जनक फलन

This article is about generating functions in mathematics. For generating functions in classical mechanics, see Generating function (physics). For generators in computer programming, see Generator (computer programming). For the moment generating function in statistics, see Moment generating function.

गणित में, एक जनरेटिंग फ़ंक्शन संख्याओं के एक अनंत अनुक्रम को एन्कोड करने का एक तरीका है (a_n) उन्हें एक औपचारिक शक्ति श्रृंखला के गुणांक के रूप में मानकर। इस श्रृंखला को अनुक्रम का जनक फलन कहा जाता है। एक साधारण श्रृंखला के विपरीत, अभिसारी श्रृंखला के लिए औपचारिक शक्ति श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है: वास्तव में, जनरेटिंग फ़ंक्शन को वास्तव में एक फ़ंक्शन (गणित) के रूप में नहीं माना जाता है, और चर एक अनिश्चित (चर) रहता है। सामान्य रेखीय पुनरावर्तन समस्या को हल करने के लिए 1730 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा जनरेटिंग फ़ंक्शंस को पहली बार पेश किया गया था। संख्याओं के अनंत बहु-आयामी सरणियों के बारे में जानकारी को सांकेतिक करने के लिए, एक से अधिक अनिश्चित में औपचारिक शक्ति श्रृंखला का सामान्यीकरण किया जा सकता है।

विभिन्न प्रकार के जनरेटिंग फ़ंक्शंस हैं, जिनमें साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शंस, एक्सपोनेंशियल जेनरेटिंग फ़ंक्शंस, लैम्बर्ट सीरीज़, बेल सीरीज़ और डिरिचलेट सीरीज़ शामिल हैं; परिभाषाएँ और उदाहरण नीचे दिए गए हैं। सिद्धांत रूप में प्रत्येक अनुक्रम में प्रत्येक प्रकार का एक जनरेटिंग फ़ंक्शन होता है (सिवाय इसके कि लैम्बर्ट और डिरिचलेट श्रृंखला को 0 के बजाय 1 पर शुरू करने के लिए सूचकांक की आवश्यकता होती है), लेकिन जिस आसानी से उन्हें संभाला जा सकता है वह काफी भिन्न हो सकता है। विशेष जनक फलन, यदि कोई हो, जो किसी दिए गए संदर्भ में सबसे अधिक उपयोगी है, अनुक्रम की प्रकृति और संबोधित की जा रही समस्या के विवरण पर निर्भर करेगा।

औपचारिक श्रृंखला के लिए परिभाषित संचालन से जुड़े कुछ अभिव्यक्ति द्वारा उत्पन्न कार्यों को अक्सर बंद-रूप अभिव्यक्ति (श्रृंखला के बजाय) में व्यक्त किया जाता है। इन भावों को अनिश्चित के संदर्भ मेंx के संबंध में अंकगणितीय संचालन, भेदभाव शामिल हो सकता हैx और संरचना के साथ (यानी, प्रतिस्थापन) अन्य जनरेटिंग फ़ंक्शंस; चूंकि इन कार्यों को कार्यों के लिए भी परिभाषित किया गया है, परिणाम एक कार्य की तरह दिखता हैx. वास्तव में, बंद रूप की अभिव्यक्ति को अक्सर एक ऐसे फ़ंक्शन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जिसका मूल्यांकन (पर्याप्त रूप से छोटे) ठोस मूल्यों पर किया जा सकता है x, और जिसकी श्रृंखला विस्तार के रूप में औपचारिक श्रृंखला है; यह पदनाम उत्पन्न करने वाले कार्यों की व्याख्या करता है। हालाँकि, इस तरह की व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि एक गैर-संख्यात्मक मान के लिए प्रतिस्थापित किए जाने पर अभिसारी श्रृंखला देने के लिए औपचारिक श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है।x. साथ ही, वे सभी व्यंजक नहीं हैं जो के फलन के रूप में अर्थपूर्ण हैंx अर्थपूर्ण हैं क्योंकि अभिव्यक्तियाँ औपचारिक श्रृंखला को निर्दिष्ट करती हैं; उदाहरण के लिए, की नकारात्मक और भिन्नात्मक शक्तियाँx ऐसे कार्यों के उदाहरण हैं जिनके पास संबंधित औपचारिक शक्ति श्रृंखला नहीं है।

