सतत फलन

गणित में, सतत फलन ऐसा फलन (गणित) होता है, जिसमें किसी फलन के तर्क का निरंतर परिवर्तन (जो कि बिना छलांग के परिवर्तन होता है) फलन के मूल्य (गणित) में निरंतर परिवर्तन को प्रेरित करता है। इसका मतलब यह है कि मूल्य में कोई अचानक परिवर्तन नहीं होता है, जिसे विच्छेदों का वर्गीकरण कहा जाता है। अधिक सटीक रूप से, फ़ंक्शन निरंतर होता है यदि इसके मूल्य में मनमाने ढंग से छोटे बदलावों को इसके तर्क के पर्याप्त छोटे परिवर्तनों तक सीमित करके सुनिश्चित किया जा सकता है। असंतत फलन फलन है जो कि है not continuous. 19वीं शताब्दी तक, गणितज्ञ बड़े पैमाने पर निरंतरता की अंतर्ज्ञान धारणाओं पर भरोसा करते थे, और केवल निरंतर कार्यों पर विचार करते थे। (ε, δ)-सीमा की परिभाषा|एप्सिलॉन-सीमा की डेल्टा परिभाषा निरंतरता की परिभाषा को औपचारिक बनाने के लिए पेश की गई थी।

निरंतरता गणना और गणितीय विश्लेषण की मुख्य अवधारणाओं में से है, जहां कार्यों के तर्क और मूल्य वास्तविक संख्या और जटिल संख्या संख्याएं हैं। इस अवधारणा को कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया गया है #मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच निरंतर कार्य और #टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच निरंतर कार्य। उत्तरार्द्ध सबसे सामान्य निरंतर कार्य हैं, और उनकी परिभाषा टोपोलॉजी का आधार है।

निरंतरता का सशक्त रूप एकसमान निरंतरता है। क्रम सिद्धांत में, विशेष रूप से डोमेन सिद्धांत में, निरंतरता की संबंधित अवधारणा स्कॉट निरंतरता है।

उदाहरण के तौर पर, function H(t) समय पर बढ़ते फूल की ऊंचाई को दर्शाता है tनिरंतर माना जाएगा। इसके विपरीत, फ़ंक्शन M(t) समय पर बैंक खाते में मौजूद धनराशि को दर्शाता है t को असंतत माना जाएगा, क्योंकि यह पैसा जमा करने या निकालने के समय प्रत्येक बिंदु पर उछलता है।

इतिहास

(ε, δ) का रूप - सीमा की परिभाषा#निरंतरता|एप्सिलॉन-निरंतरता की डेल्टा परिभाषा सबसे पहले 1817 में बर्नार्ड बोलजानो द्वारा दी गई थी। ऑगस्टिन-लुई कॉची ने निरंतरता को परिभाषित किया $y=f(x)$ इस प्रकार: असीम रूप से छोटी वृद्धि $\alpha$ स्वतंत्र चर x का हमेशा असीम रूप से छोटा परिवर्तन उत्पन्न होता है $f(x+\alpha )-f(x)$ आश्रित चर y का (उदाहरण देखें, कोर्ट्स डी'एनालिसिस, पृष्ठ 34)। कॉची ने परिवर्तनीय मात्राओं के संदर्भ में असीम रूप से छोटी मात्राओं को परिभाषित किया, और निरंतरता की उनकी परिभाषा आज इस्तेमाल की जाने वाली अनंतिम परिभाषा के समानान्तर है (सूक्ष्म निरंतरता देखें)। बिंदुवार निरंतरता और एकसमान निरंतरता के बीच औपचारिक परिभाषा और अंतर पहली बार 1830 के दशक में बोलजानो द्वारा दिया गया था, लेकिन काम 1930 के दशक तक प्रकाशित नहीं हुआ था। बोल्ज़ानो की तरह, कार्ल वीयरस्ट्रैस किसी बिंदु c पर किसी फ़ंक्शन की निरंतरता से इनकार किया जाता है जब तक कि इसे c के दोनों किनारों पर परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन एडौर्ड गौरसैट फ़ंक्शन को केवल सी और केमिली जॉर्डन के तरफ परिभाषित करने की अनुमति दी गई इसकी अनुमति दी गई, भले ही फ़ंक्शन केवल c पर परिभाषित किया गया हो। बिंदुवार निरंतरता की वे तीनों गैर-समतुल्य परिभाषाएँ अभी भी उपयोग में हैं। एडवर्ड हेन ने 1872 में समान निरंतरता की पहली प्रकाशित परिभाषा प्रदान की, लेकिन ये विचार 1854 में पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट द्वारा दिए गए व्याख्यानों पर आधारित थे।

वास्तविक कार्य

परिभाषा

File:Function-1 x.svg

कार्यक्रम $f(x)={\tfrac {1}{x}}$ अपने डोमेन पर निरंतर है ($\mathbb {R} \setminus \{0\}$), लेकिन असंतत (निरंतर नहीं या विलक्षणता (गणित)#वास्तविक विश्लेषण)। $x=0$.फिर भी, कॉची प्रमुख मूल्य को परिभाषित किया जा सकता है। दूसरी ओर, जटिल विश्लेषण में ($\mathbb {C}$, विशेष रूप से ${\widehat {\mathbb {C} }}$.), इस बिंदु (x=0) को अपरिभाषित नहीं माना जाता है (गणित)#वे मान जिनके लिए फ़ंक्शन अपरिभाषित हैं और इसे विलक्षणता कहा जाता है, क्योंकि जब सोचा जाता है $x$ जटिल चर के रूप में, यह बिंदु ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है, और फिर अधिकतम परिमित प्रमुख भाग वाली लॉरेंट श्रृंखला को एकवचन बिंदुओं के आसपास परिभाषित किया जा सकता है। इसके अलावा, उदाहरण जैसे कार्यों का अध्ययन करने के लिए रीमैन क्षेत्र#तर्कसंगत कार्यों का उपयोग अक्सर मॉडल के रूप में किया जाता है।

वास्तविक फ़ंक्शन, जो कि वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक का फ़ंक्शन (गणित) है, को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में फ़ंक्शन के ग्राफ़ द्वारा दर्शाया जा सकता है; ऐसा फ़ंक्शन निरंतर होता है यदि, मोटे तौर पर कहें तो, ग्राफ़ एकल अखंड वक्र है जिसका फ़ंक्शन का डोमेन संपूर्ण वास्तविक रेखा है। अधिक गणितीय रूप से कठोर परिभाषा नीचे दी गई है।

वास्तविक कार्यों की निरंतरता को आमतौर पर सीमा (गणित) के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। समारोह f चर के साथ x वास्तविक संख्या पर निरंतर है c, यदि की सीमा $f(x),$ जैसा x आदत है c, के बराबर है $f(c).$ किसी फ़ंक्शन की (वैश्विक) निरंतरता की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, जो किसी फ़ंक्शन के डोमेन की प्रकृति पर निर्भर करती हैं।

फ़ंक्शन खुले अंतराल पर निरंतर होता है यदि अंतराल फ़ंक्शन के डोमेन में समाहित होता है, और फ़ंक्शन अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है। फ़ंक्शन जो अंतराल पर निरंतर होता है $(-\infty ,+\infty )$ (संपूर्ण वास्तविक रेखा) को अक्सर केवल सतत फलन कहा जाता है; यह भी कहता है कि ऐसा कार्य सर्वत्र निरन्तर होता रह