लाई समूह: Difference between revisions

Revision as of 14:24, 14 December 2022

गणित में, लाई समूह (उच्चारण /liː/ LEE) एक समूह (गणित) है जो अवलकनीय बहुविध भी है। बहुविध समष्टि है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन समष्टि जैसा दिखता है, जबकि समूह द्विआधारी संक्रिया की अमूर्त अवधारणा को अतिरिक्त गुणों के साथ परिभाषित करते हैं, इसे अमूर्त अर्थ में "परिवर्तन" के रूप में माना जाना चाहिए, उदाहरण के लिए गुणन और लेना व्युत्क्रम (विभाजन), या समकक्ष, जोड़ की अवधारणा और व्युत्क्रम (घटाव) लेना। इन दो विचारों के संयोजन से, निरंतर समूह प्राप्त होता है जहां गुणन बिंदु और उनके व्युत्क्रम निरंतर होते हैं। यदि व्युत्क्रमों का गुणन और लेना सुचारू (विभेदक) भी है, तो लाई समूह प्राप्त होता है।

लाई समूह निरंतर समरूपता की अवधारणा के लिए प्राकृतिक प्रतिरूप प्रदान करते हैं, जिसका प्रसिद्ध उदाहरण तीन आयामों में घूर्णी समरूपता है (विशेष आयतीय समूह द्वारा दिया गया) ${\text{SO}}(3)$ ) आधुनिक गणित और भौतिकी के कई हिस्सों में लाई समूहों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

