G2 (गणित)

गणित में जी₂तीन सरल झूठ समूहों (एक जटिल रूप, एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप और एक विभाजित वास्तविक रूप) का नाम है, उनके झूठे बीजगणित ${\mathfrak {g}}_{2},$ साथ ही कुछ बीजगणितीय समूह। वे पाँच असाधारण सरल झूठ समूहों में से सबसे छोटे हैं। जी₂ रैंक 2 और आयाम 14 है। इसके दो मौलिक प्रतिनिधित्व हैं, आयाम 7 और 14 के साथ।

जी. का संक्षिप्त रूप₂ ऑक्टोनियन के ऑटोमोर्फिज्म समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है या, समतुल्य रूप से, SO(7) के उपसमूह के रूप में जो अपने 8-आयामी वास्तविक प्रतिनिधित्व spinor समूह प्रतिनिधित्व (एक स्पिन प्रतिनिधित्व) में किसी भी चुने हुए विशेष वेक्टर को संरक्षित करता है।

इतिहास

झूठ बीजगणित ${\mathfrak {g}}_{2}$, सबसे छोटा असाधारण सरल झूठ बीजगणित होने के नाते, इनमें से सबसे पहले सरल झूठ बीजगणित को वर्गीकृत करने के प्रयास में खोजा गया था। 23 मई, 1887 को, विल्हेम हत्या ने फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ) को एक पत्र लिखा था जिसमें कहा गया था कि उन्होंने एक 14-आयामी सरल झूठ बीजगणित पाया है, जिसे अब हम कहते हैं ${\mathfrak {g}}_{2}$. 1893 में, एली कार्टन ने एक खुले सेट का वर्णन करते हुए एक नोट प्रकाशित किया $\mathbb {C} ^{5}$ एक 2-आयामी वितरण (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) से लैस है - जो स्पर्शरेखा स्थान के 2-आयामी उप-स्थानों का एक सुचारू रूप से भिन्न क्षेत्र है - जिसके लिए लाई बीजगणित ${\mathfrak {g}}_{2}$ अनंत समरूपता के रूप में प्रकट होता है। उसी वर्ष, उसी पत्रिका में, एंगेल ने भी यही बात देखी। बाद में यह पता चला कि 2-आयामी वितरण एक गेंद को दूसरी गेंद पर लुढ़कने से निकटता से संबंधित है। रोलिंग बॉल के कॉन्फ़िगरेशन का स्थान 5-आयामी है, जिसमें 2-आयामी वितरण होता है जो गेंद की गति का वर्णन करता है जहां यह फिसले या मुड़े बिना रोल करता है। 1900 में, एंगेल ने पाया कि 7-आयामी जटिल सदिश स्थान पर एक सामान्य एंटीसिमेट्रिक ट्रिलिनियर फॉर्म (या 3-फॉर्म) एक समूह आइसोमोर्फिक द्वारा जी के जटिल रूप में संरक्षित है।₂. 1908 में कार्टन ने उल्लेख किया कि ऑक्टोनियंस का ऑटोमोर्फिज़्म समूह एक 14-आयामी सरल झूठ समूह है। 1914 में उन्होंने कहा कि यह G का सघन वास्तविक रूप है₂. पुरानी किताबों और पत्रों में, जी₂ कभी-कभी ई द्वारा चिह्नित किया जाता है₂.

वास्तविक रूप

इस रूट सिस्टम से जुड़े 3 सरल रियल लाई बीजगणित हैं:

• जटिल लाई बीजगणित जी का अंतर्निहित वास्तविक लाई बीजगणित₂ इसका आयाम 28 है। इसमें बाहरी ऑटोमोर्फिज्म के रूप में जटिल संयुग्मन है और यह बस जुड़ा हुआ है। इसके संबद्ध समूह का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह G का कॉम्पैक्ट रूप है₂.
• सघन रूप का झूठ बीजगणित 14-आयामी है। संबद्ध लाई समूह का कोई बाहरी ऑटोमोर्फिज्म नहीं है, कोई केंद्र नहीं है, और यह केवल जुड़ा हुआ है और कॉम्पैक्ट है।
• गैर-कॉम्पैक्ट (विभाजित) रूप के लाई बीजगणित का आयाम 14 है। संबद्ध सरल लाई समूह में क्रम 2 का मौलिक समूह है और इसका बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह तुच्छ समूह है। इसका अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह है SU(2) × SU(2)/(−1,−1). इसमें एक गैर-बीजीय दोहरा आवरण है जो बस जुड़ा हुआ है।

बीजगणित

डाइकिन आरेख और कार्टन मैट्रिक्स

जी के लिए डायनकिन आरेख₂ is given by जी 2 का डायकिन आरेख.

इसका कार्टन मैट्रिक्स है:

$\left[{\begin{array}{rr}2&-3\\-1&2\end{array}}\right]$

जी की जड़ें₂

File:Root system G2.svg The 12 vector root system of G2 in 2 dimensions.

File:3-cube t1.svg The A2 Coxeter plane projection of the 12 vertices of the cuboctahedron contain the same 2D vector arrangement.

File:G2Coxeter.svg Graph of G2 as a subgroup of F4 and E8 projected into the Coxeter plane

के लिए सरल जड़ों का एक सेट File:Dyn2-node n1.pngFile:Dyn2-6a.pngFile:Dyn2-node n2.png ऊपर कार्टन मैट्रिक्स से सीधे पढ़ा जा सकता है। ये (2,−3) और (−1, 2) हैं, हालांकि उनके द्वारा फैलाए गए पूर्णांक जाली ऊपर चित्रित नहीं हैं (स्पष्ट कारण से: विमान पर हेक्सागोनल जाली पूर्णांक वैक्टर द्वारा उत्पन्न नहीं की जा सकती)। उपरोक्त आरेख एक अलग जोड़ी जड़ों से प्राप्त किया गया है: $\alpha =\left({\sqrt {2}},0\right)$ और ${\textstyle \beta =\left({\sqrt {2}}\cos {\frac {5\pi }{6}},\sin {\frac {5\pi }{6}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {6}},1\right)}$. शेष धनात्मक जड़ें | (सकारात्मक) जड़ें A = α + β, B = 3α + β, α + A = 2α + β, और A + B = 3α + 2β हैं। यद्यपि वे एक 2-आयामी स्थान को रैखिक रूप से फैलाते हैं, जैसा कि खींचा गया है, यह तीन-आयामी अंतरिक्ष के 2-आयामी उप-स्थान में सदिश स्थल के रूप में विचार करने के लिए अधिक सममित है। इस पहचान में α e₁−e₂, β से −e₁ + 2e₂−e₃, A से e₂−e₃ और इसी तरह से मेल खाता है। यूक्लिडियन निर्देशांक में ये वैक्टर इस प्रकार दिखते हैं:

(1,−1,0), (−1,1,0) (1,0,−1), (−1,0,1) (0,1,−1), (0,−1,1)

(2,−1,−1), (−2,1,1) (1,−2,1), (−1,2,−1) (1,1,−2), (−1,−1,2)

सरल जड़ों का संगत सेट है:

e₁−e₂ = (1,−1,0), और −e₁+2e₂−e₃ = (−1,2,−1)

नोट: α और A मिलकर Root_system#An|A₂ के लिए रूट सिस्टम समान बनाते हैं, जबकि β और B द्वारा गठित सिस्टम Root_system#An|A₂ के लिए आइसोमॉर्फिक है।

वेइल/कॉक्सेटर समूह

इसका वेइल समूह / कॉक्सेटर समूह समूह $G=W(G_{}$