 1, β = −1/2, A(x) = 1/2, और B(x) = −1/2, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कैटलन नंबरों के लिए,

$$C_{n}\sim {\frac {B(r)}{r^{\alpha }\Gamma (\beta )}}\,n^{\beta -1}\left({\frac {1}{r}}\right)^{n}={\frac {-{\frac {1}{2}}}{\left({\frac {1}{4}}\right)^{1}\Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)}}\,n^{-{\frac {1}{2}}-1}\left({\frac {1}{\,{\frac {1}{4}}\,}}\right)^{n}={\frac {4^{n}}{n^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\pi }}}}.$$

Bivariate और बहुभिन्नरूपी जनरेटिंग फ़ंक्शन

कोई भी कई सूचकांकों के साथ सरणियों के लिए कई चर में जनरेटिंग फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकता है। इन्हें बहुभिन्नरूपी जनक फलन या, कभी-कभी, अति जनक फलन कहा जाता है। दो चरों के लिए, इन्हें अक्सर द्विभाजित जनक फलन कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, चूंकि (1 + x)ⁿ एक निश्चित के लिए द्विपद गुणांक के लिए सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन है n, कोई एक द्विभाजित जनरेटिंग फ़ंक्शन के लिए पूछ सकता है जो द्विपद गुणांक उत्पन्न करता है (ⁿ
_k) सभी के लिए k और n. ऐसा करने के लिए विचार करें (1 + x)ⁿ स्वयं में एक अनुक्रम के रूप में n, और इसमें जनरेटिंग फ़ंक्शन खोजें y जिसमें ये अनुक्रम मान गुणांक के रूप में हैं। चूंकि जनरेटिंग फ़ंक्शन के लिए aⁿ है

$${\frac {1}{1-ay}},$$

द्विपद गुणांक के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन है:

$$\sum _{n,k}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-(1+x)y}}={\frac {1}{1-y-xy}}.$$

निरंतर अंशों द्वारा प्रतिनिधित्व (जैकोबी-प्रकारJ-अंश)

परिभाषाएँ

(औपचारिक) जैकोबी-प्रकार और स्टिल्टजेस-प्रकार सामान्यीकृत निरंतर अंश का विस्तार (J-भिन्न औरS-भिन्न, क्रमशः) जिसका hपरिमेय अभिसरण सटीकता के क्रम का प्रतिनिधित्व करता है|2h-आदेश सटीक शक्ति श्रृंखला कई विशेष एक और दो-चर अनुक्रमों के लिए आम तौर पर अलग-अलग सामान्य उत्पादन कार्यों को व्यक्त करने का एक और तरीका है। जैकोबी-प्रकार के निरंतर अंशों का विशेष रूप (J-अंश) निम्नलिखित समीकरण के रूप में विस्तारित हैं और इसके संबंध में अगली संगत शक्ति श्रृंखला विस्तार है z कुछ विशिष्ट, अनुप्रयोग-निर्भर घटक अनुक्रमों के लिए, {ab_i} और {c_i}, कहाँ z ≠ 0 नीचे दिए गए दूसरे शक्ति श्रृंखला विस्तार में औपचारिक चर को दर्शाता है:

$${\begin{aligned}J^{[\infty ]}(z)&={\cfrac {1}{1-c_{1}z-{\cfrac {{\text{ab}}_{2}z^{2}}{1-c_{2}z-{\cfrac {{\text{ab}}_{3}z^{2}}{\ddots }}}}}}\\[4px]&=1+c_{1}z+\left({\text{ab}}_{2}+c_{1}^{2}\right)z^{2}+\left(2{\text{ab}}_{2}c_{1}+c_{1}^{3}+{\text{ab}}_{2}c_{2}\right)z^{3}+\cdots \end{aligned}}$$

के गुणांक $z^{n}$, द्वारा आशुलिपि में निरूपित j_n ≔ [zⁿ] J^[∞](z), पिछले समीकरणों में समीकरणों के मैट्रिक्स समाधान के अनुरूप हैं

$${\begin{bmatrix}k_{0,1}&k_{1,1}&0&0&\cdots \\k_{0,2}&k_{1,2}&k_{2,2}&0&\cdots \\k_{0,3}&k_{1,3}&k_{2,3}&k_{3,3}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}k_{0,0}&0&0&0&\cdots \\k_{0,1}&k_{1,1}&0&0&\cdots \\k_{0,2}&k_{1,2}&k_{2,2}&0&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}c_{1}&1&0&0&\cdots \\{\text{ab}}_{2}&c_{2}&1&0&\cdots \\0&{\text{ab}}_{3}&c_{3}&1&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \end{bmatrix}},$$

कहाँ j₀ ≡ k_0,0 = 1, j_n = k_0,n के लिए n ≥ 1, k_r,s = 0 अगर r > s, और जहाँ सभी पूर्णांकों के लिए p, q ≥ 0, हमारे द्वारा दिया गया एक अतिरिक्त सूत्र संबंध है

$$j_{p+q}=k_{0,p}\cdot k_{0,q}+\sum _{i=1}^{\min(p,q)}{\text{ab}}_{2}\cdots {\text{ab}}_{i+1}\times k_{i,p}\cdot k_{i,q}.$$

के गुणh वें अभिसारी कार्य

के लिए h ≥ 0 (हालांकि अभ्यास में जब h ≥ 2), हम परिमेय को परिभाषित कर सकते हैं h वें अभिसरण अनंत तक J-अंश, J^[∞](z), द्वारा विस्तारित

$$\operatorname {Conv} _{h}(z):={\frac {P_{h}(z)}{Q_{h}(z)}}=j_{0}+j_{1}z+\cdots +j_{2h-1}z^{2h-1}+\sum _{n=2h}^{\infty }{\widetilde {j}}_{h,n}z^{n}$$

अनुक्रमों के माध्यम से घटक-वार, P_h(z) और Q_h(z), द्वारा पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया

$${\begin{aligned}P_{h}(z)&=(1-c_{h}z)P_{h-1}(z)-{\text{ab}}_{h}z^{2}P_{h-2}(z)+\delta _{h,1}\\Q_{h}(z)&=(1-c_{h}z)Q_{h-1}(z)-{\text{ab}}_{h}z^{2}Q_{h-2}(z)+(1-c_{1}z)\delta _{h,1}+\delta _{0,1}.\end{aligned}}$$

इसके अलावा, अभिसरण समारोह की तर्कसंगतता Conv_h(z) सभी के लिए h ≥ 2 के अनुक्रम से संतुष्ट अतिरिक्त परिमित अंतर समीकरणों और सर्वांगसम गुणों का तात्पर्य है j_n, और के लिए M_h ≔ ab₂ ⋯ ab_{h + 1} अगर h ‖ M_h तो हमारे पास सर्वांगसमता है

$$j_{n}\equiv [z^{n}]\operatorname {Conv} _{h}(z){\pmod {h}},$$

गैर-प्रतीकात्मक के लिए, पैरामीटर अनुक्रमों के विकल्पों का निर्धारण करें {ab_i} और {c_i} कब h ≥ 2, यानी, जब ये अनुक्रम एक सहायक पैरामीटर जैसे परोक्ष रूप से निर्भर नहीं करते हैं q, x, या R जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिए गए उदाहरणों में है।

उदाहरण

अगली तालिका कम्प्यूटेशनल रूप से पाए गए घटक अनुक्रमों के लिए बंद-फ़ॉर्म फ़ार्मुलों के उदाहरण प्रदान करती है (और बाद में उद्धृत संदर्भों में सही साबित हुई) निर्धारित अनुक्रमों के कई विशेष मामलों में, j_n, के सामान्य विस्तार द्वारा उत्पन्न J-अंश पहले उपखंड में परिभाषित किए गए हैं। यहाँ हम परिभाषित करते हैं 0 < |a|, |b|, |q| < 1 और पैरामीटर R, α ∈ ℤ⁺ और x इन विस्तारों के संबंध में अनिश्चित होने के लिए, जहां इन के विस्तार से निर्धारित अनुक्रमों की गणना की जाती है J-अंशों को क्यू-पोचममेर प्रतीक के संदर्भ में परिभाषित किया गया हैq-पोचममेर प्रतीक, पोखमर प्रतीक और द्विपद गुणांक।

$j_{n}$	$c_{1}$	$c_{i}(i\geq 2)$	$\mathrm {ab} _{i}(i\geq 2)$
$q^{n^{2}}$	$q$	$q^{2h-3}\left(q^{2h}+q^{2h-2}-1\right)$	$q^{6h-10}\left(q^{2h-2}-1\right)$
$(a;q)_{n}$	$1-a$	$q^{h-1}-aq^{h-2}\left(q^{h}+q^{h-1}-1\right)$	$aq^{2h-4}\left(aq^{h-2}-1\right)\left(q^{h-1}-1\right)$
$\left(zq^{-n};q\right)_{n}$	${\frac {q-z}{q}}$	${\frac {q^{h}-z-qz+q^{h}z}{q^{2h-1}}}$	${\frac {\left(q^{h-1}-1\right)\left(q^{h-1}-z\right)\cdot z}{q^{4h-5}}}$
${\frac {(a;q)_{n}}{(b;q)_{n}}}$	${\frac {1-a}{1-b}}$	${\frac {q^{i-2}\left(q+abq^{2i-3}+a(1-q^{i-1}-q^{i})+b(q^{i}-q-1)\right)}{\left(1-bq^{2i-4}\right)\left(1-bq^{2i-2}\right)}}$	${\frac {q^{2i-4}\left(1-bq^{i-3}\right)\left(1-aq^{i-2}\right)\left(a-bq^{i-2}\right)\left(1-q^{i-1}\right)}{\left(1-bq^{2i-5}\right)\left(1-bq^{2i-4}\right)^{2}\left(1-bq^{2i-3}\right)}}$
$\alpha ^{n}\cdot \left({\frac {R}{\alpha }}\right)_{n}$	$R$	$R+2\alpha (i-1)$	$(i-1)\alpha {\bigl (}R+(i-2)\alpha {\bigr )}$
$(-1)^{n}{\binom {x}{n}}$	$-x$	$-{\frac {(x+2(i-1)^{2})}{(2i-1)(2i-3)}}$	${\begin{cases}-{\dfrac {(x-i+2)(x+i-1)}{4\cdot (2i-3)^{2}}}&{\text{for }}i\geq 3;\\[4px]-{\frac {1}{2}}x(x+1)&{\text{for }}i=2.\end{cases}}$
$(-1)^{n}{\binom {x+n}{n}}$	$-(x+1)$	${\frac {{\bigl (}x-2i(i-2)-1{\bigr )}}{(2i-1)(2i-3)}}$	${\begin{cases}-{\dfrac {(x-i+2)(x+i-1)}{4\cdot (2i-3)^{2}}}&{\text{for }}i\geq 3;\\[4px]-{\frac {1}{2}}x(x+1)&{\text{for }}i=2.\end{cases}}$

जैकोबी-प्रकार की परिभाषा के अनुरूप इन श्रृंखलाओं के अभिसरण की त्रिज्या J-ऊपर दिए गए अंश सामान्य रूप से इन अनुक्रमों के सामान्य उत्पादन कार्यों को परिभाषित करने वाली संबंधित शक्ति श्रृंखला विस्तार से भिन्न होते हैं।

उदाहरण

वर्ग संख्याओं के अनुक्रम के लिए फलन उत्पन्न करना a_n = n² हैं:

साधारण जनरेटिंग फंक्शन

$$G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}$$

घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन

$$\operatorname {EG} (n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}x^{n}}{n!}}=x(x+1)e^{x}$$

लैम्बर्ट श्रृंखला

लैम्बर्ट श्रृंखला पहचान के उदाहरण के रूप में लैम्बर्ट श्रृंखला में नहीं दी गई है, हम इसे दिखा सकते हैं |x|, |xq| < 1 हमारे पास वह है

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n^{2}}}{1-qx^{n}}}+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {q^{n}x^{n(n+1)}}{1-x^{n}}},$$

जहां हमारे पास भाजक फलन के जनक फलन के लिए विशेष मामला पहचान है, d(n) ≡ σ₀(n), द्वारा दिए गए

$$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n^{2}}\left(1+x^{n}\right)}{1-x^{n}}}.$$

बेल सीरीज

$$\operatorname {BG} _{p}\left(n^{2};x\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\left(p^{n}\right)^{2}x^{n}={\frac {1}{1-p^{2}x}}$$

डिरिचलेट श्रृंखला जनरेटिंग फ़ंक्शन

$$\operatorname {DG} \left(n^{2};s\right)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2}}{n^{s}}}=\zeta (s-2),$$

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन का उपयोग करना।

क्रम a_k एक डिरिचलेट श्रृंखला ़ जनरेटिंग फ़ंक्शन (DGF) द्वारा उत्पन्न होता है:

$$\operatorname {DG} (a_{k};s)=\zeta (s)^{m}$$

कहाँ ζ(s) रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन है, जिसमें साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शन है:

$$\sum _{k=1}^{k=n}a_{k}x^{k}=x+{\binom {m}{1}}\sum _{2\leq a\leq n}x^{a}+{\binom {m}{2}}{\underset {ab\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }}}x^{ab}+{\binom {m}{3}}{\underset {abc\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }}}x^{abc}+{\binom {m}{4}}{\underset {abcd\leq n}{\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }}}x^{abcd}+\cdots$$

बहुभिन्नरूपी जनन कार्य

निर्दिष्ट पंक्ति और स्तंभ योग के साथ गैर-नकारात्मक पूर्णांकों की आकस्मिक तालिकाओं की संख्या की गणना करते समय बहुभिन्नरूपी जनरेटिंग फ़ंक्शन व्यवहार में उत्पन्न होते हैं। मान लीजिए तालिका है r पंक्तियाँ और c कॉलम; पंक्ति योग हैं t₁, t₂ ... t_r और स्तंभ योग हैं s₁, s₂ ... s_c. फिर, आई. जे. गुड के अनुसार, ऐसी तालिकाओं की संख्या का गुणांक है

$$x_{1}^{t_{1}}\cdots x_{r}^{t_{r}}y_{1}^{s_{1}}\cdots y_{c}^{s_{c}}$$

में

$$\prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{c}{\frac {1}{1-x_{i}y_{j}}}.$$

द्विभाजित मामले में, गैर-बहुपद डबल योग फॉर्म के तथाकथित डबल या सुपर जनरेटिंग फ़ंक्शंस के उदाहरण हैं

$$G(w,z):=\sum _{m,n\geq 0}g_{m,n}w^{m}z^{n}$$

द्विपद गुणांकों, स्टर्लिंग संख्याओं और यूलेरियन संख्याओं के लिए निम्नलिखित दो-चर जनक फलन शामिल करें:

$${\begin{aligned}e^{z+wz}&=\sum _{m,n\geq 0}{\binom {n}{m}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]e^{w(e^{z}-1)}&=\sum _{m,n\geq 0}{\begin{Bmatrix}n\\m\end{Bmatrix}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]{\frac {1}{(1-z)^{w}}}&=\sum _{m,n\geq 0}{\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]{\frac {1-w}{e^{(w-1)z}-w}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\rangle w^{m}{\frac {z^{n}}{n!}}\\[4px]{\frac {e^{w}-e^{z}}{we^{z}-ze^{w}}}&=\sum _{m,n\geq 0}\left\langle {\begin{matrix}m+n+1\\m\end{matrix}}\right\rangle {\frac {w^{m}z^{n}}{(m+n+1)!}}.\end{aligned}}$$

अनुप्रयोग

विभिन्न तकनीकें: राशियों का मूल्यांकन करना और कार्यों को उत्पन्न करने वाली अन्य समस्याओं से निपटना

उदाहरण 1: हार्मोनिक संख्याओं के योग के लिए एक सूत्र

जनक फलन हमें योगों में हेर-फेर करने और योगों के बीच तत्समक स्थापित करने की कई विधियाँ प्रदान करते हैं।

सबसे सरल मामला तब होता है जब s_n = ∑ⁿ
_{k = 0} a_k. हम तब जानते हैं S(z) = A(z)/1 − z इसी सामान्य उत्पादन कार्यों के लिए।