लाई समूह सबसे पहले आव्यूह (गणित) उपसमूहों $G$ , ${GL}_{n}$

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 === आयाम एक और दो ===
-आयाम एक के साथ केवल जुड़े हुए समूह ही वास्तविक रेखा हैं <math>\mathbb{R}</math> (समूह संचालन के अतिरिक्त होने के साथ) और पूर्ण के साथ सम्मिश्र संख्याओं का वृत्त समूह <math>S^1</math>(समूह संचालन गुणन के साथ)। <math>S^1</math>समूह को अक्सर के <math>U(1)</math> रूप में निरूपित किया जाता है , का समूह <math>1\times 1</math> एकात्मक आव्यूह।
+आयाम एक के साथ केवल जुड़े हुए समूह ही वास्तविक रेखा हैं <math>\mathbb{R}</math> (समूह संचालन के अतिरिक्त होने के साथ) और पूर्ण के साथ सम्मिश्र संख्याओं का वृत्त समूह <math>S^1</math>(समूह संचालन गुणन के साथ)। <math>S^1</math>समूह को प्रायः के <math>U(1)</math> रूप में निरूपित किया जाता है , का समूह <math>1\times 1</math> एकात्मक आव्यूह।
 दो आयामों में, यदि हम केवल जुड़े हुए समूहों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो उन्हें उनके लाई बीजगणित द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। (समरूपता तक) आयाम दो के केवल दो लाई बीजगणित हैं। जुड़े बस जुड़े हुए लाई समूह हैं <math>\mathbb{R}^2</math> (समूह संचालन के साथ सदिश जोड़ रहा है) और एफ़िन समूह पहले आयाम में, पहले उदाहरणों के तहत पिछले उपखंड में वर्णित है।
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 # लाई समूह की पहचान पर किसी भी स्पर्शरेखा सदिश को कई गुना के अन्य बिंदुओं पर स्थानांतरित करके बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र में बढ़ाया जा सकता है। विशेष रूप से, पहचान पर स्पर्शरेखा समष्टि के तत्व v का बायाँ अपरिवर्तनीय विस्तार ''v''^<sub>''g''</sub> = ''L<sub>g</sub>''<sub>*</sub>''v'' द्वारा परिभाषित सदिश क्षेत्र है। यह [[स्पर्शरेखा स्थान|स्पर्शरेखा समष्टि]] ''T<sub>e</sub>G'' की पहचान करता है बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों के समष्टि के साथ पहचान पर, और इसलिए पहचान पर स्पर्शरेखा समष्टि को लाइ बीजगणित में बनाता है, जिसे G का लाई बीजगणित कहा जाता है, जिसे सामान्यतः फ्रैक्टुर <math>\mathfrak{g}.</math> (टाइपफेस उप-वर्गीकरण) द्वारा निरूपित किया जाता है।  इस प्रकार <math>\mathfrak{g}</math> लाई कोष्ठक  [v, w] = [v^, w^] द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है।
-यह लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> परिमित-आयामी है और इसका कई गुना G के समान आयाम है। G का लाई बीजगणित G को स्थानीय समरूपता तक निर्धारित करता है, जहां दो लाई समूहों को 'स्थानीय रूप से समरूप' कहा जाता है यदि वे पहचान तत्व के पास समान दिखते हैं। लाई समूहों के बारे में समस्याएं अक्सर लाई बीजगणित के लिए संबंधित समस्या को हल करके हल की जाती हैं, और समूहों के परिणाम सामान्यतः आसानी से अनुसरण करते हैं। उदाहरण के लिए, साधारण लाई समूहों को सामान्यतः संबंधित लाई बीजगणित को पहले वर्गीकृत करके वर्गीकृत किया जाता है।
+यह लाई बीजगणित <math>\mathfrak{g}</math> परिमित-आयामी है और इसका कई गुना G के समान आयाम है। G का लाई बीजगणित G को स्थानीय समरूपता तक निर्धारित करता है, जहां दो लाई समूहों को 'स्थानीय रूप से समरूप' कहा जाता है यदि वे पहचान तत्व के पास समान दिखते हैं। लाई समूहों के बारे में समस्याएं प्रायः लाई बीजगणित के लिए संबंधित समस्या को हल करके हल की जाती हैं, और समूहों के परिणाम सामान्यतः आसानी से अनुसरण करते हैं। उदाहरण के लिए, साधारण लाई समूहों को सामान्यतः संबंधित लाई बीजगणित को पहले वर्गीकृत करके वर्गीकृत किया जाता है।
 हम ''T<sub>e</sub>''  पर लाई बीजगणित संरचना को भी परिभाषित कर सकते हैं बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र के बजाय सही अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र का उपयोग करना। यह समान लाई बीजगणित की ओर जाता है, क्योंकि G पर व्युत्क्रम मानचित्र का उपयोग दाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों के साथ बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों की पहचान करने के लिए किया जा सकता है, और स्पर्शरेखा स्थान''T<sub>e</sub>'' पर -1 के रूप में कार्य करता है।
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 {{main|लाई समूह का प्रतिनिधित्व}}
 {{see also|कॉम्पैक्ट समूह # जुड़े हुए कॉम्पैक्ट लाई समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत|लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व}}
-लाई समूहों के अध्ययन का महत्वपूर्ण पहलू उनका निरूपण है, अर्थात जिस तरह से वे सदिश समष्टि पर (रैखिक रूप से) कार्य कर सकते हैं। भौतिकी में, लाई समूह अक्सर भौतिक प्रणाली की समरूपता को कूटबद्ध करते हैं। प्रणाली का विश्लेषण करने में मदद करने के लिए जिस तरह से कोई इस समरूपता का उपयोग करता है वह अक्सर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के माध्यम से होता है। उदाहरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी में समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें, <math>\hat{H}\psi = E\psi</math>,  मान लें कि प्रणाली में समरूपता के रूप में घूर्णन समूह SO(3) है, जिसका अर्थ हैमिल्टनियन संक्रिया है <math>\hat{H}</math> तरंग फलन <math>\psi</math> पर SO(3) की क्रिया के साथ संचार करता है। (इस तरह की प्रणाली का महत्वपूर्ण उदाहरण [[हाइड्रोजन परमाणु]] है, जिसमें एक एकल गोलाकार कक्षीय है।) इस धारणा का जरूरी अर्थ यह नहीं है कि समाधान <math>\psi</math> घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय कार्य हैं। बल्कि, इसका अर्थ है कि समाधानों का समष्टि <math>\hat{H}\psi = E\psi</math> घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है (प्रत्येक निश्चित मान के लिए <math>E</math>)। इसलिए, यह समष्टि SO(3) का प्रतिनिधित्व करता है। ये अभ्यावेदन को वर्गीकृत किया गया है और वर्गीकरण समस्या के पर्याप्त सरलीकरण की ओर ले जाता है, अनिवार्य रूप से एक त्रि-आयामी आंशिक अंतर समीकरण को एक-आयामी साधारण अंतर समीकरण में परिवर्तित करता है।
