एबेलियन समूह

For संबंधित शब्द "एबेलियन रैखिक समूह" के पुरातन उपयोग द्वारा वर्णित समूह, see Symplectic group.

गणित में, एक एबेलियन समूह, जिसे कम्यूटेटिव समूह भी कहा जाता है, एक ऐसा समूह (गणित) होता है जिसमें दो समूह तत्वों पर समूह संक्रिया को लागू करने का परिणाम उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें वे लिखे गए हैं। अर्थात्, समूह संक्रिया क्रमविनिमेय है। एक ऑपरेशन के रूप में जोड़ के साथ, पूर्णांक और वास्तविक संख्या एबेलियन समूह बनाते हैं, और एक एबेलियन समूह की अवधारणा को इन उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। एबेलियन समूहों का नाम 19वीं सदी के शुरुआती गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है।

एक एबेलियन समूह की अवधारणा कई मौलिक बीजगणितीय संरचनाओं को रेखांकित करती है, जैसे फ़ील्ड्स, वलय्स, वेक्टर रिक्त स्थान और बीजगणित। एबेलियन समूहों का सिद्धांत आम तौर पर उनके गैर-अबेलियन समकक्षों की तुलना में सरल होता है, और परिमित एबेलियन समूहों को बहुत अच्छी तरह से समझा जाता है और पूरी तरह से वर्गीकृत किया जाता है।

परिभाषा

एक एबेलियन समूह एक समुच्चय $A$ है, जिसमें ऑपरेशन ⋅ है जो ए के किसी भी दो तत्वों $a$ और $b$ को $A$ के दूसरे तत्व बनाने के लिए जोड़ता है, जिसे $a\cdot b$ कहा जाता है। प्रतीक ⋅ ठोस रूप से दिए गए ऑपरेशन के लिए एक सामान्य प्लेसहोल्डर है। एक एबेलियन समूह के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, सेट और ऑपरेशन, $(A,\cdot )$ को चार आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए, जिसे एबेलियन समूह स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाता है (कुछ लेखकों ने सिद्धांतों में कुछ गुण शामिल किए हैं जो एक ऑपरेशन की परिभाषा से संबंधित हैं: अर्थात। $A$ के तत्वों की किसी भी आदेशित जोड़ी के लिए ऑपरेशन परिभाषित किया गया है, परिणाम अच्छी तरह परिभाषित है, और परिणाम A से संबंधित है):

संबद्धता

सभी के लिए $a$, $b$, तथा $c$ में $A$, समीकरण $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ रखती है।

तत्समक अवयव

एक तत्व मौजूद है $e$ में $A$, जैसे कि सभी तत्वों के लिए $a$ में $A$, समीकरण $e\cdot a=a\cdot e=a$ रखती है।

व्युत्क्रम तत्व

प्रत्येक के लिए $a$ में $A$ एक तत्व मौजूद है $b$ में $A$ ऐसा है कि $a\cdot b=b\cdot a=e$, कहाँ पे $e$ पहचान तत्व है।

क्रमविनिमेयता

सभी के लिए $a$, $b$ में $A$, $a\cdot b=b\cdot a$.

एक समूह जिसमें समूह संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है, एक गैर-अबेलियन समूह या गैर-क्रमविनिमेय समूह कहलाता है।

तथ्य

अंकन

See also: योगात्मक समूह and गुणात्मक समूह

एबेलियन समूहों के लिए दो मुख्य सांकेतिक परिपाटियां हैं - योगात्मक और गुणक।

परिपाटी	ऑपरेशन	समानता	पॉवर्स	विपर्यय
योग	$x+y$	0	$nx$	$-x$
गुणन	$x\cdot y$ or $xy$	1	$x^{n}$	$x^{-1}$

सामान्य तौर पर, गुणक संकेतन समूहों के लिए सामान्य संकेतन है, जबकि योगात्मक संकेतन मॉड्यूल और वलयों के लिए सामान्य संकेतन है। योज्य संकेतन का उपयोग यह दावा करने के लिए भी किया जा सकता है कि एक विशेष समूह एबेलियन है, तब भी जब एबेलियन और गैर-एबेलियन दोनों समूहों पर विचार किया जाता है, कुछ उल्लेखनीय अपवाद निकट-वलय और आंशिक रूप से आदेशित समूह हैं। ऐसे स्थान हैं जहां एक संक्रिया को गैर-अबेलियन होने पर भी योगात्मक रूप से लिखा जाता है।

गुणन तालिका

यह सत्यापित करने के लिए कि एक परिमित समूह एबेलियन है, एक टेबल (मैट्रिक्स) - जिसे केली टेबल के रूप में जाना जाता है - को गुणन तालिका के समान तरीके से बनाया जा सकता है। यदि समूह है $G=\{g_{1}=e,g_{2},\dots ,g_{n}\}$ नीचे ऑपरेशन $\cdot$, $(i,j)$-th इस तालिका की प्रविष्टि में उत्पाद शामिल है $g_{i}\cdot g_{j}$.

समूह अबेलियन है यदि और केवल यदि यह तालिका मुख्य विकर्ण के बारे में सममित है। यह सच है क्योंकि समूह एबेलियन है

समूह एबेलियन है अगर और केवल अगर यह तालिका मुख्य विकर्ण के बारे में सममित है। यह सच है क्योंकि समूह एबेलियन है अगर और केवल अगर $g_{i}\cdot g_{j}=g_{j}\cdot g_{i}$ सभी के लिए $i,j=1,...,n$, जो iff है $(i,j)$ तालिका की प्रविष्टि के बराबर है $(j,i)$ सभी के लिए प्रवेश $i,j=1,...,n$, यानी तालिका मुख्य विकर्ण के बारे में सममित है।

उदाहरण

• पूर्णांकों और संक्रिया योग के लिए $+$, निरूपित $(\mathbb {Z} ,+)$, ऑपरेशन + तीसरे पूर्णांक बनाने के लिए किन्हीं दो पूर्णांकों को जोड़ता है, जोड़ साहचर्य है, शून्य योगात्मक पहचान है, प्रत्येक पूर्णांक $n$ एक योगात्मक व्युत्क्रम है, $-n$, और इसके बाद से जोड़ क्रमविनिमेय है $n+m=m+n$ किन्हीं दो पूर्णांकों के लिए $m$ तथा $n$.
• हर चक्रीय समूह $G$ एबेलियन है, क्योंकि अगर $x$, $y$