अवकलज

This article is about the term as used in calculus. For a less technical overview of the subject, see differential calculus. For other uses, see अवकलज (disambiguation).

File:Tangent to a curve.svg

एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। स्पर्शरेखा रेखा का ढलान चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के एकरूप है।

गणित में, एक वास्तविक चर के एक कार्य का व्युत्पन्न एक कार्य (निवेश मूल्य) के अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में कार्य मूल्य (प्रक्षेपण मूल्य) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। व्युत्पन्न गणना का एक मूलभूत उपकरण है। उदाहरण के लिए, समय के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का वेग है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है।

किसी सुचयनित निवेश मूल्य पर एकल चर के कार्य का व्युत्पन्न, जब वह उपस्थित होता है, उस बिंदु पर कार्य के लेखाचित्र पर स्पर्शरेखा का ढलान होता है। स्पर्श रेखा उस निवेश मूल्य के पास कार्य का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को प्रायः परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है।

व्युत्पन्न को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए सामूल्य्यीकृत किया जा सकता है। इस सामूल्य्यीकरण में, व्युत्पन्न को एक रैखिक परिवर्तन के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका लेखाचित्र (उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के लेखाचित्र के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है। जैकबियन आव्यूह (गणित) है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी गणना स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए, जेकोबियन आव्यूह प्रवणता संवाहक में कम हो जाता है।

व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विवेक कहा जाता है। विपत्ति प्रक्रिया को 'विरोधी विशिष्टीकरण ' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।

परिभाषा

एक वास्तविक चर का एक कार्य f(x) एक बिंदु पर अवकलनीय है a किसी कार्य के अपने अधि क्षेत्र का, यदि उसके अधि क्षेत्र में एक खुला अंतराल है I युक्त a, और सीमा (गणित)

$L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

उपस्थित। इसका उद्देश्य है कि, हर सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $\varepsilon$ (यहां तक ​​कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या उपस्थित है $\delta$ ऐसा है कि, हर के लिए h ऐसा है कि $|h|<\delta$ तथा $h\neq 0$ फिर $f(a+h)$ परिभाषित किया गया है, और

$\left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,$

जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मूल्य दर्शाती हैं (देखें (ε, δ)-सीमा की परिभाषा)।

यदि समारोह f पर अवकलनीय है a, वह अगर सीमा L उपस्थित है, तो इस सीमा को व्युत्पन्न कहा जाता है f पर a, और निरूपित $f'(a)$ (के रूप में पढ़ें f के प्रमुख a) या ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ (के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें f इसके संबंध में x पर a,dy द्वारा dx पर a, या dy ऊपर dx पर a); देखना § प्रतीकांकन (सूचना ), नीचे।

निरंतरता और भिन्नता

File:Right-continuous.svg

इस कार्य का चिह्नित बिंदु पर कोई व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि कार्य वहां निरंतर नहीं है (विशेष रूप से, इसमें कूदना बंद करो है)।

यदि f पर अवकलनीय है a, फिर f पर भी निरंतर कार्य करना चाहिए a. एक उदाहरण के रूप में, एक बिंदु चुनें a और जाने f चरण कार्य बनें जो सभी के लिए मूल्य 1 लौटाता है x से कम a, और सभी के लिए भिन्न मूल्य 10 लौटाता है x इससे बड़ा या इसके एकरूप a. f पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता a. यदि h नकारात्मक है, तो a + h कदम के निचले हिस्से पर है, इसलिए छेदक रेखा से a प्रति a + h बहुत खड़ी है, और रूप में h शून्य की शैली में जाता है ढलान अनंत की शैली जाता है। यदि h सकारात्मक है, तो a + h सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: से छेदक रेखा a प्रति a + h ढलान शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा उपस्थित नहीं होती है।

File:Absolute value.svg

निरपेक्ष मूल्य फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है x = 0 चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं शैली से उसी मूल्य तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं शैली से करते हैं।

यद्यपि, समान ही एक बिंदु पर एक कार्य निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, द्वारा दिया गया निरपेक्ष मूल्य कार्य f(x) = |x| पर निरंतर है x = 0, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं �