अवकलज: Difference between revisions
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गणना यह दर्शाती है {{math|''f''}} एक अवकलनीय फलन है जिसका व्युत्पन्न है <math>x</math> द्वारा दिया गया है | गणना यह दर्शाती है {{math|''f''}} एक अवकलनीय फलन है जिसका व्युत्पन्न है <math>x</math> द्वारा दिया गया है | ||
:<math>f'(x) = \begin{cases} +2x, & \text{if }x\ge 0 \\ -2x, & \text{if }x \le 0.\end{cases}</math> | :<math>f'(x) = \begin{cases} +2x, & \text{if }x\ge 0 \\ -2x, & \text{if }x \le 0.\end{cases}</math> | ||
{{math|''f'''(''x'')}} पर निरपेक्ष मूल्य फलन का दुगुना है <math>x</math>, और इसका शून्य पर व्युत्पन्न नहीं है। समूल्य उदाहरण दिखाते हैं कि एक फलन में a हो सकता है {{math|''k''}}प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए वें व्युत्पन्न {{math|''k''}} लेकिन नहीं {{math|(''k'' + 1)}}वें व्युत्पन्न। एक समारोह जिसमें है {{math|''k''}} उत्तरोत्तर व्युत्पन्न कहलाते हैं{{math|k}} बार अलग करने योग्य है। अगर इसके | {{math|''f'''(''x'')}} पर निरपेक्ष मूल्य फलन का दुगुना है <math>x</math>, और इसका शून्य पर व्युत्पन्न नहीं है। समूल्य उदाहरण दिखाते हैं कि एक फलन में a हो सकता है {{math|''k''}}प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए वें व्युत्पन्न {{math|''k''}} लेकिन नहीं {{math|(''k'' + 1)}}वें व्युत्पन्न। एक समारोह जिसमें है {{math|''k''}} उत्तरोत्तर व्युत्पन्न कहलाते हैं{{math|k}} बार अलग करने योग्य है। अगर इसके अपवाद {{math|''k''}}वां अवकलज सतत है, तो फलन अवकलनीयता वर्ग का कहा जाता है {{math|''C<sup>k</sup>''}}. (यह होने की तुलना में एक मजबूत स्थिति है {{math|''k''}} व्युत्पन्न, जैसा कि दूसरे उदाहरण द्वारा दिखाया गया है {{slink| सहजता|उदहारण}}।) एक ऐसा फलन जिसके अपरिमित रूप से अनेक अवकलज होते हैं, अपरिमित रूप से अवकलनीय या सहजता कहलाता है। | ||
वास्तविक रेखा पर, प्रत्येक बहुपद फलन अपरिमित रूप से अवकलनीय होता है। मूल्यक [[भेदभाव नियम|विवेक नियमों]] द्वारा, यदि श्रेणी का बहुपद {{math|''n''}} विभेदित है {{math|''n''}} समय, तो यह एक [[निरंतर कार्य]] बन जाता है। इसके बाद के सभी व्युत्पन्न समूल्य रूप से शून्य हैं। विशेष रूप से, वे उपस्थित हैं, इसलिए बहुपद सहज कार्य हैं। | वास्तविक रेखा पर, प्रत्येक बहुपद फलन अपरिमित रूप से अवकलनीय होता है। मूल्यक [[भेदभाव नियम|विवेक नियमों]] द्वारा, यदि श्रेणी का बहुपद {{math|''n''}} विभेदित है {{math|''n''}} समय, तो यह एक [[निरंतर कार्य]] बन जाता है। इसके बाद के सभी व्युत्पन्न समूल्य रूप से शून्य हैं। विशेष रूप से, वे उपस्थित हैं, इसलिए बहुपद सहज कार्य हैं। | ||
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=== '''<u>दिशात्मक व्युत्पन्न</u>''' === | === '''<u>दिशात्मक व्युत्पन्न</u>''' === | ||
{{Main|Directional derivative}} | {{Main|Directional derivative}} | ||
यदि f 'R' | यदि f ''''R'''<sup>n</sup>' पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है, तो f का आंशिक व्युत्पन्न निर्देशांक अक्षों की दिशा में इसकी भिन्नता को मापता है। उदाहरण के लिए, यदि f, x और y का एक फलन है, तो इसका आंशिक अवकलज f में x दिशा और y दिशा में परिवर्तन को मापता है। यद्यपि, वे सीधे किसी अन्य दिशा में f की भिन्नता को मापते नहीं हैं, जैसे कि विकर्ण रेखा के साथ {{nowrap|1=''y'' = ''x''}}. इन्हें दिशात्मक व्युत्पन्न का उपयोग करके मापा जाता है। एक संवाहक चुनें | ||
