विचलन: Difference between revisions
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{{Short description|Vector operator that measures the expansion or outgoingness of a vector field}} | {{Short description|Vector operator that measures the expansion or outgoingness of a vector field}} | ||
{{About| | {{About|वेक्टर कैल्कुलस में विचलन|अनंत श्रृंखला का विचलन|भिन्न श्रृंखला|आँकड़ों में विचलन|विचलन (सांख्यिकी)|अन्य उपयोग}} | ||
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[[File:Divergence_(captions).svg|500px|thumb|upright=1.75|alt= A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge|विभिन्न वेक्टर क्षेत्रों का विचलन। बिंदु (एक्स, वाई) से वैक्टर का विचलन एक्स-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-एक्स के योग के बराबर होता है और उस पर वाई-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-वाई के योग के बराबर होता है बिंदु: | [[File:Divergence_(captions).svg|500px|thumb|upright=1.75|alt= A vector field with diverging vectors, a vector field with converging vectors, and a vector field with parallel vectors that neither diverge nor converge|विभिन्न वेक्टर क्षेत्रों का विचलन। बिंदु (एक्स, वाई) से वैक्टर का विचलन एक्स-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-एक्स के योग के बराबर होता है और उस पर वाई-घटक के आंशिक व्युत्पन्न-के-सम्मान-से-वाई के योग के बराबर होता है बिंदु: | ||
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:<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac 1{\rho} \frac{\partial \left(\frac{\rho}{\sqrt{g_{ii}}}\hat{F}^i\right)}{\partial x^i} = | :<math>\operatorname{div}(\mathbf{F}) = \frac 1{\rho} \frac{\partial \left(\frac{\rho}{\sqrt{g_{ii}}}\hat{F}^i\right)}{\partial x^i} = | ||
\frac 1{\sqrt{\det g}} \frac{\partial \left(\sqrt{\frac{\det g}{g_{ii}}}\,\hat{F}^i\right)}{\partial x^i}.</math> | \frac 1{\sqrt{\det g}} \frac{\partial \left(\sqrt{\frac{\det g}{g_{ii}}}\,\hat{F}^i\right)}{\partial x^i}.</math> | ||
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== गुण == | == गुण == | ||
{{Main| | {{Main|वेक्टर कैल्कुलस पहचान}} | ||
निम्नलिखित सभी गुण कलन के सामान्य विभेदन नियमों से प्राप्त किए जा सकते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात, विचलन एक रैखिक संकारक है, अर्थात, | निम्नलिखित सभी गुण कलन के सामान्य विभेदन नियमों से प्राप्त किए जा सकते हैं। सबसे महत्वपूर्ण बात, विचलन एक रैखिक संकारक है, अर्थात, | ||
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== अपघटन प्रमेय == | == अपघटन प्रमेय == | ||
{{Main| | {{Main|हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन}} | ||
यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी स्थिर प्रवाह {{math|'''v'''('''r''')}} में दो बार लगातार अवकलनीय है {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} और काफी तेजी से गायब हो जाता है {{math|{{abs|'''r'''}} → ∞}} एक अपरिमेय भाग में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है {{math|'''E'''('''r''')}} और एक स्रोत-मुक्त भाग {{math|'''B'''('''r''')}}. इसके अलावा, इन भागों को स्पष्ट रूप से संबंधित स्रोत घनत्व (ऊपर देखें) और संचलन घनत्व (लेख कर्ल (गणित) देखें) द्वारा निर्धारित किया जाता है: | यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी स्थिर प्रवाह {{math|'''v'''('''r''')}} में दो बार लगातार अवकलनीय है {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} और काफी तेजी से गायब हो जाता है {{math|{{abs|'''r'''}} → ∞}} एक अपरिमेय भाग में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है {{math|'''E'''('''r''')}} और एक स्रोत-मुक्त भाग {{math|'''B'''('''r''')}}. इसके अलावा, इन भागों को स्पष्ट रूप से संबंधित स्रोत घनत्व (ऊपर देखें) और संचलन घनत्व (लेख कर्ल (गणित) देखें) द्वारा निर्धारित किया जाता है: | ||
