अपचायक समूह

गणित में, अपचायक समूह एक क्षेत्र (गणित) पर रैखिक बीजगणितीय समूह का एक प्रकार है। एक परिभाषा यह है कि एक पूर्ण क्षेत्र पर एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह G अपचायक है, यदि इसमें परिमित आधार (बीजगणित) के साथ एक समूह का निरूपण होता है जो अखंडनीय प्रस्तुतियों का प्रत्यक्ष योग है। अपचायक समूहों में गणित के कुछ सबसे महत्वपूर्ण समूह सम्मिलित हैं, जैसे सामान्य रैखिक समूह Gl(n) व्युत्क्रम आव्यूह, विशेष लंब कोणीय समूह So(n), और सममिती समूह Sp(2n)। सरल बीजगणितीय समूह और (अधिक सामान्यतः) अर्धसरल बीजगणितीय समूह अपचायक होते हैं।

क्लाउड चेवेली ने दिखाया कि किसी भी बीजीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक समूहों का वर्गीकरण समान है। विशेष रूप से, साधारण बीजगणितीय समूहों को डाइनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जैसा कि संहत लाई समूहों के सिद्धांत या जटिल लाई बीजगणित अर्धसरल लाई बीजगणित में होता है। एक स्वेच्छ क्षेत्र पर अपचायक समूह वर्गीकृत करना जटिल होता है, परन्तु कई क्षेत्रों जैसे कि वास्तविक संख्या R या एक संख्या क्षेत्र के लिए, वर्गीकरण ठीक रूप से समझा जाता है। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह k के समूह g(k) के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित पर एक साधारण बीजीय समूह G के तर्कसंगत बिंदु क्षेत्र के, या उस निर्माण के लघु रूपों के रूप में है।

अपचायक समूहों के निकट विभिन्न संदर्भों में एक समृद्ध निरूपण सिद्धांत है। सबसे पहले, एक बीजगणितीय समूह के रूप में एक क्षेत्र k पर अपचायक समूह G के निरूपण का अध्ययन कर सकता है, जो k-सदिश रिक्त समष्टि पर G की क्रियाएं हैं। परन्तु साथ ही, समूह g(k) के जटिल निरूपण का अध्ययन कर सकता है जब k एक परिमित क्षेत्र है, या एक वास्तविक अपचायक समूह का अनंत-विमीय एकात्मक निरूपण, या एक एडिलिक बीजगणितीय समूह के स्वसमाकृतिक निरूपण है। इन सभी क्षेत्रों में अपचायक समूहों के संरचना सिद्धांत का उपयोग किया जाता है।

परिभाषाएँ

Main article: रैखिक बीजगणितीय समूह

किसी क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह को कुछ धनात्मक पूर्णांक n के लिए k पर Gl(n) की एक समृणीकृत पद्धति संवृत समूह पद्धति के रूप में परिभाषित किया गया है। समतुल्य रूप से, k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह k पर एक समृणीकृत संबंध पद्धति समूह पद्धति है।

एकांगी मूलक के साथ

एक संयोजित समष्टि रैखिक बीजगणितीय समूह $G$ एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र को अर्द्धसरल कहा जाता है यदि प्रत्येक समृणीकृत रूप से संयोजित हल करने योग्य समूह का सामान्य उपसमूह $G$ नगण्य है। अधिक सामान्यतः, एक संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह $G$ एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र पर अपचायक कहा जाता है यदि $G$ के सबसे बड़े समृणीकृत रूप से संयोजित रैखिक बीजगणितीय समूह सामान्य उपसमूह नगण्य है। इस सामान्य उपसमूह को एकांगी मूलक कहा जाता है और इसे $R_{u}(G)$ के रूप में दर्शाया जाता है। (कुछ लेखकों को जोड़ने के लिए अपचायक समूहों की आवश्यकता नहीं होती है।) एक स्वेच्छ क्षेत्र k पर एक समूह $G$ को अर्द्धसरल या अपचायक कहा जाता है यदि पद्धतिओं के तन्तु उत्पाद $G_{\overline {k}}$ अर्द्धसरल या अपचायक है, जहां ${\overline {k}}$ k का बीजगणितीय संवरक है। (यह परिचय में अपचायक समूह की परिभाषा के बराबर है जब k उतम है। ) k पर कोई भी रैखिक बीजगणितीय समूह, जैसे गुणक समूह G_m, अपचायक होता है।

निरूपण सिद्धांत के साथ

विशेषता शून्य के क्षेत्रों में अपचायक समूह की एक और समकक्ष परिभाषा एक संयोजित समूह $G$ है एक विश्वासपात्र अर्धसरल निरूपण को स्वीकार करता है जो इसके बीजगणितीय संवरक ${\displaystyle }$