एबेलियन समूह

For संबंधित शब्द "एबेलियन रैखिक समूह" के पुरातन उपयोग द्वारा वर्णित समूह, see Symplectic group.

गणित में, एक एबेलियन समूह, जिसे कम्यूटेटिव समूह भी कहा जाता है, एक ऐसा समूह (गणित) होता है जिसमें दो समूह तत्वों पर समूह संक्रिया को लागू करने का परिणाम उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें वे लिखे गए हैं। अर्थात्, समूह संक्रिया क्रमविनिमेय है। एक ऑपरेशन के रूप में जोड़ के साथ, पूर्णांक और वास्तविक संख्या एबेलियन समूह बनाते हैं, और एक एबेलियन समूह की अवधारणा को इन उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। एबेलियन समूहों का नाम 19वीं सदी के शुरुआती गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है।

एक एबेलियन समूह की अवधारणा कई मौलिक बीजगणितीय संरचनाओं को रेखांकित करती है, जैसे फ़ील्ड्स, रिंग्स, वेक्टर रिक्त स्थान और बीजगणित। एबेलियन समूहों का सिद्धांत आम तौर पर उनके गैर-अबेलियन समकक्षों की तुलना में सरल होता है, और परिमित एबेलियन समूहों को बहुत अच्छी तरह से समझा जाता है और पूरी तरह से वर्गीकृत किया जाता है।

परिभाषा

एक एबेलियन समूह एक समुच्चय $A$ है, जिसमें ऑपरेशन ⋅ है जो ए के किसी भी दो तत्वों $a$ और $b$ को $A$ के दूसरे तत्व बनाने के लिए जोड़ता है, जिसे $a\cdot b$ कहा जाता है। प्रतीक ⋅ ठोस रूप से दिए गए ऑपरेशन के लिए एक सामान्य प्लेसहोल्डर है। एक एबेलियन समूह के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, सेट और ऑपरेशन, $(A,\cdot )$ को चार आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए, जिसे एबेलियन समूह स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाता है (कुछ लेखकों ने सिद्धांतों में कुछ गुण शामिल किए हैं जो एक ऑपरेशन की परिभाषा से संबंधित हैं: अर्थात। $A$ के तत्वों की किसी भी आदेशित जोड़ी के लिए ऑपरेशन परिभाषित किया गया है, परिणाम अच्छी तरह परिभाषित है, और परिणाम A से संबंधित है):

संबद्धता

सभी के लिए $a$, $b$, तथा $c$ में $A$, समीकरण $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ रखती है।

तत्समक अवयव

एक तत्व मौजूद है $e$ में $A$, जैसे कि सभी तत्वों के लिए $a$ में $A$, समीकरण $e\cdot a=a\cdot e=a$ रखती है।

व्युत्क्रम तत्व

प्रत्येक के लिए $a$ में $A$ एक तत्व मौजूद है $b$ में $A$ ऐसा है कि $a\cdot b=b\cdot a=e$, कहाँ पे $e$ पहचान तत्व है।

क्रमविनिमेयता

सभी के लिए $a$, $b$ में $A$, $a\cdot b=b\cdot a$.

एक समूह जिसमें समूह संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है, एक गैर-अबेलियन समूह या गैर-क्रमविनिमेय समूह कहलाता है।

तथ्य

अंकन

See also: Additive group and Multiplicative group

एबेलियन समूहों के लिए दो मुख्य सांकेतिक परंपराएँ हैं - योज्य और गुणक।

Convention	Operation	Identity	Powers	Inverse
Addition	$x+y$	0	$nx$	$-x$
Multiplication	$x\cdot y$ or $xy$	1	$x^{n}$	$x^{-1}$

आम तौर पर, गुणक संकेतन समूहों के लिए सामान्य संकेतन होता है, जबकि योगात्मक संकेतन मॉड्यूल (गणित) और रिंग (गणित) के लिए सामान्य संकेतन होता है। योज्य संकेतन का उपयोग इस बात पर जोर देने के लिए भी किया जा सकता है कि एक विशेष समूह एबेलियन है, जब भी एबेलियन और गैर-एबेलियन दोनों समूहों पर विचार किया जाता है, कुछ उल्लेखनीय अपवाद निकट-अंगूठियां और आंशिक रूप से आदेशित समूह होते हैं, जहां गैर-अबेलियन होने पर भी एक ऑपरेशन योगात्मक रूप से लिखा जाता है। .

गुणन तालिका

यह सत्यापित करने के लिए कि एक परिमित समूह एबेलियन है, एक टेबल (मैट्रिक्स) - जिसे केली टेबल के रूप में जाना जाता है - को गुणन तालिका के समान तरीके से बनाया जा सकता है। यदि समूह है