उदाहरण के लिए, हम हेरफेर कर सकते हैं

$$s_{n}=\sum _{k=1}^{n}H_{k}\,,$$

कहाँ H_k = 1 + 1/2 + ⋯ + 1/k हार्मोनिक नंबर हैं। होने देना

$$H(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{H_{n}z^{n}}$$

हार्मोनिक संख्याओं का सामान्य जनन फलन हो। तब

$$H(z)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,,$$

और इस तरह

$$S(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{s_{n}z^{n}}={\frac {1}{(1-z)^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}\,.$$

का उपयोग करते हुए

$${\frac {1}{(1-z)^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+1)z^{n}\,,$$

जनरेटिंग फंक्शन # कनवॉल्यूशन (कॉची उत्पाद) अंश के साथ पैदावार

$$s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {n+1-k}{k}}=(n+1)H_{n}-n\,,$$

जिसे इस रूप में भी लिखा जा सकता है

$$\sum _{k=1}^{n}{H_{k}}=(n+1)(H_{n+1}-1)\,.$$

उदाहरण 2: संशोधित द्विपद गुणांक योग और द्विपद रूपांतरण

एक मनमाना अनुक्रम के लिए अनुक्रमों से संबंधित और रकम में हेरफेर करने के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शंस का उपयोग करने का एक और उदाहरण ⟨ f_n ⟩ हम रकम के दो क्रमों को परिभाषित करते हैं

$${\begin{aligned}s_{n}&:=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}f_{m}3^{n-m}\\[4px]{\tilde {s}}_{n}&:=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}(m+1)(m+2)(m+3)f_{m}3^{n-m}\,,\end{aligned}}$$

सभी के लिए n ≥ 0, और दूसरे योग को पहले के संदर्भ में व्यक्त करना चाहते हैं। हम कार्यों को उत्पन्न करके एक दृष्टिकोण का सुझाव देते हैं।

सबसे पहले, हम पहली राशि के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन लिखने के लिए द्विपद परिवर्तन का उपयोग करते हैं

$$S(z)={\frac {1}{1-3z}}F\left({\frac {z}{1-3z}}\right).$$

अनुक्रम के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन के बाद से ⟨ (n + 1)(n + 2)(n + 3) f_n ⟩ द्वारा दिया गया है

$$6F(z)+18zF'(z)+9z^{2}F''(z)+z^{3}F'''(z)$$

हम ऊपर परिभाषित दूसरी राशि के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन को फॉर्म में लिख सकते हैं

$${\tilde {S}}(z)={\frac {6}{(1-3z)}}F\left({\frac {z}{1-3z}}\right)+{\frac {18z}{(1-3z)^{2}}}F'\left({\frac {z}{1-3z}}\right)+{\frac {9z^{2}}{(1-3z)^{3}}}F''\left({\frac {z}{1-3z}}\right)+{\frac {z^{3}}{(1-3z)^{4}}}F'''\left({\frac {z}{1-3z}}\right).$$

विशेष रूप से, हम इस संशोधित योग उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन को के रूप में लिख सकते हैं

$$a(z)\cdot S(z)+b(z)\cdot zS'(z)+c(z)\cdot z^{2}S''(z)+d(z)\cdot z^{3}S'''(z),$$

के लिए a(z) = 6(1 − 3z)³, b(z) = 18(1 − 3z)³, c(z) = 9(1 − 3z)³, और d(z) = (1 − 3z)³, कहाँ (1 − 3z)³ = 1 − 9z + 27z² − 27z³.

अंत में, यह इस प्रकार है कि हम निम्नलिखित रूप में पहली रकम के माध्यम से दूसरी रकम व्यक्त कर सकते हैं:

$${\begin{aligned}{\tilde {s}}_{n}&=[z^{n}]\left(6(1-3z)^{3}\sum _{n=0}^{\infty }s_{n}z^{n}+18(1-3z)^{3}\sum _{n=0}^{\infty }ns_{n}z^{n}+9(1-3z)^{3}\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)s_{n}z^{n}+(1-3z)^{3}\sum _{n=0}^{\infty }n(n-1)(n-2)s_{n}z^{n}\right)\\[4px]&=(n+1)(n+2)(n+3)s_{n}-9n(n+1)(n+2)s_{n-1}+27(n-1)n(n+1)s_{n-2}-(n-2)(n-1)ns_{n-3}.\end{aligned}}$$

उदाहरण 3: परस्पर पुनरावर्ती अनुक्रमों के लिए कार्य उत्पन्न करना

इस उदाहरण में, हम कंक्रीट गणित की धारा 7.3 में दिए गए एक जनरेटिंग फ़ंक्शन उदाहरण को सुधारते हैं (फ़ंक्शन श्रृंखला उत्पन्न करने के सुंदर चित्रों के लिए समान संदर्भ का अनुभाग 7.1 भी देखें)। विशेष रूप से, मान लीजिए कि हम कुल तरीकों की तलाश करते हैं (निरूपित U_n) 3-बाय- टाइल करने के लिएn अचिह्नित 2-बाय-1 डोमिनोज़ टुकड़ों के साथ आयत। सहायक अनुक्रम दें, U_n, 3-बाय-को कवर करने के तरीकों की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाना चाहिएn पूर्ण आयत का आयत-ऋण-कोना खंड। हम इन परिभाषाओं का उपयोग बंद-रूप अभिव्यक्ति सूत्र देने के लिए करना चाहते हैं U_n लंबवत बनाम क्षैतिज डोमिनोज़ के मामलों को संभालने के लिए इस परिभाषा को और अधिक तोड़े बिना। ध्यान दें कि हमारे दो अनुक्रमों के लिए सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन श्रृंखला के अनुरूप हैं

$${\begin{aligned}U(z)=1+3z^{2}+11z^{4}+41z^{6}+\cdots ,\\V(z)=z+4z^{3}+15z^{5}+56z^{7}+\cdots .\end{aligned}}$$

यदि हम संभावित कॉन्फ़िगरेशन पर विचार करते हैं जो 3-बाय-के बाएं किनारे से शुरू किया जा सकता हैn आयत, हम निम्नलिखित पारस्परिक रूप से निर्भर, या पारस्परिक रूप से पुनरावर्ती, हमारे दो अनुक्रमों के लिए पुनरावृत्ति संबंधों को व्यक्त करने में सक्षम हैं जब n ≥ 2 ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है U₀ = 1, U₁ = 0, V₀ = 0, और V₁ = 1:

$${\begin{aligned}U_{n}&=2V_{n-1}+U_{n-2}\\V_{n}&=U_{n-1}+V_{n-2}.\end{aligned}}$$

चूँकि हमारे पास वह सभी पूर्णांकों के लिए है m ≥ 0, इंडेक्स-शिफ्ट जनरेटिंग फ़ंक्शन संतुष्ट करते हैं

$$z^{m}G(z)=\sum _{n=m}^{\infty }g_{n-m}z^{n}\,,$$

हम ऊपर निर्दिष्ट प्रारंभिक स्थितियों और पिछले दो पुनरावृत्ति संबंधों का उपयोग यह देखने के लिए कर सकते हैं कि हमारे पास इन अनुक्रमों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन से संबंधित अगले दो समीकरण हैं

$${\begin{aligned}U(z)&=2zV(z)+z^{2}U(z)+1\\V(z)&=zU(z)+z^{2}V(z)={\frac {z}{1-z^{2}}}U(z),\end{aligned}}$$

जो तब समीकरणों की प्रणाली को हल करने से निकलता है (और यह हमारी विधि के लिए विशेष चाल है) कि

$$U(z)={\frac {1-z^{2}}{1-4z^{2}+z^{4}}}={\frac {1}{3-{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {1}{1-\left(2+{\sqrt {3}}\right)z^{2}}}+{\frac {1}{3+{\sqrt {3}}}}\cdot {\frac {1}{1-\left(2-{\sqrt {3}}\right)z^{2}}}.$$

इस प्रकार पिछले समीकरण में जनक फलन के दूसरे आंशिक भिन्न विस्तार से उत्पन्न अनुक्रम का बीजगणितीय सरलीकरण करके, हम पाते हैं कि U_{2n + 1} ≡ 0 ओर वो

$$U_{2n}=\left\lceil {\frac {\left(2+{\sqrt {3}}\right)^{n}}{3-{\sqrt {3}}}}\right\rceil \,,$$

