अपचायक समूह

गणित में, एक रिडक्टिव ग्रुप एक क्षेत्र (गणित) पर एक प्रकार का रैखिक बीजगणितीय समूह है। एक परिभाषा यह है कि एक पूर्ण क्षेत्र पर एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह जी रिडक्टिव है, अगर इसमें परिमित कर्नेल (बीजगणित) के साथ एक समूह का प्रतिनिधित्व होता है जो इरेड्यूसिबल प्रस्तुतियों का प्रत्यक्ष योग है। रिडक्टिव समूहों में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समूह शामिल हैं, जैसे सामान्य रैखिक समूह जीएल(एन) उलटा मेट्रिसेस, विशेष ऑर्थोगोनल समूह एसओ(एन) , और सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp(2n)। सरल बीजगणितीय समूह और (अधिक सामान्यतः) अर्धसरल बीजगणितीय समूह रिडक्टिव होते हैं।

क्लाउड चेवेली ने दिखाया कि किसी भी बीजीय रूप से बंद क्षेत्र पर रिडक्टिव समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि कॉम्पैक्ट लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक मनमाना क्षेत्र पर रिडक्टिव समूह वर्गीकृत करना कठिन होता है, लेकिन कई क्षेत्रों जैसे कि वास्तविक संख्या आर या एक संख्या क्षेत्र के लिए, वर्गीकरण अच्छी तरह से समझा जाता है। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह k के समूह G(k) के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित पर एक साधारण बीजीय समूह G के तर्कसंगत बिंदु क्षेत्र के, या उस निर्माण के लघु रूपों के रूप में।

रिडक्टिव समूहों के पास विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध प्रतिनिधित्व सिद्धांत है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र k पर एक रिडक्टिव समूह G के प्रतिनिधित्व का अध्ययन कर सकता है, जो k-वेक्टर रिक्त स्थान पर G की क्रियाएं हैं। लेकिन साथ ही, समूह G(k) के जटिल निरूपण का अध्ययन कर सकता है जब k एक परिमित क्षेत्र है, या एक वास्तविक रिडक्टिव समूह का अनंत-आयामी एकात्मक निरूपण, या एक एडिलिक बीजगणितीय समूह के ऑटोमोर्फिक निरूपण। इन सभी क्षेत्रों में रिडक्टिव समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।

परिभाषाएँ

Main article: Linear algebraic group

किसी क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह को कुछ धनात्मक पूर्णांक n के लिए k पर GL(n) की एक चिकनी योजना बंद समूह योजना के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से, k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह k के ऊपर एक चिकनी संबंध योजना समूह योजना है।

एकांगी मूलक के साथ

एक जुड़ा हुआ अंतरिक्ष रैखिक बीजगणितीय समूह $G$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र को सेमीसिम्पल कहा जाता है यदि हर सुचारू रूप से जुड़ा हुआ हल करने योग्य समूह का सामान्य उपसमूह $G$ तुच्छ है। अधिक आम तौर पर, एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह $G$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर रिडक्टिव कहा जाता है यदि सबसे बड़ा सुचारू रूप से जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह # यूनिपोटेंट समूह का सामान्य उपसमूह $G$ तुच्छ है। इस सामान्य उपसमूह को यूनिपोटेंट रेडिकल कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है $R_{u}(G)$. (कुछ लेखकों को जोड़ने के लिए रिडक्टिव समूहों की आवश्यकता नहीं होती है।) एक समूह $G$ एक मनमाना क्षेत्र पर k को योजनाओं के फाइबर उत्पाद होने पर सेमीसिम्पल या रिडक्टिव कहा जाता है $G_{\overline {k}}$ सेमीसिंपल या रिडक्टिव है, जहां ${\overline {k}}$ k का बीजगणितीय समापन है। (यह परिचय में रिडक्टिव ग्रुप्स की परिभाषा के बराबर है जब k एकदम सही है।) कोई भी रैखिक बीजगणितीय समूह#टोरी ओवर k, जैसे कि रैखिक बीजगणितीय समूह#उदाहरण G_m, रिडक्टिव है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ

विशेषता शून्य के क्षेत्रों में एक रिडक्टिव समूह की एक और समकक्ष परिभाषा एक जुड़ा हुआ समूह है $G$ एक विश्वासपात्र अर्धसरल निरूपण को स्वीकार करना जो इसके बीजगणितीय समापन पर अर्धसरल बना रहता है $k^{al}$ ^{पेज 424}.

