चर परिवर्तन

For the concept in partial differential equations, see Change of variables (PDE).

गणित में, चरों का परिवर्तन एक बुनियादी तकनीक है जिसका उपयोग समस्याओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है जिसमें मूल चर (गणित) को अन्य चरों के फलन (गणित) से बदल दिया जाता है। आशय यह है कि जब नए चरों में व्यक्त किया जाता है, तो समस्या सरल हो सकती है, या बेहतर समझी जाने वाली समस्या के बराबर हो सकती है।

चरों का परिवर्तन एक संक्रिया है जो प्रतिस्थापन (बीजगणित) से संबंधित है। हालाँकि ये अलग-अलग ऑपरेशन हैं, जैसा कि व्युत्पन्न (श्रृंखला नियम) या अभिन्न (प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण) पर विचार करते समय देखा जा सकता है।

उपयोगी चर परिवर्तन का एक बहुत ही सरल उदाहरण छठी डिग्री बहुपद की जड़ों को खोजने की समस्या में देखा जा सकता है:

$x^{6}-9x^{3}+8=0.$

रेडिकल के संदर्भ में छठी-डिग्री बहुपद समीकरणों को हल करना आम तौर पर असंभव है (एबेल-रफिनी प्रमेय देखें)। हालाँकि, यह विशेष समीकरण लिखा जा सकता है

$(x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0$

(यह बहुपद अपघटन का एक साधारण मामला है)। इस प्रकार एक नए चर को परिभाषित करके समीकरण को सरल बनाया जा सकता है $u=x^{3}$. द्वारा x को प्रतिस्थापित करना ${\sqrt[{3}]{u}}$ बहुपद में देता है

$u^{2}-9u+8=0,$

जो दो समाधानों के साथ सिर्फ एक द्विघात समीकरण है:

$u=1\quad {\text{and}}\quad u=8.$

मूल चर के संदर्भ में समाधान x को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है³ बैक इन फॉर यू, जो देता है

$x^{3}=1\quad {\text{and}}\quad x^{3}=8.$

फिर, यह मानते हुए कि कोई केवल वास्तविक संख्या समाधानों में रुचि रखता है, मूल समीकरण के समाधान हैं

$x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{and}}\quad x=(8)^{1/3}=2.$

सरल उदाहरण

समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

$xy+x+y=71$

$x^{2}y+xy^{2}=880$

कहाँ $x$ और $y$ के साथ धनात्मक पूर्णांक हैं $x>y$. (स्रोत: 1991