समाधेय समूह

गणित में, अधिक विशेष रूप से समूह सिद्धांत के क्षेत्र में, एक हल करने योग्य समूह या घुलनशील समूह एक समूह (गणित) है जिसे समूह विस्तार का उपयोग करके एबेलियन समूहों से बनाया जा सकता है। समतुल्य रूप से, एक सॉल्व करने योग्य समूह एक ऐसा समूह है जिसकी व्युत्पन्न श्रृंखला तुच्छ उपसमूह में समाप्त होती है।

प्रेरणा

ऐतिहासिक रूप से, सॉल्वेबल शब्द गाल्वा सिद्धांत से उत्पन्न हुआ है और क्विंटिक समीकरण की सामान्य अघुलनशीलता का गणितीय प्रमाण है। विशेष रूप से, एक बहुपद समीकरण एनवें मूल में हल करने योग्य है यदि और केवल यदि संबंधित गैलोज़ समूह हल करने योग्य है (ध्यान दें कि यह प्रमेय केवल एक क्षेत्र 0 की विशेषता में है)। इसका मतलब बहुपद से जुड़ा है $f\in F[x]$ फील्ड एक्सटेंशन का एक टॉवर है <ब्लॉककोट>$F=F_{0}\subseteq F_{1}\subseteq F_{2}\subseteq \cdots \subseteq F_{m}=K$ऐसे कि

1. $F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]$ कहाँ $\alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}$, इसलिए $\alpha _{i}$ समीकरण का हल है $x^{m_{i}}-a$ कहाँ $a\in F_{i-1}$
2. $F_{m}$ के लिए एक विभाजन क्षेत्र शामिल है $f(x)$

उदाहरण

उदाहरण के लिए, का सबसे छोटा गैल्वा क्षेत्र विस्तार $\mathbb {Q}$ तत्व युक्त

$a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}$

एक हल करने योग्य समूह देता है। इसमें संबद्ध फ़ील्ड एक्सटेंशन <ब्लॉककोट> हैं$\mathbb {Q} \subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subseteq \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\left(e^{2\pi i/5}{\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}\right)$ युक्त एक हल करने योग्य समूह दे रहा है $\mathbb {Z} /5$ (पर अभिनय $e^{2\pi i/5}$) और $\mathbb {Z} /2\times \mathbb {Z} /2$ (अभिनय कर रहे ${\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$).

परिभाषा

एक समूह G को 'सुलझाने योग्य' कहा जाता है यदि इसकी एक उपसामान्य श्रृंखला है जिसके कारक समूह (गुणांक समूह) सभी एबेलियन समूह हैं, अर्थात, यदि उपसमूह 1 = G हैं₀ < जी₁ < ⋅⋅⋅ < जी_k= जी ऐसा है कि जी_j−1 जी में सामान्य उपसमूह है_j, और जी_j/जी_j−1 j = 1, 2, ..., k के लिए एक एबेलियन समूह है।

या समकक्ष, यदि इसकी व्युत्पन्न श्रृंखला, अवरोही सामान्य श्रृंखला

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