अनुरूप समूह

गणित में, एक आंतरिक उत्पाद स्थान का अनुरूप समूह अंतरिक्ष से परिवर्तनों का समूह (गणित) है जो कोणों को संरक्षित करता है। अधिक औपचारिक रूप से, यह परिवर्तनों का समूह है जो अंतरिक्ष के अनुरूप ज्यामिति को संरक्षित करता है।

कई विशिष्ट अनुरूप समूह विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं:

• अनुरूप ऑर्थोगोनल समूह। यदि V द्विघात रूप Q के साथ एक सदिश स्थान है, तो अनुरूप ऑर्थोगोनल समूह CO(V, Q) V का रैखिक रूपांतरण T का समूह है जिसके लिए एक अदिश λ मौजूद है जैसे V में सभी x के लिए

  $Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)$

एक निश्चित द्विघात रूप के लिए, अनुरूप ऑर्थोगोनल समूह, ऑर्थोगोनल समूह गुणा होमोथेटिक परिवर्तन के समूह के बराबर होता है।

• गोले का अनुरूप समूह व्युत्क्रम ज्यामिति द्वारा उत्पन्न होता है। इस समूह को मोबियस समूह के नाम से भी जाना जाता है।
• यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ई^एन, n > 2, अनुरूप समूह अति क्षेत्र में व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न होता है।
• छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ई^p,q, अनुरूप समूह है Conf(p, q) ≃ O(p + 1, q + 1) / Z₂.

सभी अनुरूप समूह झूठ समूह हैं।

कोण विश्लेषण

यूक्लिडियन ज्यामिति में मानक वृत्ताकार कोण की विशेषता होने की उम्मीद की जा सकती है, लेकिन छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अतिशयोक्तिपूर्ण कोण भी होता है। विशेष आपेक्षिकता के अध्ययन में विभिन्न फ्रेम ऑफ रेफरेंस, एक रेस्ट फ्रेम के संबंध में अलग-अलग वेग के लिए, तेज़ी , एक हाइपरबॉलिक कोण से संबंधित होते हैं। लोरेंत्ज़ बूस्ट का वर्णन करने का एक तरीका अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन के रूप में है जो रैपिडिटीज़ के बीच अंतर कोण को संरक्षित करता है। इस प्रकार, वे अतिशयोक्तिपूर्ण कोण के संबंध में अनुरूप परिवर्तन #वैकल्पिक कोण हैं।

उपयुक्त अनुरूप समूह उत्पन्न करने का एक तरीका सामान्य जटिल विमान के अनुरूप समूह के रूप में मोबियस समूह के कदमों की नकल करना है। छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति वैकल्पिक जटिल विमानों द्वारा समर्थित है जहां अंक विभाजित-जटिल संख्याएं या दोहरी संख्याएं हैं। जिस तरह मोबियस समूह को पूर्ण विवरण के लिए रीमैन क्षेत्र, एक कॉम्पैक्ट जगह की आवश्यकता होती है, उसी तरह वैकल्पिक जटिल विमानों को अनुरूप मानचित्रण के पूर्ण विवरण के लिए कॉम्पैक्टिफिकेशन की आवश्यकता होती है। फिर भी, प्रत्येक मामले में अनुरूप समूह उपयुक्त विमान पर रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा दिया जाता है।

गणितीय परिभाषा

एक (स्यूडो-रीमैनियन कई गुना -) रिमैनियन मैनिफोल्ड दिया गया $M$ अनुरूप वर्ग के साथ $[g]$, अनुरूप समूह ${\text{Conf}}(M)$ अनुरूप नक्शों का समूह है $M$ खुद को।

अधिक संक्षेप में, यह कोण-संरक्षण वाले चिकने नक्शों का समूह है $M$ खुद को। हालांकि, जब के हस्ताक्षर $[g]$ निश्चित नहीं है, 'कोण' एक अति-कोण है जो संभावित रूप से अनंत है।

छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए, परिभाषा थोड़ी अलग है। ${\text{Conf}}(p,q)$ छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष के अनुरूप संघनन से उत्पन्न होने वाली कई गुना अनुरूप समूह है $\mathbf {E} ^{p,q}$ (कभी-कभी इसके साथ पहचाना जाता है $\mathbb {R} ^{p,q}$ ऑर्थोनॉर्मल आधार के चुनाव के बाद)। इस अनुरूप संघनन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है $S^{p}\times S^{q}$, में अशक्त बिंदुओं के एक सबमेनफोल्ड के रूप में माना जाता है $\mathbb {R} ^{p+1,q+1}$ समावेशन द्वारा $(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\mapsto X=(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )$ (कहाँ $X$ एकल स्पेसटाइम वेक्टर के रूप में माना जाता है)। अनुरूप कॉम्पैक्टिफिकेशन तब है $S^{p}\times S^{q}$ पहचान किए गए 'एंटीपोडल पॉइंट्स' के साथ। यह अंतरिक्ष को प्रोजेक्टिवाइज़ करने से होता है $\mathbb {R} ^{p+1,q+1}$. अगर $N^{p,q}$ अनुरूप संघनन है, तो ${\text{Conf}}(p,q):={\text{Conf}}(N^{p,q})$. विशेष रूप से, इस समूह में इनवर्सिव ज्योमेट्री#सर्कल इनवर्जन शामिल है $\mathbb {R} ^{p,q}$, जो कि नक्शा नहीं है $\mathbb {R} ^{p,q}$ खुद के लिए क्योंकि यह उत्पत्ति को अनंत तक मैप करता है, और अनंत को उत्पत्ति के लिए मैप करता है।

कॉन्फ (पी, क्यू)

छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए $\mathbb {R} ^{p,q}$