सभी पूर्णांकों के लिए n ≥ 0. हम यह भी ध्यान देते हैं कि फाइबोनैचि संख्याओं के लिए दूसरे क्रम के पुनरावर्तन संबंध पर लागू वही शिफ्ट जनरेटिंग फ़ंक्शन तकनीक पहले से ही कवर किए गए एक चर में पुनरावृत्ति संबंधों को हल करने के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शंस का उपयोग करने का प्रोटोटाइप उदाहरण है, या कम से कम उपखंड में संकेत दिया गया है। ऊपर दिए गए तर्कसंगत कार्य।

संक्रमण (कॉची उत्पाद)

दो औपचारिक शक्ति श्रृंखलाओं में शर्तों का एक असतत कनवल्शन जनरेटिंग फ़ंक्शंस के उत्पाद को मूल अनुक्रम शब्दों के एक निश्चित योग की गणना करने वाले जनरेटिंग फ़ंक्शन में बदल देता है (कॉची उत्पाद देखें)।

1. विचार करना A(z) और B(z) साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शंस हैं।
   $$C(z)=A(z)B(z)\Leftrightarrow [z^{n}]C(z)=\sum _{k=0}^{n}{a_{k}b_{n-k}}$$
2. विचार करना A(z) और B(z) घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन हैं।
   $$C(z)=A(z)B(z)\Leftrightarrow \left[{\frac {z^{n}}{n!}}\right]C(z)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a_{k}b_{n-k}$$
3. तीन साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शंस के उत्पाद के परिणामस्वरूप होने वाले त्रिगुणात्मक अनुक्रम पर विचार करें
   $$C(z)=F(z)G(z)H(z)\Leftrightarrow [z^{n}]C(z)=\sum _{j+k+l=n}f_{j}g_{k}h_{l}$$
4. इसपर विचार करें m-किसी अनुक्रम का स्वयं के साथ किसी धनात्मक पूर्णांक के लिए गुना कनवल्शन m ≥ 1 (आवेदन के लिए नीचे उदाहरण देखें)
   $$C(z)=G(z)^{m}\Leftrightarrow [z^{n}]C(z)=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}g_{k_{1}}g_{k_{2}}\cdots g_{k_{m}}$$

उत्पन्न करने वाले कार्यों का गुणन, या उनके अंतर्निहित अनुक्रमों का कनवल्शन, कुछ गिनती और संभाव्यता परिदृश्यों में स्वतंत्र घटनाओं की धारणा के अनुरूप हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम सांकेतिक परिपाटी अपनाते हैं कि प्रायिकता उत्पन्न करने वाला फलन, या pgf, एक यादृच्छिक चर का Z द्वारा दर्शाया जाता है G_Z(z), तो हम दिखा सकते हैं कि किसी भी दो यादृच्छिक चर के लिए

$$G_{X+Y}(z)=G_{X}(z)G_{Y}(z)\,,$$

अगर X और Y स्वतंत्र हैं। इसी तरह, भुगतान करने के तरीकों की संख्या n ≥ 0 सेट {1, 5, 10, 25, 50} (यानी, पेनी, निकल, डाइम्स, क्वार्टर, और आधा डॉलर में क्रमशः) के मूल्यों के सिक्के मूल्यवर्ग में उत्पाद द्वारा उत्पन्न होता है

$$C(z)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{1-z^{5}}}{\frac {1}{1-z^{10}}}{\frac {1}{1-z^{25}}}{\frac {1}{1-z^{50}}},$$

और इसके अलावा, अगर हम अनुमति देते हैं n किसी भी सकारात्मक पूर्णांक संप्रदाय के सिक्कों में भुगतान किए जाने वाले सेंट, हम विभाजन फ़ंक्शन (गणित) द्वारा उत्पन्न किए जा रहे परिवर्तन के ऐसे संयोजनों की संख्या के लिए जनरेटिंग पर पहुंचते हैं, जो अनंत q-पोचहैमर प्रतीक द्वारा विस्तारित फ़ंक्शन जनरेट करते हैं|q-पोछाम्मेर सिंबल प्रोडक्ट ऑफ़

$$\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-z^{n}\right)^{-1}\,.$$

उदाहरण: कैटलन नंबरों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन

एक उदाहरण जहां जनरेटिंग फ़ंक्शंस के कनवल्शन उपयोगी होते हैं, हमें कैटलन नंबरों के लिए सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने वाले एक विशिष्ट बंद-फ़ॉर्म फ़ंक्शन के लिए हल करने की अनुमति देता है, C_n. विशेष रूप से, इस अनुक्रम में उत्पाद में कोष्ठक सम्मिलित करने के तरीकों की संख्या के रूप में मिश्रित व्याख्या है x₀ · x₁ ·⋯· x_n ताकि गुणा का क्रम पूरी तरह निर्दिष्ट हो। उदाहरण के लिए, C₂ = 2 जो दो भावों से मेल खाता है x₀ · (x₁ · x₂) और (x₀ · x₁) · x₂. यह इस प्रकार है कि अनुक्रम द्वारा दिए गए पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है

$$C_{n}=\sum _{k=0}^{n-1}C_{k}C_{n-1-k}+\delta _{n,0}=C_{0}C_{n-1}+C_{1}C_{n-2}+\cdots +C_{n-1}C_{0}+\delta _{n,0}\,,\quad n\geq 0\,,$$

और इसी तरह एक संबंधित संकेंद्रित जनरेटिंग फ़ंक्शन है, C(z), संतुष्टि देने वाला

$$C(z)=z\cdot C(z)^{2}+1\,.$$

तब से C(0) = 1 ≠ ∞, फिर हम दिए गए इस जनरेटिंग फ़ंक्शन के लिए एक सूत्र पर पहुंचते हैं

$$C(z)={\frac {1-{\sqrt {1-4z}}}{2z}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}{\binom {2n}{n}}z^{n}\,.$$

ध्यान दें कि पहला समीकरण स्पष्ट रूप से परिभाषित करता है {{math|C(z)}ऊपर } का तात्पर्य है

$$C(z)={\frac {1}{1-z\cdot C(z)}}\,,$$

जो तब इस जनरेटिंग फ़ंक्शन के एक और सरल (रूप का) निरंतर अंश विस्तार की ओर ले जाता है।

उदाहरण: पंखे के पेड़ फैलाना और कनवल्शन के कनवल्शन

आदेश का प्रशंसक n को शिखर पर एक ग्राफ के रूप में परिभाषित किया गया है {0, 1,…, n} साथ 2n − 1 किनारों को निम्नलिखित नियमों के अनुसार जोड़ा गया है: वर्टेक्स 0 एक किनारे से दूसरे में से जुड़ा हुआ है n शिखर, और शीर्ष $k$ एक किनारे से अगले शीर्ष से जुड़ा हुआ है k + 1 सभी के लिए 1 ≤ k < n. क्रम एक का एक प्रशंसक, क्रम दो के तीन प्रशंसक, क्रम तीन के आठ प्रशंसक, और इसी तरह। एक फैला हुआ पेड़ एक ग्राफ का एक सबग्राफ होता है जिसमें सभी मूल कोने होते हैं और जिसमें इस सबग्राफ को जोड़ने के लिए पर्याप्त किनारे होते हैं, लेकिन इतने सारे किनारे नहीं होते हैं कि सबग्राफ में एक चक्र हो। हम पूछते हैं कि कितने फैले हुए पेड़ हैं f_n आदेश के एक प्रशंसक की n प्रत्येक के लिए संभव हैं n ≥ 1.