:<math>\mathbf{v} = (v_1,\ldots,v_n).</math> | :<math>\mathbf{v} = (v_1,\ldots,v_n).</math> | ||
बिंदु x पर v की दिशा में 'f'' की दिशात्मक व्युत्पत्ति सीमा है | बिंदु x पर v की दिशा में 'f'' की दिशात्मक व्युत्पत्ति सीमा है | ||
:<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math> | :<math>D_{\mathbf{v}}{f}(\mathbf{x}) = \lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\mathbf{x} + h\mathbf{v}) - f(\mathbf{x})}{h}}.</math> | ||
कुछ मामलों में सदिश की लंबाई बदलने के बाद दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना या अनुमूल्य लगाना आसान हो सकता है। | कुछ मामलों में सदिश की लंबाई बदलने के बाद दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना या अनुमूल्य लगाना आसान हो सकता है। ईकाई संवाहक की दिशा में एक दिशात्मक व्युत्पन्न की गणना में समस्या को संचालन करने के लिए प्रायः ऐसा किया जाता है। यह कैसे काम करता है यह देखने के लिए, मूल्य लीजिए {{nowrap|1='''v''' = ''λ'''''u'''}} जहाँ u, v की दिशा में एक इकाई सदिश है। स्थानापन्न {{nowrap|1=''h'' = ''k''/''λ''}} अंतर भागफल में अंतर भागफल बन जाता है: | ||
:<math>\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda} | :<math>\frac{f(\mathbf{x} + (k/\lambda)(\lambda\mathbf{u})) - f(\mathbf{x})}{k/\lambda} | ||
= \lambda\cdot\frac{f(\mathbf{x} + k\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{k}.</math> | = \lambda\cdot\frac{f(\mathbf{x} + k\mathbf{u}) - f(\mathbf{x})}{k}.</math> | ||
यह ' | यह ''''u'''<nowiki/>' के संबंध में ''f'' के दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए अंतर भागफल का λ गुना है। इसके अपवाद, जब h शून्य की शैली प्रवृत्त होता है तो सीमा को लेना वैसा ही है जैसे कि k को शून्य की शैली ले जाने की सीमा लेना क्योंकि h और k एक दूसरे के गुणक हैं। इसलिए, {{nowrap|1=''D''<sub>'''v'''</sub>(''f'') = λ''D''<sub>'''u'''</sub>(''f'')}}. इस पुनर्विक्रय संपत्ति के कारण, दिशात्मक व्युत्पन्न को प्रायः ईकाई संवाहक के लिए ही मूल्या जाता है। | ||
यदि f के सभी आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित हैं और 'x' पर निरंतर हैं, तो वे सूत्र द्वारा 'v' दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न निर्धारित करते हैं: | यदि f के सभी आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित हैं और 'x' पर निरंतर हैं, तो वे सूत्र द्वारा 'v' दिशा में f का दिशात्मक व्युत्पन्न निर्धारित करते हैं: | ||
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एकल-चर व्युत्पन्न की तरह, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} चुना जाता है ताकि इस सन्निकटन में त्रुटि यथासंभव कम हो। | एकल-चर व्युत्पन्न की तरह, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} चुना जाता है ताकि इस सन्निकटन में त्रुटि यथासंभव कम हो। | ||
यदि n और m दोनों एक हैं, तो अवकलज {{nowrap|''f'' ′(''a'')}} एक संख्या और अभिव्यक्ति है {{nowrap|''f'' ′(''a'')''v''}} दो संख्याओं का गुणनफल है। लेकिन उच्च आयामों में, यह असंभव है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक संख्या होना। यदि यह एक संख्या थी, तो {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} आर में एक संवाहक होगा<sup>n</sup> जबकि अन्य पद 'R' में सदिश होंगे<sup>m</sup>, और इसलिए सूत्र का कोई अर्थ नहीं होगा। रैखिक सन्निकटन सूत्र को समझने के लिए, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक ऐसा कार्य