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:<math>\Phi (\mathbf{r})=\int_{\mathbb R^3}\,d^3\mathbf r'\;\frac{\operatorname{div} \mathbf{v}(\mathbf{r}')}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}.</math> | :<math>\Phi (\mathbf{r})=\int_{\mathbb R^3}\,d^3\mathbf r'\;\frac{\operatorname{div} \mathbf{v}(\mathbf{r}')}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}.</math> | ||
स्रोत-मुक्त भाग, {{math|'''B'''}}, इसी तरह लिखा जा सकता है: केवल स्केलर क्षमता को बदलना होगा {{math|Φ('''r''')}} एक वेक्टर क्षमता द्वारा {{math|'''A'''('''r''')}} और शर्तें {{math|−∇Φ}} द्वारा {{math|+∇ × '''A'''}}, और स्रोत घनत्व {{math|div '''v'''}} | स्रोत-मुक्त भाग, {{math|'''B'''}}, इसी तरह लिखा जा सकता है: केवल स्केलर क्षमता को बदलना होगा {{math|Φ('''r''')}} एक वेक्टर क्षमता द्वारा {{math|'''A'''('''r''')}} और शर्तें {{math|−∇Φ}} द्वारा {{math|+∇ × '''A'''}}, और स्रोत घनत्व {{math|div '''v'''}} | ||
परिसंचरण घनत्व द्वारा {{math|∇ × '''v'''}}. | परिसंचरण घनत्व द्वारा {{math|∇ × '''v'''}}. | ||
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कहां {{mvar|g}} मीट्रिक टेंसर है और <math>\partial_a</math> समन्वय के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है {{math|''x''{{i sup|''a''}}}}. (के निर्धारक का निरपेक्ष मान) मीट्रिक का वर्गमूल प्रकट होता है क्योंकि विचलन को [[मात्रा]] की सही अवधारणा के साथ लिखा जाना चाहिए। घुमावदार निर्देशांक में, आधार सदिश अब असामान्य नहीं हैं; निर्धारक इस मामले में मात्रा के सही विचार को कूटबद्ध करता है। यह दो बार, यहाँ, एक बार प्रकट होता है, ताकि <math>X^a</math> फ्लैट स्पेस में तब्दील किया जा सकता है (जहां निर्देशांक वास्तव में ऑर्थोनॉर्मल हैं), और एक बार फिर ऐसा <math>\partial_a</math> समतल स्थान में भी तब्दील हो जाता है, ताकि अंत में, साधारण विचलन को समतल स्थान में आयतन की सामान्य अवधारणा के साथ लिखा जा सके (अर्थात इकाई आयतन, अर्थात एक, अर्थात नीचे नहीं लिखा गया)। वर्ग-मूल भाजक में दिखाई देता है, क्योंकि व्युत्पन्न विपरीत तरीके से (सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण) सदिश (जो [[सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण]] है) में परिवर्तित होता है। एक समतल समन्वय प्रणाली प्राप्त करने का यह विचार जहां पारंपरिक तरीके से स्थानीय संगणना की जा सकती है, उसे [[mylegs]] कहा जाता है। इसे देखने का एक अलग तरीका यह ध्यान रखना है कि विचलन भेष में कोडिफरेंशियल है। अर्थात्, विचलन अभिव्यक्ति से मेल खाता है <math>\star d\star</math> साथ <math>d</math> [[एक समारोह का अंतर]] और <math>\star</math> [[हॉज स्टार]]। हॉज स्टार, इसके निर्माण से, वॉल्यूम फॉर्म को सभी सही जगहों पर प्रकट होने का कारण बनता है। | कहां {{mvar|g}} मीट्रिक टेंसर है और <math>\partial_a</math> समन्वय के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है {{math|''x''{{i sup|''a''}}}}. (के निर्धारक का निरपेक्ष मान) मीट्रिक का वर्गमूल प्रकट होता है क्योंकि विचलन को [[मात्रा]] की सही अवधारणा के साथ लिखा जाना चाहिए। घुमावदार निर्देशांक में, आधार सदिश अब असामान्य नहीं हैं; निर्धारक इस मामले में मात्रा के सही विचार को कूटबद्ध करता है। यह दो बार, यहाँ, एक बार प्रकट होता है, ताकि <math>X^a</math> फ्लैट स्पेस में तब्दील किया जा सकता है (जहां निर्देशांक वास्तव में ऑर्थोनॉर्मल हैं), और एक बार फिर ऐसा <math>\partial_a</math> समतल स्थान में भी तब्दील हो जाता है, ताकि अंत में, साधारण विचलन को समतल स्थान में आयतन की सामान्य अवधारणा के साथ लिखा जा सके (अर्थात इकाई आयतन, अर्थात एक, अर्थात नीचे नहीं लिखा गया)। वर्ग-मूल भाजक में दिखाई देता है, क्योंकि व्युत्पन्न विपरीत तरीके से (सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण) सदिश (जो [[सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण]] है) में परिवर्तित होता है। एक समतल समन्वय प्रणाली प्राप्त करने का यह विचार जहां पारंपरिक तरीके से स्थानीय संगणना की जा सकती है, उसे [[mylegs]] कहा जाता है। इसे देखने का एक अलग तरीका यह ध्यान रखना है कि विचलन भेष में कोडिफरेंशियल है। अर्थात्, विचलन अभिव्यक्ति से मेल खाता है <math>\star d\star</math> साथ <math>d</math> [[एक समारोह का अंतर]] और <math>\star</math> [[हॉज स्टार]]। हॉज स्टार, इसके निर्माण से, वॉल्यूम फॉर्म को सभी सही जगहों पर प्रकट होने का कारण बनता है। | ||