एक अवलोकन के रूप में, हम शीर्षों के निकटवर्ती सेटों को जोड़ने के तरीकों की संख्या की गणना करके प्रश्न तक पहुँच सकते हैं। उदाहरण के लिए, कब n = 4, हमारे पास वह है f₄ = 4 + 3 · 1 + 2 · 2 + 1 · 3 + 2 · 1 · 1 + 1 · 2 · 1 + 1 · 1 · 2 + 1 · 1 · 1 · 1 = 21, जो कि एक योग है m-अनुक्रम के गुना दृढ़ संकल्प g_n = n = [zⁿ] z/(1 − z)² के लिए m ≔ 1, 2, 3, 4. अधिक सामान्यतः, हम इस क्रम के लिए एक सूत्र लिख सकते हैं

$$f_{n}=\sum _{m>0}\sum _{\scriptstyle k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n \atop \scriptstyle k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}>0}g_{k_{1}}g_{k_{2}}\cdots g_{k_{m}}\,,$$

जिससे हम देखते हैं कि इस अनुक्रम के लिए सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन को कनवल्शन के अगले योग के रूप में दिया गया है

$$F(z)=G(z)+G(z)^{2}+G(z)^{3}+\cdots ={\frac {G(z)}{1-G(z)}}={\frac {z}{(1-z)^{2}-z}}={\frac {z}{1-3z+z^{2}}}\,,$$

जिससे हम अंतिम जनरेटिंग फ़ंक्शन के आंशिक अंश विस्तार को लेकर अनुक्रम के लिए एक सटीक सूत्र निकालने में सक्षम हैं।

पेश है एक फ्री पैरामीटर (स्नेक ऑयल मेथड)

कभी-कभी राशि s_n जटिल है, और इसका मूल्यांकन करना हमेशा आसान नहीं होता है। इन राशियों का मूल्यांकन करने के लिए फ्री पैरामीटर विधि एक अन्य विधि है (जिसे एच। विल्फ द्वारा स्नेक ऑयल कहा जाता है)।

अब तक चर्चा की गई दोनों विधियों में है n योग में सीमा के रूप में। जब n योग में स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होता है, तो हम विचार कर सकते हैं n एक "मुक्त" पैरामीटर के रूप में और व्यवहार करें s_n के गुणांक के रूप में F(z) = ∑ s_n zⁿ, योगों के क्रम को बदलें n और k, और आंतरिक योग की गणना करने का प्रयास करें।

उदाहरण के लिए, यदि हम गणना करना चाहते हैं

$$s_{n}=\sum _{k=0}^{\infty }{{\binom {n+k}{m+2k}}{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}\,,\quad m,n\in \mathbb {N} _{0}\,,$$

हम इलाज कर सकते हैं n एक नि: शुल्क पैरामीटर के रूप में, और सेट करें

$$F(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\left(\sum _{k=0}^{\infty }{{\binom {n+k}{m+2k}}{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}}\right)}z^{n}\,.$$

इंटरचेंजिंग योग ("स्नेक ऑयल") देता है

$$F(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}z^{-k}}\sum _{n=0}^{\infty }{{\binom {n+k}{m+2k}}z^{n+k}}\,.$$

अब आंतरिक योग है z^{m + 2k}/(1 − z)^{m + 2k + 1}. इस प्रकार

$${\begin{aligned}F(z)&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}\sum _{k=0}^{\infty }{{\frac {1}{k+1}}{\binom {2k}{k}}\left({\frac {-z}{(1-z)^{2}}}\right)^{k}}\\[4px]&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}\sum _{k=0}^{\infty }{C_{k}\left({\frac {-z}{(1-z)^{2}}}\right)^{k}}&{\text{where }}C_{k}=k{\text{th Catalan number}}\\[4px]&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}{\frac {1-{\sqrt {1+{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}}}}{\frac {-2z}{(1-z)^{2}}}}\\[4px]&={\frac {-z^{m-1}}{2(1-z)^{m-1}}}\left(1-{\frac {1+z}{1-z}}\right)\\[4px]&={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m}}}=z{\frac {z^{m-1}}{(1-z)^{m}}}\,.\end{aligned}}$$

तब हम प्राप्त करते हैं

$$s_{n}={\begin{cases}\displaystyle {\binom {n-1}{m-1}}&{\text{for }}m\geq 1\,,\\{}[n=0]&{\text{for }}m=0\,.\end{cases}}$$

योग के लिए फिर से उसी विधि का उपयोग करना शिक्षाप्रद है, लेकिन इस बार समय लगेगा m इसके बजाय मुक्त पैरामीटर के रूप में n. हम इस प्रकार सेट करते हैं

$$G(z)=\sum _{m=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n+k}{m+2k}}{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}\right)z^{m}\,.$$

इंटरचेंजिंग योग (साँप का तेल) देता है

$$G(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {2k}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k+1}}z^{-2k}\sum _{m=0}^{\infty }{\binom {n+k}{m+2k}}z^{m+2k}\,.$$

अब आंतरिक योग है (1 + z)^{n + k}. इस प्रकार

$${\begin{aligned}G(z)&=(1+z)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k+1}}{\binom {2k}{k}}\left({\frac {-(1+z)}{z^{2}}}\right)^{k}\\[4px]&=(1+z)^{n}\sum _{k=0}^{\infty }C_{k}\,\left({\frac {-(1+z)}{z^{2}}}\right)^{k}&{\text{where }}C_{k}=k{\text{th Catalan number}}\\[4px]&=(1+z)^{n}\,{\frac {1-{\sqrt {1+{\frac {4(1+z)}{z^{2}}}}}}{\frac {-2(1+z)}{z^{2}}}}\\[4px]&=(1+z)^{n}\,{\frac {z^{2}-z{\sqrt {z^{2}+4+4z}}}{-2(1+z)}}\\[4px]&=(1+z)^{n}\,{\frac {z^{2}-z(z+2)}{-2(1+z)}}\\[4px]&=(1+z)^{n}\,{\frac {-2z}{-2(1+z)}}=z(1+z)^{n-1}\,.\end{aligned}}$$

इस प्रकार हम प्राप्त करते हैं

$$s_{n}=\left[z^{m}\right]z(1+z)^{n-1}=\left[z^{m-1}\right](1+z)^{n-1}={\binom {n-1}{m-1}}\,,$$

के लिए m ≥ 1 पहले जैसा।

उत्पन्न करने वाले फलन सर्वांगसमता सिद्ध करते हैं

हम कहते हैं कि दो जनक फलन (शक्ति श्रेणी) सर्वांगसम मॉड्यूल हैं m, लिखा हुआ A(z) ≡ B(z) (mod m) यदि उनके गुणांक सर्वांगसम मॉड्यूल हैं m सभी के लिए n ≥ 0, अर्थात।, a_n ≡ b_n (mod m) पूर्णांकों के सभी प्रासंगिक मामलों के लिए n (ध्यान दें कि हमें यह मानने की आवश्यकता नहीं है m यहाँ एक पूर्णांक है - यह बहुत अच्छी तरह से बहुपद-मूल्यवान कुछ अनिश्चित में हो सकता है x, उदाहरण के लिए)। यदि सरल दाहिने हाथ की ओर उत्पन्न करने वाला कार्य, B(z), का एक तर्कसंगत कार्य है z, तो इस अनुक्रम के रूप से पता चलता है कि अनुक्रम आवधिक कार्य मोडुलो है जो पूर्णांक-मान के विशेष मामले तय करता है m ≥ 2. उदाहरण के लिए, हम सिद्ध कर सकते हैं कि यूलर संख्याएँ,

$$\langle E_{n}\rangle =\langle 1,1,5,61,1385,\ldots \rangle \longmapsto \langle 1,1,2,1,2,1,2,\ldots \rangle {\pmod {3}}\,,$$

निम्नलिखित सर्वांगसमता मॉड्यूल 3 को संतुष्ट करें:

$$\sum _{n=0}^{\infty }E_{n}z^{n}={\frac {1-z^{2}}{1+z^{2}}}{\pmod {3}}\,.$$

सबसे उपयोगी तरीकों में से एक, यदि सर्वथा शक्तिशाली नहीं है, तो विशेष जनरेटिंग फ़ंक्शंस द्वारा किसी भी पूर्णांक (यानी, न केवल प्रधान शक्तियाँ) द्वारा गणना किए गए अनुक्रमों के लिए सर्वांगसमता प्राप्त करने के तरीके p^k) द्वारा (यहां तक ​​कि गैर-अभिसरण) साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शंस के निरंतर अंश निरूपण पर अनुभाग में दिया गया है J-अंश ऊपर। हम उत्पादन कार्यों पर लैंडो के व्याख्यान से निरंतर अंश द्वारा प्रतिनिधित्व के माध्यम से विस्तारित श्रृंखला उत्पन्न करने से संबंधित एक विशेष परिणाम का हवाला देते हैं:

Theorem: congruences for series generated by expansions of continued fractions — Suppose that the generating function A(z) is represented by an infinite continued fraction of the form

$$A(z)={\frac {1}{1-c_{1}z}}{\frac {p_{1}z^{2}}{1-c_{2}z}}{\frac {p_{2}z^{2}}{1-c_{3}z}}\cdots ,$$

and that A_p(z) denotes the pth convergent to this continued fraction expansion defined such that a_n = [zⁿ] A_p(z) for all 0 ≤ n < 2p. Then:

1. the function A_p(z) is rational for all p ≥ 2 where we assume that one of divisibility criteria of p | p₁, p₁p₂, p₁p₂p₃ is met, that is, p | p₁p₂⋯p_k for some k ≥ 1; and
2. if the integer p divides the product p₁p₂⋯p_k, then we have A(z) ≡ A_k(z) (mod p).