किसी फ़ंक्शन के डोमेन से कोडोमेन तक मैपिंग के औपचारिक अर्थ में जनरेटिंग फ़ंक्शंस फ़ंक्शंस नहीं हैं। जनरेटिंग फ़ंक्शंस को कभी-कभी जनरेटिंग सीरीज़ कहा जाता है, इसमें शब्दों की एक श्रृंखला को शब्द गुणांकों के अनुक्रम का जनक कहा जा सकता है।

परिभाषाएँ

A generating function is a device somewhat similar to a bag. Instead of carrying many little objects detachedly, which could be embarrassing, we put them all in a bag, and then we have only one object to carry, the bag.

— George Pólya, Mathematics and plausible reasoning (1954)

A generating function is a clothesline on which we hang up a sequence of numbers for display.

— Herbert Wilf, Generatingfunctionology (1994)

साधारण जनरेटिंग फंक्शन (OF)

एक अनुक्रम का सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन a_n है

$$G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.$$

जब बिना किसी योग्यता के जनन फलन शब्द का प्रयोग किया जाता है, तो इसे आमतौर पर सामान्य जनन फलन के रूप में लिया जाता है।

अगर a_n एक असतत यादृच्छिक चर का प्रायिकता द्रव्यमान कार्य है, तो इसके साधारण जनन फलन को प्रायिकता-उत्पन्न करने वाला फलन कहा जाता है।

साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शन को कई सूचकांकों के साथ सरणियों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी सरणी का सामान्य जनरेटिंग फ़ंक्शन a_m,n (कहाँ n और m प्राकृतिक संख्याएँ हैं) है

$$G(a_{m,n};x,y)=\sum _{m,n=0}^{\infty }a_{m,n}x^{m}y^{n}.$$

घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन (ईजीएफ)

किसी अनुक्रम का चरघातांकी जनन फलन a_n है

$$\operatorname {EG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{n!}}.$$

घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शंस आम तौर पर संयुक्त गणना समस्याओं के लिए साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शंस की तुलना में अधिक सुविधाजनक होते हैं जिनमें लेबल किए गए ऑब्जेक्ट शामिल होते हैं। एक्सपोनेंशियल जनरेटिंग फ़ंक्शंस का एक अन्य लाभ यह है कि वे रैखिक पुनरावृत्ति संबंधों को अंतर समीकरणों के दायरे में स्थानांतरित करने में उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, फाइबोनैचि अनुक्रम लें {f_n} जो रैखिक पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करता है f_n+2 = f_n+1 + f_n. संबंधित घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन का रूप है

$$\operatorname {EF} (x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f_{n}}{n!}}x^{n}$$

और इसके डेरिवेटिव को डिफरेंशियल इक्वेशन को संतुष्ट करने के लिए आसानी से दिखाया जा सकता है EF″(x) = EF′(x) + EF(x) उपरोक्त पुनरावृत्ति संबंध के साथ प्रत्यक्ष अनुरूप के रूप में। इस दृष्टि से, भाज्य शब्द n! डेरिवेटिव ऑपरेटर को सामान्य करने के लिए केवल एक काउंटर-टर्म है xⁿ.

पोइसन जनरेटिंग फंक्शन

एक अनुक्रम का पोइसन जनक फलन a_n है

$$\operatorname {PG} (a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-x}{\frac {x^{n}}{n!}}=e^{-x}\,\operatorname {EG} (a_{n};x).$$

लैम्बर्ट श्रृंखला

Main article: Lambert series

अनुक्रम की लैम्बर्ट श्रृंखला a_n है

$$\operatorname {LG} (a_{n};x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}{\frac {x^{n}}{1-x^{n}}}.$$

पावर श्रृंखला विस्तार में लैम्बर्ट श्रृंखला गुणांक

$$b_{n}:=[x^{n}]\operatorname {LG} (a_{n};x)$$

पूर्णांकों के लिए n ≥ 1 भाजक राशि से संबंधित हैं

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