होना चाहिए जो आर में | यदि n और m दोनों एक हैं, तो अवकलज {{nowrap|''f'' ′(''a'')}} एक संख्या और अभिव्यक्ति है {{nowrap|''f'' ′(''a'')''v''}} दो संख्याओं का गुणनफल है। लेकिन उच्च आयामों में, यह असंभव है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक संख्या होना। यदि यह एक संख्या थी, तो {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} आर में एक संवाहक होगा<sup>n</sup> जबकि अन्य पद 'R' में सदिश होंगे<sup>m</sup>, और इसलिए सूत्र का कोई अर्थ नहीं होगा। रैखिक सन्निकटन सूत्र को समझने के लिए, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक ऐसा कार्य होना चाहिए जो आर में संवाहकभेजता है<sup>n</sup> 'R' में सदिशों के लिए<sup>मी</sup>, और {{nowrap|''f'' ′('''a''')'''v'''}} v पर मूल्यांकन किए गए इस कार्य को निरूपित करना चाहिए। | ||
यह निर्धारित करने के लिए कि यह किस प्रकार का कार्य है, ध्यान दें कि रैखिक सन्निकटन सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है | यह निर्धारित करने के लिए कि यह किस प्रकार का कार्य है, ध्यान दें कि रैखिक सन्निकटन सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है | ||
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इससे पता चलता है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सदिश समष्टि R से एक रैखिक परिवर्तन है<sup>n</sup> सदिश स्थान 'R' के लिए<sup>मी</sup>. वास्तव में, अनुमूल्यों में त्रुटि को मापकर इसे एक सटीक व्युत्पत्ति बनाना संभव है। मूल्य लें कि इन रैखिक सन्निकटन सूत्र में त्रुटि एक स्थिर समय से बंधी है ||'v'||, जहां स्थिरांक 'v' से स्वतंत्र है, लेकिन लगातार 'a' पर निर्भर करता है। फिर, एक उपयुक्त त्रुटि शब्द जोड़ने के बाद, उपरोक्त सभी अनुमूल्यित समूल्यताएं असमूल्यताओं के रूप में फिर से लिखी जा सकती हैं। विशेष रूप से, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक छोटी त्रुटि अवधि तक एक रैखिक परिवर्तन है। वी और डब्ल्यू शून्य की शैली बढ़ने की सीमा में, इसलिए यह एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। चूंकि हम कुल व्युत्पन्न को एक सीमा लेकर परिभाषित करते हैं क्योंकि v शून्य हो जाता है, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। | इससे पता चलता है {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सदिश समष्टि R से एक रैखिक परिवर्तन है<sup>n</sup> सदिश स्थान 'R' के लिए<sup>मी</sup>. वास्तव में, अनुमूल्यों में त्रुटि को मापकर इसे एक सटीक व्युत्पत्ति बनाना संभव है। मूल्य लें कि इन रैखिक सन्निकटन सूत्र में त्रुटि एक स्थिर समय से बंधी है ||'v'||, जहां स्थिरांक 'v' से स्वतंत्र है, लेकिन लगातार 'a' पर निर्भर करता है। फिर, एक उपयुक्त त्रुटि शब्द जोड़ने के बाद, उपरोक्त सभी अनुमूल्यित समूल्यताएं असमूल्यताओं के रूप में फिर से लिखी जा सकती हैं। विशेष रूप से, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक छोटी त्रुटि अवधि तक एक रैखिक परिवर्तन है। वी और डब्ल्यू शून्य की शैली बढ़ने की सीमा में, इसलिए यह एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। चूंकि हम कुल व्युत्पन्न को एक सीमा लेकर परिभाषित करते हैं क्योंकि v शून्य हो जाता है, {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} एक रैखिक परिवर्तन होना चाहिए। | ||