+लाई समूहों के अध्ययन का महत्वपूर्ण पहलू उनका निरूपण है, अर्थात जिस तरह से वे सदिश समष्टि पर (रैखिक रूप से) कार्य कर सकते हैं। भौतिकी में, लाई समूह प्रायः भौतिक प्रणाली की समरूपता को कूटबद्ध करते हैं। प्रणाली का विश्लेषण करने में मदद करने के लिए जिस तरह से कोई इस समरूपता का उपयोग करता है वह प्रायः प्रतिनिधित्व सिद्धांत के माध्यम से होता है। उदाहरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी में समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें, <math>\hat{H}\psi = E\psi</math>,  मान लें कि प्रणाली में समरूपता के रूप में घूर्णन समूह SO(3) है, जिसका अर्थ हैमिल्टनियन संक्रिया है <math>\hat{H}</math> तरंग फलन <math>\psi</math> पर SO(3) की क्रिया के साथ संचार करता है। (इस तरह की प्रणाली का महत्वपूर्ण उदाहरण [[हाइड्रोजन परमाणु]] है, जिसमें एक एकल गोलाकार कक्षीय है।) इस धारणा का जरूरी अर्थ यह नहीं है कि समाधान <math>\psi</math> घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय कार्य हैं। बल्कि, इसका अर्थ है कि समाधानों का समष्टि <math>\hat{H}\psi = E\psi</math> घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है (प्रत्येक निश्चित मान के लिए <math>E</math>)। इसलिए, यह समष्टि SO(3) का प्रतिनिधित्व करता है। ये अभ्यावेदन को वर्गीकृत किया गया है और वर्गीकरण समस्या के पर्याप्त सरलीकरण की ओर ले जाता है, अनिवार्य रूप से एक त्रि-आयामी आंशिक अंतर समीकरण को एक-आयामी साधारण अंतर समीकरण में परिवर्तित करता है।
 आनुषंगिक संक्षिप्त लाइ समूह K ( SO(3) के अभी-उल्लेखित मामले सहित) का मामला विशेष रूप से सुविधाजनक है।<ref>{{harvnb|Hall|2015}} Part III</ref> उस स्थिति में, K का प्रत्येक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है। अलघुकरणीय अभ्यावेदन, बदले में, हरमन वेइल द्वारा वर्गीकृत किए गए थे। वर्गीकरण प्रतिनिधित्व के "उच्चतम वजन" के संदर्भ में है। यह वर्गीकरण अर्धसरल लाई बीजगणित के निरूपण के वर्गीकरण से निकटता से संबंधित है।
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 == अनंत-आयामी लाई समूह ==
-लाई समूहों को अक्सर परिमित-आयामी के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन अनंत-आयामी होने के अलावा, ऐसे कई समूह हैं जो लाई समूहों के समान हैं। अनंत-आयामी लाई समूहों को परिभाषित करने का सबसे आसान तरीका उन्हें स्थानीय रूप से बनच रिक्त समष्टि (परिमित-आयामी मामले में यूक्लिडियन समष्टि के विपरीत) पर प्रतिरूप करना है, और इस मामले में बहुत से बुनियादी सिद्धांत परिमित-आयामी लाई समूह के समान हैं। हालांकि यह कई अनुप्रयोगों के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि अनंत-आयामी लाई समूहों के कई प्राकृतिक उदाहरण बनच बहुविध नहीं हैं। इसके बजाय किसी को अधिक सामान्य स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि सांस्थितिक सदिश रिक्त समष्टि पर प्रतिरूपण किए गए लाई समूहों को परिभाषित करने की आवश्यकता है। इस मामले में लाई बीजगणित और लाई समूह के बीच संबंध बल्कि सूक्ष्म हो जाता है, और परिमित-आयामी लाई समूहों के बारे में कई परिणाम अब पकड़ में नहीं आते हैं।
+लाई समूहों को प्रायः परिमित-आयामी के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन अनंत-आयामी होने के अलावा, ऐसे कई समूह हैं जो लाई समूहों के समान हैं। अनंत-आयामी लाई समूहों को परिभाषित करने का सबसे आसान तरीका उन्हें स्थानीय रूप से बनच रिक्त समष्टि (परिमित-आयामी मामले में यूक्लिडियन समष्टि के विपरीत) पर प्रतिरूप करना है, और इस मामले में बहुत से बुनियादी सिद्धांत परिमित-आयामी लाई समूह के समान हैं। हालांकि यह कई अनुप्रयोगों के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि अनंत-आयामी लाई समूहों के कई प्राकृतिक उदाहरण बनच बहुविध नहीं हैं। इसके बजाय किसी को अधिक सामान्य स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि सांस्थितिक सदिश रिक्त समष्टि पर प्रतिरूपण किए गए लाई समूहों को परिभाषित करने की आवश्यकता है। इस मामले में लाई बीजगणित और लाई समूह के बीच संबंध बल्कि सूक्ष्म हो जाता है, और परिमित-आयामी लाई समूहों के बारे में कई परिणाम अब पकड़ में नहीं आते हैं।
 साहित्य अपनी शब्दावली में पूरी तरह से समान नहीं है, क्योंकि वास्तव में अनंत-आयामी समूहों के कौन से गुण समूह को लाई समूह में उपसर्ग के लिए अर्हता प्राप्त करते हैं। मामलों के लाई बीजगणित पक्ष पर, चीजें सरल होती हैं क्योंकि लाई बीजगणित में उपसर्ग के लिए योग्यता मानदंड पूरी तरह से बीजगणितीय हैं। उदाहरण के लिए, अनंत-आयामी लाई बीजगणित में संबंधित लाई समूह हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। अर्थात्, लाई बीजगणित के अनुरूप समूह हो सकता है, लेकिन यह लाई समूह कहलाने के लिए पर्याप्त अच्छा नहीं हो सकता है, या समूह और लाई बीजगणित के बीच का संबंध पर्याप्त अच्छा नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, विफलता) पहचान के प्रतिवेश पर होने के लिए घातीय मानचित्र)। यह काफी अच्छा है जिसे सार्वभौमिक रूप से परिभाषित नहीं किया गया है।

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