जनक फलनों का उनके गुणांकों के लिए सर्वांगसमता सिद्ध करने में अन्य उपयोग भी होते हैं। हम अगले दो विशिष्ट उदाहरणों का हवाला देते हैं जो पहली तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के लिए और विभाजन फ़ंक्शन (गणित) के लिए विशेष केस सर्वांगसमता प्राप्त करते हैं। विभाजन फ़ंक्शन p(n) जो पूर्णांक अनुक्रमों से जुड़ी समस्याओं से निपटने में कार्यों को उत्पन्न करने की बहुमुखी प्रतिभा को दर्शाता है।

स्टर्लिंग संख्या मॉड्यूल छोटे पूर्णांक

पहली तरह की स्टर्लिंग संख्या# परिमित उत्पादों द्वारा उत्पन्न स्टर्लिंग संख्याओं पर अनुरूपता

$$S_{n}(x):=\sum _{k=0}^{n}{\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}x^{k}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)\,,\quad n\geq 1\,,$$

Wilf के स्टॉक रेफरेंस जनरेटिंगफंक्शनोलॉजी की धारा 4.6 में उनके जनरेटिंग फ़ंक्शन के गुणों से सख्ती से प्राप्त इन नंबरों के लिए सर्वांगसमता का अवलोकन प्रदान करता है। हम मूल तर्क को दोहराते हैं और ध्यान देते हैं कि जब मॉडुलो 2 को कम करता है, तो ये परिमित उत्पाद उत्पन्न करने वाले कार्य प्रत्येक को संतुष्ट करते हैं

$$S_{n}(x)=[x(x+1)]\cdot [x(x+1)]\cdots =x^{\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }(x+1)^{\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }\,,$$

जिसका तात्पर्य है कि इन स्टर्लिंग संख्याओं की समानता द्विपद गुणांक से मेल खाती है

$${\begin{bmatrix}n\\k\end{bmatrix}}\equiv {\binom {\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor }{k-\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }}{\pmod {2}}\,,$$

और फलस्वरूप यह दर्शाता है [ⁿ
_k] भी जब भी है k < ⌊ n/2 ⌋.

इसी तरह, हम दाएँ हाथ के उत्पादों को कम कर सकते हैं जो स्टर्लिंग संख्या उत्पन्न करने वाले कार्यों मॉड्यूलो 3 को परिभाषित करते हैं ताकि थोड़ा और जटिल अभिव्यक्ति प्राप्त हो सके

$${\begin{aligned}{\begin{bmatrix}n\\m\end{bmatrix}}&\equiv [x^{m}]\left(x^{\left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil }(x+1)^{\left\lceil {\frac {n-1}{3}}\right\rceil }(x+2)^{\left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor }\right)&&{\pmod {3}}\\&\equiv \sum _{k=0}^{m}{\begin{pmatrix}\left\lceil {\frac {n-1}{3}}\right\rceil \\k\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor \\m-k-\left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil \end{pmatrix}}\times 2^{\left\lceil {\frac {n}{3}}\right\rceil +\left\lfloor {\frac {n}{3}}\right\rfloor -(m-k)}&&{\pmod {3}}\,.\end{aligned}}$$

पार्टीशन फंक्शन के लिए बधाई

इस उदाहरण में, हम अनंत उत्पादों की कुछ मशीनरी को खींचते हैं जिनकी शक्ति श्रृंखला विस्तार कई विशेष कार्यों के विस्तार और विभाजन कार्यों की गणना करता है। विशेष रूप से, हम याद करते हैं कि विभाजन कार्य (संख्या सिद्धांत) p(n) पारस्परिक अनंत q-पोचहैमर प्रतीक द्वारा उत्पन्न होता हैq-पोछाम्मेर सिंबल प्रोडक्ट (और z-पोचममेर उत्पाद जैसा भी मामला हो) द्वारा दिया गया है

$${\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }p(n)z^{n}&={\frac {1}{\left(1-z\right)\left(1-z^{2}\right)\left(1-z^{3}\right)\cdots }}\\[4pt]&=1+z+2z^{2}+3z^{3}+5z^{4}+7z^{5}+11z^{6}+\cdots .\end{aligned}}$$

यह विभाजन कार्य कई ज्ञात रामानुजन की सर्वांगसमताओं को संतुष्ट करता है, जिनमें विशेष रूप से निम्नलिखित परिणाम शामिल हैं, हालांकि समारोह के लिए संबंधित पूर्णांक सर्वांगसमताओं के रूपों के बारे में अभी भी कई खुले प्रश्न हैं:

$${\begin{aligned}p(5m+4)&\equiv 0{\pmod {5}}\\p(7m+5)&\equiv 0{\pmod {7}}\\p(11m+6)&\equiv 0{\pmod {11}}\\p(25m+24)&\equiv 0{\pmod {5^{2}}}\,.\end{aligned}}$$

हम दिखाते हैं कि ऊपर सूचीबद्ध इन सर्वांगसमताओं में से पहले का अत्यधिक प्रारंभिक प्रमाण देने के लिए औपचारिक शक्ति श्रृंखला के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शंस और सर्वांगसमता के हेरफेर का उपयोग कैसे करें।

सबसे पहले, हम देखते हैं कि द्विपद गुणांक जनक फलन में

$${\frac {1}{(1-z)^{5}}}=\sum _{i=0}^{\infty }{\binom {4+i}{4}}z^{i}\,,$$

सभी गुणांक 5 से विभाज्य हैं सिवाय उनके जो घातों के संगत हैं 1, z⁵, z¹⁰,… और इसके अलावा उन मामलों में गुणांक का शेष 1 सापेक्ष 5 है। इस प्रकार,

$${\frac {1}{(1-z)^{5}}}\equiv {\frac {1}{1-z^{5}}}{\pmod {5}}\,,$$
 या समकक्ष

$${\frac {1-z^{5}}{(1-z)^{5}}}\equiv 1{\pmod {5}}\,.$$

यह इस प्रकार है कि

$${\frac {\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{10}\right)\left(1-z^{15}\right)\cdots }{\left((1-z)\left(1-z^{2}\right)\left(1-z^{3}\right)\cdots \right)^{5}}}\equiv 1{\pmod {5}}\,.$$

के अनंत उत्पाद विस्तार का उपयोग करना

$$z\cdot {\frac {\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{10}\right)\cdots }{\left(1-z\right)\left(1-z^{2}\right)\cdots }}=z\cdot \left((1-z)\left(1-z^{2}\right)\cdots \right)^{4}\times {\frac {\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{10}\right)\cdots }{\left(\left(1-z\right)\left(1-z^{2}\right)\cdots \right)^{5}}}\,,$$

यह दिखाया जा सकता है कि का गुणांक z^{5m + 5} में z · ((1 − z)(1 − z²)⋯)⁴ सभी के लिए 5 से विभाज्य है m. अंत में, चूंकि

$${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }p(n-1)z^{n}&={\frac {z}{(1-z)\left(1-z^{2}\right)\cdots }}\\[6px]&=z\cdot {\frac {\left(1-z^{5}\right)\left(1-z^{10}\right)\cdots }{(1-z)\left(1-z^{2}\right)\cdots }}\times \left(1+z^{5}+z^{10}+\cdots \right)\left(1+z^{10}+z^{20}+\cdots \right)\cdots \end{aligned}}$$

हम के गुणांकों की बराबरी कर सकते हैं z^{5m + 5} पिछले समीकरणों में हमारे वांछित सर्वांगसमता परिणाम को सिद्ध करने के लिए, अर्थात् p(5m + 4) ≡ 0 (mod 5) सभी के लिए m ≥ 0.

जनरेटिंग फ़ंक्शंस का रूपांतरण

जनरेटिंग फ़ंक्शंस के कई ट्रांसफ़ॉर्मेशन हैं जो अन्य एप्लिकेशन प्रदान करते हैं (जेनरेटिंग फ़ंक्शन ट्रांसफ़ॉर्मेशन देखें)। एक अनुक्रम के सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन (ओजीएफ) का रूपांतरण एक अनुक्रम के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन को दूसरे को एन्यूमरेट करने वाले जनरेटिंग फ़ंक्शन में परिवर्तित करने की एक विधि प्रदान करता है। इन परिवर्तनों में आम तौर पर एक अनुक्रम ओजीएफ से जुड़े अभिन्न सूत्र शामिल होते हैं (फ़ंक्शन ट्रांसफ़ॉर्मेशन # इंटीग्रल ट्रांसफ़ॉर्मेशन उत्पन्न करना देखें) या इन फ़ंक्शंस के उच्च-क्रम डेरिवेटिव्स पर भारित रकम (फ़ंक्शन ट्रांसफ़ॉर्मेशन # डेरिवेटिव ट्रांसफ़ॉर्मेशन जनरेट करना देखें)।

जब हम राशियों के लिए एक जनरेटिंग फ़ंक्शन को व्यक्त करना चाहते हैं, तो फ़ंक्शन ट्रांसफ़ॉर्मेशन उत्पन्न करना चलन में आ सकता है

$$s_{n}:=\sum _{m=0}^{n}{\binom {n}{m}}C_{n,m}a_{m},$$

के रूप में S(z) = g(z) A(f(z)) मूल अनुक्रम जनरेटिंग फ़ंक्शन को शामिल करना। उदाहरण के लिए, यदि योग हैं

$$s_{n}:=\sum _{k=0}^{\infty }{\binom {n+k}{m+2k}}a_{k}\,$$

तब संशोधित योग भावों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है

$$S(z)={\frac {z^{m}}{(1-z)^{m+1}}}A\left({\frac {z}{(1-z)^{2}}}\right)$$

(द्विपद रूपांतरण और स्टर्लिंग रूपांतरण भी देखें)।

अनुक्रम के ओजीएफ के बीच परिवर्तित करने के लिए अभिन्न सूत्र भी हैं, F(z), और इसका एक्सपोनेंशियल जनरेटिंग फंक्शन, या EGF, F̂(z), और इसके विपरीत द्वारा दिया गया

$${\begin{aligned}F(z)&=\int _{0}^{\infty }{\hat {F}}(tz)e^{-t}\,dt\,,\\[4px]{\hat {F}}(z)&={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }F\left(ze^{-i\vartheta }\right)e^{e^{i\vartheta }}\,d\vartheta \,,\end{aligned}}$$

बशर्ते कि ये इंटीग्रल उचित मूल्यों के लिए अभिसरण करें z.

अन्य अनुप्रयोग

जनरेटिंग फ़ंक्शंस का उपयोग इसके लिए किया जाता है:

• पुनरावृत्ति संबंध में दिए गए अनुक्रम के लिए बंद सूत्र खोजें। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि संख्या # जनरेटिंग फ़ंक्शन पर विचार करें।
• अनुक्रमों के लिए पुनरावर्तन संबंध खोजें—एक जनक फलन का रूप पुनरावृत्ति सूत्र का सुझाव दे सकता है।
• अनुक्रमों के बीच संबंधों का पता लगाएं - यदि दो अनुक्रमों के जनक कार्यों का एक समान रूप है, तो अनुक्रम स्वयं संबंधित हो सकते हैं।
• अनुक्रमों के स्पर्शोन्मुख व्यवहार का अन्वेषण करें।
• अनुक्रमों से संबंधित सर्वसमिका सिद्ध करें।
• साहचर्य में गणना की समस्याओं को हल करें और उनके समाधान को एन्कोडिंग करें। रूक बहुपद कॉम्बिनेटरिक्स में एक आवेदन का एक उदाहरण है।
• अनंत रकम का मूल्यांकन करें।

अन्य जनरेटिंग फ़ंक्शंस

उदाहरण

अधिक जटिल जनरेटिंग फ़ंक्शंस द्वारा उत्पन्न बहुपद अनुक्रमों के उदाहरणों में शामिल हैं:

• अपीलीय बहुपद
• चेबिशेव बहुपद
• अंतर बहुपद
• सामान्यीकृत अपेल बहुपद
• क्यू-अंतर बहुपद|q-अंतर बहुपद

अधिक जटिल जनरेटिंग फ़ंक्शंस द्वारा उत्पन्न अन्य क्रम:

• डबल घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन। उदाहरण के लिए: Aitken's Array: Triangle of Numbers
• जनरेटिंग फ़ंक्शंस और विकर्ण जनरेटिंग फ़ंक्शंस के हैडमार्ड उत्पाद, और उनके संगत जनरेटिंग फ़ंक्शन ट्रांसफ़ॉर्मेशन # हैडमार्ड उत्पाद और विकर्ण जनरेटिंग फ़ंक्शंस

कनवल्शन बहुपद

नुथ का आलेख जिसका शीर्षक कनवॉल्यूशन पॉलीनॉमियल्स है कनवल्शन बहुपद अनुक्रमों के एक सामान्यीकृत वर्ग को फॉर्म के उनके विशेष जनरेटिंग फ़ंक्शंस द्वारा परिभाषित करता है

$$F(z)^{x}=\exp {\bigl (}x\log F(z){\bigr )}=\sum _{n=0}^{\infty }f_{n}(x)z^{n},$$

कुछ विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए F एक शक्ति श्रृंखला विस्तार के साथ जैसे कि F(0) = 1.

हम कहते हैं कि बहुपदों का एक परिवार, f₀, f₁, f₂,…, एक दृढ़ संकल्प परिवार बनाता है if deg f_n ≤ n और यदि निम्नलिखित दृढ़ संकल्प की स्थिति सभी के लिए है x, y और सभी के लिए n ≥ 0:

$$f_{n}(x+y)=f_{n}(x)f_{0}(y)+f_{n-1}(x)f_{1}(y)+\cdots +f_{1}(x)f_{n-1}(y)+f_{0}(x)f_{n}(y).$$

हम देखते हैं कि गैर-समान रूप से शून्य कनवल्शन परिवारों के लिए, यह परिभाषा आवश्यकता के बराबर है कि अनुक्रम में ऊपर दिए गए पहले रूप का एक सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन हो।

उपरोक्त अंकन में परिभाषित दृढ़ बहुपदों के अनुक्रम में निम्नलिखित गुण हैं:

• क्रम n! · f_n(x) द्विपद प्रकार का है
• अनुक्रम के विशेष मूल्यों में शामिल हैं f_n(1) = [zⁿ] F(z) और f_n(0) = δ_n,0, और
• मनमाना (निश्चित) के लिए x, y, t ∈ ℂ, ये बहुपद रूप के कनवल्शन फ़ार्मुलों को संतुष्ट करते हैं

$${\begin{aligned}f_{n}(x+y)&=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)f_{n-k}(y)\\f_{n}(2x)&=\sum _{k=0}^{n}f_{k}(x)f_{n-k}(x)\\xnf_{n}(x+y)&=(x+y)\sum _{k=0}^{n}kf_{k}(x)f_{n-k}(y)\\{\frac {(x+y)f_{n}(x+y+tn)}{x+y+tn}}&=\sum _{k=0}^{n}{\frac {xf_{k}(x+tk)}{x+tk}}{\frac {yf_{n-k}(y+t(n-k))}{y+t(n-k)}}.\end{aligned}}$$

