अवकलज

This article is about the term as used in calculus. For a less technical overview of the subject, see differential calculus. For other uses, see अवकलज (disambiguation).

File:Tangent to a curve.svg

एक फ़ंक्शन का ग्राफ़, काले रंग में खींचा गया है, और उस ग्राफ़ की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। स्पर्शरेखा रेखा का ढलान चिह्नित बिंदु पर फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है।

गणित में, एक वास्तविक चर के एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न एक फ़ंक्शन (इनपुट मान) के अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में फ़ंक्शन मान (आउटपुट मान) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। डेरिवेटिव कैलकुलस का एक मूलभूत उपकरण है। उदाहरण के लिए, समय के संबंध में गतिमान वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का वेग है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है।

किसी चुने हुए इनपुट मान पर एकल चर के फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, जब वह मौजूद होता है, उस बिंदु पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा का ढलान होता है। स्पर्श रेखा उस इनपुट मान के पास फ़ंक्शन का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को अक्सर परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है।

डेरिवेटिव को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस सामान्यीकरण में, व्युत्पन्न को एक रैखिक परिवर्तन के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका ग्राफ (उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के ग्राफ के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है। जैकबियन मैट्रिक्स मैट्रिक्स (गणित) है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी गणना स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए, जेकोबियन मैट्रिक्स ग्रेडिएंट वेक्टर में कम हो जाता है।

व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को भेदभाव कहा जाता है। रिवर्स प्रोसेस को 'antiderivative' कहा जाता है। कलन का मूलभूत प्रमेय प्रतिविभेदन को समाकलन से संबंधित करता है। विभेदीकरण और एकीकरण एकल-चर कलन में दो मूलभूत संचालन का गठन करते हैं।

परिभाषा

एक वास्तविक चर का एक कार्य f(x) एक बिंदु पर अवकलनीय है a किसी फ़ंक्शन के अपने डोमेन का, यदि उसके डोमेन में एक खुला अंतराल है I युक्त a, और सीमा (गणित)

$L=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}$

मौजूद। इसका मतलब है कि, हर सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $\varepsilon$ (यहां तक ​​कि बहुत छोटा), वहाँ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या मौजूद है $\delta$ ऐसा है कि, हर के लिए h ऐसा है कि $|h|<\delta$ तथा $h\neq 0$ फिर $f(a+h)$ परिभाषित किया गया है, और

$\left|L-{\frac {f(a+h)-f(a)}{h}}\right|<\varepsilon ,$

जहां लंबवत पट्टियां निरपेक्ष मान दर्शाती हैं (देखें (ε, δ)-सीमा की परिभाषा)।

यदि समारोह f पर अवकलनीय है a, वह है अगर सीमा L मौजूद है, तो इस सीमा को व्युत्पन्न कहा जाता है f पर a, और निरूपित $f'(a)$ (के रूप में पढ़ेंf के प्रमुख a) या ${\textstyle {\frac {df}{dx}}(a)}$ (के व्युत्पन्न के रूप में पढ़ें f इसके संबंध में x पर a,dy द्वारा dx पर a, याdy ऊपर dx पर a); देखना § Notation (details), नीचे।

निरंतरता और भिन्नता

File:Right-continuous.svg

इस फ़ंक्शन का चिह्नित बिंदु पर कोई डेरिवेटिव नहीं है, क्योंकि फ़ंक्शन वहां निरंतर नहीं है (विशेष रूप से, इसमें कूदना बंद करो है)।

यदि f पर अवकलनीय है a, फिर f पर भी निरंतर कार्य करना चाहिए a. एक उदाहरण के रूप में, एक बिंदु चुनें a और जाने f चरण फ़ंक्शन बनें जो सभी के लिए मान 1 लौटाता है x से कम a, और सभी के लिए भिन्न मान 10 लौटाता है x इससे बड़ा या इसके बराबर a. f पर व्युत्पन्न नहीं हो सकता a. यदि h नकारात्मक है, तो a + h कदम के निचले हिस्से पर है, इसलिए छेदक रेखा से a प्रति a + h बहुत खड़ी है, और के रूप में h शून्य की ओर जाता है ढलान अनंत की ओर जाता है। यदि h सकारात्मक है, तो a + h सीढी के ऊँचे भाग पर है, अत: से छेदक रेखा a प्रति a + h ढलान शून्य है। नतीजतन, छेदक रेखाएँ किसी एक ढलान तक नहीं पहुँचती हैं, इसलिए अंतर भागफल की सीमा मौजूद नहीं होती है।

File:Absolute value.svg

निरपेक्ष मान फलन निरंतर है, लेकिन पर अवकलनीय होने में विफल रहता है x = 0 चूँकि स्पर्शरेखा ढलान बाईं ओर से उसी मान तक नहीं पहुँचती है जैसा कि वे दाईं ओर से करते हैं।

हालाँकि, भले ही एक बिंदु पर एक कार्य निरंतर हो, यह वहाँ भिन्न नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, द्वारा दिया गया निरपेक्ष मान फ़ंक्शन f(x) = |x| पर निरंतर है x = 0, लेकिन यह वहां भिन्न नहीं है। यदि h धनात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से h एक है, जबकि अगर h ऋणात्मक है, तो छेदक रेखा का ढलान 0 से h एक नकारात्मक है। इसे ग्राफ़िक रूप से ग्राफ़ में किंक या कस्प के रूप में देखा जा सकता है x = 0. यहां तक ​