अनुरूप समूह

गणित में, किसी आंतरिक गुणांक स्थान का संरूप समूह, समष्टियों में परिवर्तनों का वह समूह होता है जो परिवर्तन के समय कोणों को संरक्षित करता है। अधिक औपचारिक रूप से कहें तो, यह परिवर्तनों का वह समूह है जो समष्टि के संरूप ज्यामिति को संरक्षित करता है।

कई विशिष्ट संरूप समूह विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं:

• संरूपी आयतीय समूह: यदि V द्विघात रूप Q के साथ एक सदिश स्थान है, तो संरूप ऑर्थोगोनल समूह CO(V, Q) V का रैखिक रूपांतरण T का वह समूह है जिसके लिए एक अदिश λ उपलब्ध है। जैसे V में सभी x के लिए :-

  $Q(Tx)=\lambda ^{2}Q(x)$

एक निश्चित द्विघातीय रूप के लिए, संरूपी आयतीय समूह, आयतीय समूह के गुणक समूह के समान होता है।

• गोले का संरूप समूह व्युत्क्रम ज्यामिति द्वारा उत्पन्न होता है। इस समूह को मोबियस समूह के नाम से भी जाना जाता है।
• यूक्लिडियन समष्टि में Eⁿ, n > 2, संरूप समूह अति क्षेत्र में व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न होता है।
• छद्म-यूक्लिडियन समष्टि E^p,q में , संरूप समूह Conf(p, q) ≃ O(p + 1, q + 1) / Z₂ है।

इस प्रकार सभी संरूप समूह ली समूह हैं।

कोण विश्लेषण

यूक्लिडीय ज्यामिति में हम आशा कर सकते हैं कि मानक वृत्ताकार कोण, विशेषणिक होगा, परंतु छद्म-यूक्लिडियन समष्टि में कोण अतिपरवलयिक भी हो सकता है। विशेष आपेक्षिकता के अध्ययन में विभिन्न संदर्भ संरचना, एक स्थिर संदर्भ के संबंध में भिन्न-भिन्न वेग के लिए, एक अतिपरवलयिक कोण से संबंधित होते हैं। लोरेंत्ज़ बूस्ट का वर्णन करने की एक विधिअतिपरवलयिक घूर्णन के रूप में है जो रैपिडिटीज़ के मध्य अंतर कोण को संरक्षित करता है। इस प्रकार, वे अतिपरवलयिक कोण के संबंध में, संरूप परिवर्तन कोण हैं।

उपयुक्त संरूप समूह उत्पन्न करने की एक विधि सामान्य जटिल समष्टि के संरूप समूह के रूप में मोबियस समूह के चरणों की नकल करना है। छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति वैकल्पिक जटिल समष्टियों द्वारा समर्थित है जहां अंक विभाजित-जटिल संख्याएं या दोहरी संख्याएं अत्यधिक महत्वपूर्ण है। जिस तरह मोबियस समूह को पूर्ण विवरण के लिए रीमैन क्षेत्र, एक कॉम्पैक्ट स्थान की आवश्यकता होती है, उसी तरह वैकल्पिक जटिल समष्टियों को संरूप मानचित्रण के पूर्ण विवरण के लिए संघनन की आवश्यकता होती है। फिर भी, प्रत्येक विषय में संरूप समूह उपयुक्त समष्टि पर रैखिक भिन्नात्मक परिवर्तनों द्वारा संदर्भित किया जाता है।

गणितीय परिभाषा

एक रिमैनियन मैनिफोल्ड $M$ दिए गए संरूप वर्ग $[g]$ के साथ, संरूप समूह ${\text{Conf}}(M)$ तथा संरूप आरेख $M$ का समूह है।

अधिक संक्षेप में कहें तों यह कोण-संरक्षण वाले $M$ मानचित्रों का समूह है। यद्यपि, जब [g] का हस्ताक्षर निश्चित नहीं होता है, तब 'कोण' एक हाइपर-कोण होता है जो संभावित रूप से अविनाशी होता है।

छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए, परिभाषा थोड़ी अलग है।${\text{Conf}}(p,q)$, संबंधी मानक संकुचन से उत्पन्न मेनिफोल्ड का संरूपी समूह है, जो छद्म-यूक्लिडीय समष्टि $\mathbf {E} ^{p,q}$ जिसे कभी-कभी $\mathbb {R} ^{p,q}$ के साथ एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के चयन के उपरांत पहचाना जाता है; से उत्पन्न होता है। इस संरूप संघनन का उपयोग करके $S^{p}\times S^{q}$, में अशक्त बिंदुओं के एक सबमेनफोल्ड $(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )\mapsto X=(\mathbf {x} ,\mathbf {t} )$ को परिभाषित किया जा सकता है। विशेष रूप से, इस समूह में व्युत्क्रम ज्यामिति सम्मिलित है क्योंकि यह उत्पत्ति को अनंत तक आरेखित करता है, और अनंत को उत्पत्ति के लिए आरेखित करता है।

कॉन्फ (पी, क्यू)

छद्म-यूक्लिडियन समष्टि के लिए $\mathbb {R} ^{p,q}$, संरूप समूह का लाई बीजगणित आधार $\{M_{\mu \nu },P_{\mu },K_{\mu },D\}$ निम्नलिखित रूपांतरण संबंधों द्वारा दिया गया है:

$$\begin{array}{rl}& [D,K_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}]=-<!--\; -\; -->i{K}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},\\ & [D,P_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}]=i{P}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},\\ & [K_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}},P_{\mathrm{\nu <!--\; \nu \; -->}}]=2i({\mathrm{\eta <!--\; \eta \; -->}}_{\mathrm{\mu <!--\; \mu \; -->}}\end{array}$$