== [[टेन्सर]] | == [[टेन्सर]] का विचलन == | ||
डायवर्जेंस को टेंसर्स के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है। आइंस्टीन संकेतन में, एक प्रतिपरिवर्ती सदिश का विचलन {{mvar|F{{isup|μ}}}} द्वारा दिया गया है | डायवर्जेंस को टेंसर्स के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है। आइंस्टीन संकेतन में, एक प्रतिपरिवर्ती सदिश का विचलन {{mvar|F{{isup|μ}}}} द्वारा दिया गया है | ||
Revision as of 23:04, 9 January 2023
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सदिश कलन में, विचलन एक सदिश संचालिका है जो एक सदिश क्षेत्र पर संचालित होता है, प्रत्येक बिंदु पर सदिश क्षेत्र के स्रोत की मात्रा देने वाले एक अदिश क्षेत्र का उत्पादन करता है। अधिक तकनीकी रूप से, विचलन किसी दिए गए बिंदु के चारों ओर एक असीम मात्रा से सदिश क्षेत्र के बाहरी प्रवाह की मात्रा घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है।
उदाहरण के तौर पर, हवा को गर्म या ठंडा होने पर विचार करें। प्रत्येक बिंदु पर हवा का वेग एक सदिश क्षेत्र को परिभाषित करता है। जबकि हवा एक क्षेत्र में गर्म होती है, यह सभी दिशाओं में फैलती है, और इस प्रकार वेग क्षेत्र उस क्षेत्र से बाहर की ओर इशारा करता है। इस प्रकार उस क्षेत्र में वेग क्षेत्र के विचलन का सकारात्मक मूल्य होगा। जबकि हवा ठंडी होती है और इस प्रकार सिकुड़ती है, वेग के विचलन का नकारात्मक मान होता है।
विचलन की भौतिक व्याख्या
भौतिक दृष्टि से, सदिश क्षेत्र का अपसरण वह सीमा है जिस तक सदिश क्षेत्र प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर स्रोत की तरह व्यवहार करता है। यह इसकी बहिर्गामीता का एक स्थानीय माप है - वह सीमा जिस तक अंतरिक्ष के एक अतिसूक्ष्म क्षेत्र से बाहर निकलने वाले क्षेत्र सदिश उसमें प्रवेश करने की तुलना में अधिक हैं। एक बिंदु जिस पर फ्लक्स बहिर्गामी होता है, सकारात्मक विचलन होता है, और इसे अक्सर क्षेत्र का स्रोत कहा जाता है। एक बिंदु जिस पर फ्लक्स को अंदर की ओर निर्देशित किया जाता है, नकारात्मक विचलन होता है, और इसे अक्सर क्षेत्र का सिंक कहा जाता है। किसी दिए गए बिंदु को घेरने वाली छोटी सतह के माध्यम से क्षेत्र का प्रवाह जितना अधिक होता है, उस बिंदु पर विचलन का मान उतना ही अधिक होता है। एक बिंदु जिस पर एक संलग्न सतह के माध्यम से शून्य प्रवाह होता है, शून्य विचलन होता है।
सदिश क्षेत्र के विचलन को अक्सर तरल, तरल या गैस के वेग क्षेत्र के सरल उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान गैस के प्रत्येक बिंदु पर एक वेग, एक गति और दिशा होती है, जिसे एक सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए गैस का वेग एक सदिश क्षेत्र बनाता है। यदि किसी गैस को गर्म किया जाए तो वह फैलती है। यह सभी दिशाओं में बाहर की ओर गैस कणों की शुद्ध गति का कारण बनेगा। गैस में कोई भी बंद सतह गैस को घेरेगी जो फैल रही है, इसलिए सतह के माध्यम से गैस का बाहरी प्रवाह होगा। तो वेग क्षेत्र में हर जगह सकारात्मक विचलन होगा। इसी प्रकार यदि गैस को ठंडा किया जाए तो वह सिकुड़ेगी। किसी भी मात्रा में गैस के कणों के लिए अधिक जगह होगी, इसलिए द्रव के बाहरी दबाव से किसी भी बंद सतह के माध्यम से गैस की मात्रा का शुद्ध प्रवाह होगा। इसलिए वेग क्षेत्र में हर जगह नकारात्मक विचलन होता है। इसके विपरीत, स्थिर तापमान और दबाव पर गैस में, किसी भी बंद सतह से गैस का शुद्ध प्रवाह शून्य होता है। गैस गतिमान हो सकती है, लेकिन किसी भी बंद सतह में प्रवाहित होने वाली गैस की आयतन दर बाहर बहने वाली आयतन दर के बराबर होनी चाहिए, इसलिए शुद्ध प्रवाह शून्य है। इस प्रकार गैस के वेग में हर जगह शून्य विचलन होता है। एक क्षेत्र जिसमें हर जगह शून्य विचलन होता है, सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र क