समाकल रूपांतर: Difference between revisions
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गणित में, एक [[ अभिन्न |समाकल]] | गणित में, एक [[ अभिन्न |समाकल]] रूपांतर एक फ़ंक्शन को उसके मूल [[ समारोह स्थान |फ़ंक्शन स्थान]] से समाकलन के माध्यम से दूसरे फ़ंक्शन स्पेस में मैप करता है, जहाँ मूल फ़ंक्शन के कुछ गुणों को मूल फ़ंक्शन स्पेस की तुलना में अधिक आसानी से वर्णन और हेरफेर किया जा सकता है। रूपांतरित फ़ंक्शन को सामान्यतः 'इनवर्स परिवर्तन' का उपयोग करके मूल फ़ंक्शन स्थान पर वापस मैप किया जा सकता है। | ||
== सामान्य रूप == | == सामान्य रूप == | ||
एक समाकल | एक समाकल रूपांतर निम्नलिखित रूप का कोई भी [[ परिवर्तन (फ़ंक्शन) |रूपांतर(फ़ंक्शन)]] T है: | ||
:<math>(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt</math> | :<math>(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt</math> | ||
इस रूपांतरण का इनपुट एक फंक्शन f है, और आउटपुट एक अन्य फंक्शन <math>Tf</math> है। समाकलित रूपान्तरण एक विशेष प्रकार का गणितीय संकारक है। | इस रूपांतरण का इनपुट एक फंक्शन f है, और आउटपुट एक अन्य फंक्शन <math>Tf</math> है। समाकलित रूपान्तरण एक विशेष प्रकार का गणितीय संकारक है। | ||
कई उपयोगी समाकल | कई उपयोगी समाकल रूपांतर हैं। प्रत्येक को फ़ंक्शन K के दो वेरिएबल्स, कर्नेल फ़ंक्शन, समाकल कर्नेल या ट्रांसफ़ॉर्म के न्यूक्लियस के विकल्प द्वारा निर्दिष्ट किया गया है | ||
कुछ कर्नेल में एक | कुछ कर्नेल में एक व्युत्क्रम कर्नेल <math>K^{-1}( u,t )</math> होता है जो (मोटे तौर पर बोलना) एक व्युत्क्रम रूपांतरण देता है: | ||
:<math>f(t) = \int_{u_1}^{u_2} (Tf)(u)\, K^{-1}( u,t )\, du</math> | :<math>f(t) = \int_{u_1}^{u_2} (Tf)(u)\, K^{-1}( u,t )\, du</math> | ||
एक सममित कर्नेल वह है जो दो चरों के अनुमत होने पर अपरिवर्तित रहता है; यह एक कर्नेल फ़ंक्शन <math>K</math> है | एक सममित कर्नेल वह है जो दो चरों के अनुमत होने पर अपरिवर्तित रहता है; यह एक कर्नेल फ़ंक्शन <math>K</math> है जैसे कि <math>K(t, u) = K(u, t)</math>. समाकल समीकरणों के सिद्धांत में, सममित कर्नेल स्व-संलग्न ऑपरेटरों के अनुरूप होती है।<ref> Chapter 8.2, Methods of Theoretical Physics Vol. I (Morse & Feshbach)</ref> | ||
== प्रेरणा == | == प्रेरणा == | ||
समस्याओं के कई वर्ग हैं जिन्हें हल करना मुश्किल है - या कम से कम काफी बोझिल बीजगणितीय रूप से - उनके मूल प्रतिनिधित्व में। एक समाकल रूपांतर एक समीकरण को उसके मूल डोमेन से दूसरे डोमेन में मैप करता है, जिसमें मूल डोमेन की तुलना में समीकरण में हेरफेर करना और उसे हल करना बहुत आसान हो सकता है। इसके बाद प्राप्त हल को समाकल परिवर्तन के व्युत्क्रम के साथ मूल डोमेन पर वापस मैप किया जा सकता है। | समस्याओं के कई वर्ग हैं जिन्हें हल करना मुश्किल है - या कम से कम काफी बोझिल बीजगणितीय रूप से - उनके मूल प्रतिनिधित्व में। एक समाकल रूपांतर एक समीकरण को उसके मूल डोमेन से दूसरे डोमेन में मैप करता है, जिसमें मूल डोमेन की तुलना में समीकरण में हेरफेर करना और उसे हल करना बहुत आसान हो सकता है। इसके बाद प्राप्त हल को समाकल परिवर्तन के व्युत्क्रम के साथ मूल डोमेन पर वापस मैप किया जा सकता है। | ||
Revision as of 21:14, 7 January 2023
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गणित में, एक समाकल रूपांतर एक फ़ंक्शन को उसके मूल फ़ंक्शन स्थान से समाकलन के माध्यम से दूसरे फ़ंक्शन स्पेस में मैप करता है, जहाँ मूल फ़ंक्शन के कुछ गुणों को मूल फ़ंक्शन स्पेस की तुलना में अधिक आसानी से वर्णन और हेरफेर किया जा सकता है। रूपांतरित फ़ंक्शन को सामान्यतः 'इनवर्स परिवर्तन' का उपयोग करके मूल फ़ंक्शन स्थान पर वापस मैप किया जा सकता है।
सामान्य रूप
एक समाकल रूपांतर निम्नलिखित रूप का कोई भी रूपांतर(फ़ंक्शन) T है:
इस रूपांतरण का इनपुट एक फंक्शन f है, और आउटपुट एक अन्य फंक्शन है। समाकलित रूपान्तरण एक विशेष प्रकार का गणितीय संकारक है।
कई उपयोगी समाकल रूपांतर हैं। प्रत्येक को फ़ंक्शन K के दो वेरिएबल्स, कर्नेल फ़ंक्शन, समाकल कर्नेल या ट्रांसफ़ॉर्म के न्यूक्लियस के विकल्प द्वारा निर्दिष्ट किया गया है
कुछ कर्नेल में एक व्युत्क्रम कर्नेल होता है जो (मोटे तौर पर बोलना) एक व्युत्क्रम रूपांतरण देता है:
एक सममित कर्नेल वह है जो दो चरों के अनुमत होने पर अपरिवर्तित रहता है; यह एक कर्नेल फ़ंक्शन है जैसे कि