अस्पष्ट समीकरण

गणित में, अस्पष्ट समीकरण $R(x_{1},\dots ,x_{n})=0,$ के रूप का एक समीकरण है जहाँ R कई चरों (प्रायः बहुपद) का एक फलन है। उदाहरण के लिए $x^{2}+y^{2}-1=0$, वृत्त का अस्पष्ट समीकरण है|

अस्पष्ट समीकरण एक फलन है जिसे एक अस्पष्ट समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है, जो फलन के मान के रूप में माने जाने वाले चरों में से एक से संबंधित है, अन्य को फलन के प्रमाण के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, समीकरण $x^{2}+y^{2}-1=0$ एकक वृत्त को परिभाषित करता है जो y को x के रूप में एक अस्पष्ट समीकरण में परिभाषित करता है, जहाँ −1 ≤ x ≤ 1, तथा y गैर-नकारात्मक मूल्यों तक सीमित है।

अस्पष्ट समीकरण प्रमेय ऐसी स्थितियाँ प्रदान करता है जिसके तहत कुछ प्रकार के अस्पष्ट समीकरण अस्पष्ट फलन को परिभाषित करते हैं, अर्थात् वे जो बहुविकल्पीय समीकरणों को शून्य के रखकर के बराबर प्राप्त होते हैं और लगातार अवलकनीय होते हैं।

उदाहरण

व्युत्क्रम समीकरण

अस्पष्ट समीकरण का एक सामान्य प्रकार व्युत्क्रम समीकरण है। सभी समीकरणों में एकमात्र व्युत्क्रम समीकरण नहीं होता है। यदि g, x का एक फलन है जिसका एकमात्र व्युत्क्रम है, फिर g के व्युत्क्रम समीकरण को g⁻¹ कहा जाता है, समीकरण का हल देने वाला एकमात्र फलन है

$y=g(x)$

x के लिये के y अनुसार, यह समाधान तब इस रूप में लिखा जा सकता है

$x=g^{-1}(y)\,.$

g⁻¹ को g के व्युत्क्रम रूप में परिभाषित करना अस्पष्ट परिभाषा है। g के कुछ समीकरणों के लिए , g⁻¹(y) एक बंद रूप फलन के रूप में स्पष्ट लिखा जा सकता है - उदाहरण के लिए, यदि g(x) = 2x − 1, फिर g⁻¹(y) = 1/2(y + 1) | हालांकि, यह प्रायः संभव नहीं होता है, या केवल एक नया अंकन शुरू करने से होता है (जैसा कि नीचे गुणनफल लॉग उदाहरण में है)।

सहज रूप से, g आश्रित और स्वतंत्र चरों की भूमिकाओं को आपस में बदलकर एक व्युत्क्रम समीकरण प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण: गुणनफल लॉग एक अस्पष्ट समीकरण है, जो x के लिए समीकरण y − xe^x = 0 का समाधान देता है |

बीजगणितीय समीकरण

Main article: Algebraic function

बीजगणितीय समीकरण एक ऐसा फलन है जो बहुपद समीकरण को संतुष्ट करता है जिसके गुणांक स्वयं बहुपद होते हैं। उदाहरण के लिए, एक चर x में बीजगणितीय फलन y का इस समीकरण का समाधान देता है

$a_{n}(x)y^{n}+a_{n-1}(x)y^{n-1}+\cdots +a_{0}(x)=0\,,$

जहां गुणांक a_i(x), x का बहुपद फलन हैं| इस बीजगणितीय फलन को दाहिने पक्ष के रूप में हल समीकरण y = f(x) रूप में लिखा जा सकता है | f एक मल्टी-वैल्यूड अस्पष्ट समीकरण है |

बीजगणितीय समीकरण गणितीय विश्लेषण और बीजगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। बीजगणितीय समीकरण का सरल उदाहरण इकाई वृत्त समीकरण के बाईं ओर दिया गया है:

$x^{2}+y^{2}-1=0\,.$

y के लिए हल करने पर स्पष्ट समाधान देता है:

$y=\pm <!--\; \pm \; -->$