एक निश्चित गैर-शून्य पैरामीटर के लिए t ∈ ℂ, हमने दिए गए इन दृढ़ बहुपद अनुक्रमों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शंस को संशोधित किया है

$${\frac {zF_{n}(x+tn)}{(x+tn)}}=\left[z^{n}\right]{\mathcal {F}}_{t}(z)^{x},$$

कहाँ 𝓕_t(z) परोक्ष रूप से रूप के एक कार्यात्मक समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है 𝓕_t(z) = F(x𝓕_t(z)^t). इसके अलावा, हम मैट्रिक्स विधियों (संदर्भ के अनुसार) का उपयोग यह साबित करने के लिए कर सकते हैं कि दो दृढ़ बहुपद अनुक्रम दिए गए हैं, ⟨ f_n(x) ⟩ और ⟨ g_n(x) ⟩, संबंधित संबंधित उत्पादन कार्यों के साथ, F(z)^x और G(z)^x, फिर मनमानी के लिए t हमारी पहचान है

$$\left[z^{n}\right]\left(G(z)F\left(zG(z)^{t}\right)\right)^{x}=\sum _{k=0}^{n}F_{k}(x)G_{n-k}(x+tk).$$

दृढ़ बहुपद अनुक्रमों के उदाहरणों में द्विपद शक्ति श्रृंखला शामिल है, 𝓑_t(z) = 1 + z𝓑_t(z)^t, तथाकथित पेड़ बहुपद, बेल नंबर, B(n), लैगुएरे बहुपद, और स्टर्लिंग बहुपद।

विशेष जनरेटिंग फ़ंक्शंस की तालिकाएँ

विशेष गणितीय श्रृंखला की प्रारंभिक सूची मिली है गणितीय श्रृंखला की सूची। कंक्रीट गणित की धारा 5.4 और 7.4 में और विल्फ की जनरेटिंग फ़ंक्शनोलॉजी की धारा 2.5 में कई उपयोगी और विशेष अनुक्रम उत्पन्न करने वाले कार्य पाए जाते हैं। नोट के अन्य विशेष जनरेटिंग फ़ंक्शंस में अगली तालिका में प्रविष्टियाँ शामिल हैं, जो किसी भी तरह से पूर्ण नहीं हैं।

Formal power series	Generating-function formula	Notes
$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {m+n}{n}}\left(H_{n+m}-H_{m}\right)z^{n}$	${\frac {1}{(1-z)^{m+1}}}\ln {\frac {1}{1-z}}$	$H_{n}$ is a first-order harmonic number
$\sum _{n=0}^{\infty }B_{n}{\frac {z^{n}}{n!}}$	${\frac {z}{e^{z}-1}}$	$B_{n}$ is a Bernoulli number
$\sum _{n=0}^{\infty }F_{mn}z^{n}$	${\frac {F_{m}z}{1-(F_{m-1}+F_{m+1})z+(-1)^{m}z^{2}}}$	$F_{n}$ is a Fibonacci number and $m\in \mathbb {Z} ^{+}$
$\sum _{n=0}^{\infty }\left\{{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\}z^{n}$	$(z^{-1})^{\overline {-m}}={\frac {z^{m}}{(1-z)(1-2z)\cdots (1-mz)}}$	$x^{\overline {n}}$ denotes the rising factorial, or Pochhammer symbol and some integer $m\geq 0$
$\sum _{n=0}^{\infty }\left[{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right]z^{n}$	$z^{\overline {m}}=z(z+1)\cdots (z+m-1)$
$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}4^{n}(4^{n}-2)B_{2n}z^{2n}}{(2n)\cdot (2n)!}}$	$\ln {\frac {\tan(z)}{z}}$
$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1/2)^{\overline {n}}z^{2n}}{(2n+1)\cdot n!}}$	$z^{-1}\arcsin(z)$
$\sum _{n=0}^{\infty }H_{n}^{(s)}z^{n}$	${\frac {\operatorname {Li} _{s}(z)}{1-z}}$	$\operatorname {Li} _{s}(z)$ is the polylogarithm function and $H_{n}^{(s)}$ is a generalized harmonic number for $\Re (s)>1$
$\sum _{n=0}^{\infty }n^{m}z^{n}$	$\sum _{0\leq j\leq m}\left\{{\begin{matrix}m\\j\end{matrix}}\right\}{\frac {j!\cdot z^{j}}{(1-z)^{j+1}}}$	$\left\{{\begin{matrix}n\\m\end{matrix}}\right\}$ is a Stirling number of the second kind and where the individual terms in the expansion satisfy ${\frac {z^{i}}{(1-z)^{i+1}}}=\sum _{k=0}^{i}{\binom {i}{k}}{\frac {(-1)^{k-i}}{(1-z)^{k+1}}}$
$\sum _{k<n}{\binom {n-k}{k}}{\frac {n}{n-k}}z^{k}$	$\left({\frac {1+{\sqrt {1+4z}}}{2}}\right)^{n}+\left({\frac {1-{\sqrt {1+4z}}}{2}}\right)^{n}$
$\sum _{n_{1},\ldots ,n_{m}\geq 0}\min(n_{1},\ldots ,n_{m})z_{1}^{n_{1}}\cdots z_{m}^{n_{m}}$	${\frac {z_{1}\cdots z_{m}}{(1-z_{1})\cdots (1-z_{m})(1-z_{1}\cdots z_{m})}}$	The two-variable case is given by $M(w,z):=\sum _{m,n\geq 0}\min(m,n)w^{m}z^{n}={\frac {wz}{(1-w)(1-z)(1-wz)}}$
$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {s}{n}}z^{n}$	$(1+z)^{s}$	$s\in \mathbb {C}$
$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}z^{n}$	${\frac {z^{k}}{(1-z)^{k+1}}}$	$k\in \mathbb {N}$
$\sum _{n=1}^{\infty }\log {(n)}z^{n}$	$\left.-{\frac {\partial }{\partial s}}\operatorname {{Li}_{s}(z)} \right|_{s=0}$

इतिहास

जॉर्ज पोल्या गणित और प्रशंसनीय तर्क में लिखते हैं:

नेम जनरेटिंग फंक्शन लाप्लास के कारण है। फिर भी, इसे कोई नाम दिए बिना, यूलर ने लाप्लास [..] से बहुत पहले कार्यों को उत्पन्न करने के उपकरण का उपयोग किया। उन्होंने इस गणितीय उपकरण को संयोजन विश्लेषण और संख्या सिद्धांत की कई समस्याओं पर लागू किया।

यह भी देखें

• क्षण-उत्पन्न करने वाला कार्य
• संभावना पैदा करने वाला कार्य
• समारोह परिवर्तन उत्पन्न करना
• स्टेनली की पारस्परिकता प्रमेय
• विभाजन के लिए आवेदन (संख्या सिद्धांत)
• संयुक्त सिद्धांत
• चक्रीय छलनी
• जेड-रूपांतरण
• उम्ब्रल कैलकुलस

संदर्भ

उद्धरण

• Aigner, Martin (2007). A Course in Enumeration. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 238. Springer. ISBN 978-3-540-39035-0.
• Doubilet, Peter; Rota, Gian-Carlo; Stanley, Richard (1972). "On the foundations of combinatorial theory. VI. The idea of generating function". Proceedings of the Sixth Berkeley Symposium on Mathematical Statistics and Probability. 2: 267–318. Zbl 0267.05002. Reprinted in Rota, Gian-Carlo (1975). "3. The idea of generating function". Finite Operator Calculus. With the collaboration of P. Doubilet, C. Greene, D. Kahaner, A. Odlyzko and R. Stanley. Academic Press. pp. 83–134. ISBN 0-12-596650-4. Zbl 0328.05007.
• Flajolet, Philippe; Sedgewick, Robert (2009). Analytic Combinatorics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89806-5. Zbl 1165.05001.
• Goulden, Ian P.; Jackson, David M. (2004). Combinatorial Enumeration. Dover Publications. ISBN 978-0486435978.
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1994). "Chapter 7: Generating Functions". Concrete Mathematics. A foundation for computer science (2nd ed.). Addison-Wesley. pp. 320–380. ISBN 0-201-55802-5. Zbl 0836.00001.
• Lando, Sergei K. (2003). Lectures on Generating Functions. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-3481-7.
• Wilf, Herbert S. (1994). Generatingfunctionology (2nd ed.). Academic Press. ISBN 0-12-751956-4. Zbl 0831.05001.

बाहरी संबंध

• "Introduction To Ordinary Generating Functions" by Mike Zabrocki, York University, Mathematics and Statistics
• "Generating function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Generating Functions, Power Indices and Coin Change at cut-the-knot
• "Generating Functions" by Ed Pegg Jr., Wolfram Demonstrations Project, 2007.