सरल रिडक्टिव समूह

फ़ील्ड k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, गैर-तुच्छ है, और G से अधिक k का हर सुचारू रूप से जुड़ा हुआ सामान्य उपसमूह तुच्छ या G के बराबर है। (कुछ लेखक इस संपत्ति को लगभग सरल कहते हैं।) यह सार समूहों के लिए शब्दावली से थोड़ा अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में गैर-तुच्छ केंद्र (समूह सिद्धांत) हो सकता है (हालांकि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी फ़ील्ड k के लिए, k पर समूह SL(n) सरल है, और इसका केंद्र गुणक समूह#एकता की जड़ों की समूह योजना है। समूह योजना μ_nएकता की nth जड़ों की।

रिडक्टिव समूहों का एक 'केंद्रीय समरूपता' एक विशेषण समूह समरूपता है जिसमें कर्नेल एक परिमित केंद्रीय उपसमूह योजना है। एक क्षेत्र पर प्रत्येक रिडक्टिव समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद से एक केंद्रीय समरूपता को स्वीकार करता है। उदाहरण के लिए, किसी भी फ़ील्ड k पर,

$GL(n)\cong (G_{m}\times SL(n))/\mu _{n}.$

यह थोड़ा अजीब है कि एक क्षेत्र पर एक रिडक्टिव ग्रुप की परिभाषा में बीजगणितीय बंद होने का मार्ग शामिल है। एक पूर्ण क्षेत्र के लिए, जिसे टाला जा सकता है: एक रैखिक बीजगणितीय समूह जी ओवर के रिडक्टिव है अगर और केवल अगर जी के प्रत्येक चिकनी जुड़े यूनिपोटेंट सामान्य के-उपसमूह तुच्छ हैं। एक मनमाने क्षेत्र के लिए, बाद की संपत्ति एक छद्म-रिडक्टिव समूह को परिभाषित करती है, जो कुछ अधिक सामान्य है।

स्प्लिट-रिडक्टिव समूह

फ़ील्ड k पर एक रिडक्टिव ग्रुप G को 'स्प्लिट' कहा जाता है, अगर इसमें k के ऊपर एक स्प्लिट मैक्सिमम टोरस T होता है (यानी, G में एक रैखिक बीजगणितीय समूह#Tori जिसका आधार बदल जाता है) ${\overline {k}}$ में एक अधिकतम टोरस है $G_{\overline {k}}$). यह कहने के बराबर है कि टी जी में विभाजित टोरस है जो कि जी में सभी के-टोरी के बीच अधिकतम है। इस प्रकार के समूह उपयोगी होते हैं क्योंकि उनके वर्गीकरण को संयोजी डेटा के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है जिसे रूट डेटा कहा जाता है।

उदाहरण

जीएल_n और एसएल_n

रिडक्टिव ग्रुप का एक मूलभूत उदाहरण सामान्य रैखिक समूह है ${\text{GL}}_{n}$ प्राकृतिक संख्या n के लिए फ़ील्ड k पर व्युत्क्रमणीय n × n मैट्रिसेस। विशेष रूप से, 'गुणक समूह' जी_m समूह जीएल (1) है, और इसलिए इसका समूह जी है_m(k) k-रेशनल पॉइंट्स गुणन के तहत k के गैर-शून्य तत्वों का समूह k* है। एक अन्य रिडक्टिव समूह क्षेत्र k पर विशेष रैखिक समूह SL(n) है, निर्धारक 1 के साथ आव्यूहों का उपसमूह। वास्तव में, SL(n) कम से कम 2 n के लिए एक सरल बीजगणितीय समूह है।

ओ (एन), एसओ (एन), और एसपी (एन)

एक महत्वपूर्ण सरल समूह क्षेत्र k पर सहानुभूतिपूर्ण समूह Sp(2n) है, GL(2n) का उपसमूह जो सदिश स्थान k पर एक गैर-अपघटित वैकल्पिक द्विरेखीय रूप को संरक्षित करता है।^2एन. इसी तरह, ओर्थोगोनल समूह O(q) सामान्य रैखिक समूह का उपसमूह है जो क्षेत्र k पर सदिश स्थान पर एक अविकृत द्विघात रूप q को संरक्षित करता है। बीजगणितीय समूह O(q) में दो जुड़े घटक (टोपोलॉजी) हैं, और इसकी पहचान घटक SO(q) रिडक्टिव है, वास्तव में कम से कम आयाम n के q के लिए सरल है। (विशेषता 2 और n विषम के k के लिए, समूह योजना O(q) वास्तव में जुड़ी हुई है, लेकिन k पर चिकनी नहीं है। सरल समूह SO(q) को हमेशा O(q) के अधिक से अधिक सुचारू रूप से जुड़े उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।) जब k बीजगणितीय रूप से बंद होता है, तो कोई भी दो ( nondegenerate) एक ही आयाम के द्विघात रूप आइसोमोर्फिक हैं, और इसलिए इस समूह को SO(n) कहना उचित है। एक सामान्य क्षेत्र k के लिए, आयाम n के विभिन्न द्विघात रूपों से k के ऊपर गैर-समरूपी सरल समूह SO(q) प्राप्त हो सकते हैं, हालांकि उन