एक चर में, तथ्य यह है कि व्युत्पन्न सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, इस तथ्य से व्यक्त किया जाता है कि यह अंतर भागफलों की सीमा है। यद्यपि, सामूल्य्य अंतर भागफल उच्च आयामों में समझ में नहीं आता है क्योंकि सामान्यतः पर वैक्टरों को विभाजित करना संभव नहीं होता है। विशेष रूप से, अंतर भागफल के अंश और हर एक ही सदिश स्थान में भी नहीं हैं: अंश कोअधि क्षेत्र आर में स्थित है<sup>m</sup> जबकि हर 'R' अधि क्षेत्र में स्थित है<sup>एन</sup>. इसके | एक चर में, तथ्य यह है कि व्युत्पन्न सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, इस तथ्य से व्यक्त किया जाता है कि यह अंतर भागफलों की सीमा है। यद्यपि, सामूल्य्य अंतर भागफल उच्च आयामों में समझ में नहीं आता है क्योंकि सामान्यतः पर वैक्टरों को विभाजित करना संभव नहीं होता है। विशेष रूप से, अंतर भागफल के अंश और हर एक ही सदिश स्थान में भी नहीं हैं: अंश कोअधि क्षेत्र आर में स्थित है<sup>m</sup> जबकि हर 'R' अधि क्षेत्र में स्थित है<sup>एन</sup>. इसके अपवाद, व्युत्पन्न एक रैखिक परिवर्तन है, अंश और भाजक दोनों से एक अलग प्रकार की वस्तु। सटीक विचार करने के लिए कि {{nowrap|''f'' ′('''a''')}} सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है, एक-चर व्युत्पन्न के लिए एक अलग सूत्र को अनुकूलित करना आवश्यक है जिसमें ये समस्याएं गायब हो जाती हैं। यदि {{nowrap|''f'' : '''R''' → '''R'''}}, तो व्युत्पन्न की सामूल्य्य परिभाषा को यह दिखाने के लिए हेरफेर किया जा सकता है कि a पर f का व्युत्पन्न अद्वितीय संख्या है {{nowrap|''f'' ′(''a'')}} ऐसा है कि | ||
:<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)}{h} = 0.</math> | :<math>\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - (f(a) + f'(a)h)}{h} = 0.</math> | ||
यह इसके एकरूप है | यह इसके एकरूप है | ||
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किसी कार्य का कुल व्युत्पन्न उसी तरह एक और कार्य नहीं देता है जैसे एक-चर मामला। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बहु-परिवर्तनीय कार्य के कुल व्युत्पन्न को एकल-चर कार्य के व्युत्पन्न की तुलना में अधिक जानकारी दर्ज करनी होती है। इसके बजाय, कुल व्युत्पन्न स्रोत के [[स्पर्शरेखा बंडल]] से लक्ष्य के स्पर्शरेखा बंडल तक एक कार्य देता है। | किसी कार्य का कुल व्युत्पन्न उसी तरह एक और कार्य नहीं देता है जैसे एक-चर मामला। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बहु-परिवर्तनीय कार्य के कुल व्युत्पन्न को एकल-चर कार्य के व्युत्पन्न की तुलना में अधिक जानकारी दर्ज करनी होती है। इसके बजाय, कुल व्युत्पन्न स्रोत के [[स्पर्शरेखा बंडल]] से लक्ष्य के स्पर्शरेखा बंडल तक एक कार्य देता है। | ||
दूसरे, तीसरे, और उच्च-क्रम के कुल व्युत्पन्न का प्राकृतिक एनालॉग एक रैखिक परिवर्तन नहीं है, स्पर्शरेखा बंडल पर कोई कार्य नहीं है, और कुल व्युत्पन्न को बार-बार लेकर नहीं बनाया गया है। एक उच्च-क्रम व्युत्पन्न का एनालॉग, जिसे [[जेट (गणित)]] कहा जाता है, एक रैखिक परिवर्तन नहीं हो सकता है क्योंकि उच्च-क्रम के व्युत्पन्न सूक्ष्म ज्यामितीय जानकारी को दर्शाते हैं, जैसे अवतलता, जिसे रैखिक डेटा जैसे | दूसरे, तीसरे, और उच्च-क्रम के कुल व्युत्पन्न का प्राकृतिक एनालॉग एक रैखिक परिवर्तन नहीं है, स्पर्शरेखा बंडल पर कोई कार्य नहीं है, और कुल व्युत्पन्न को बार-बार लेकर नहीं बनाया गया है। एक उच्च-क्रम व्युत्पन्न का एनालॉग, जिसे [[जेट (गणित)]] कहा जाता है, एक रैखिक परिवर्तन नहीं हो सकता है क्योंकि उच्च-क्रम के व्युत्पन्न सूक्ष्म ज्यामितीय जानकारी को दर्शाते हैं, जैसे अवतलता, जिसे रैखिक डेटा जैसे संवाहकके रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है। यह स्पर्शरेखा बंडल पर एक कार्य नहीं हो सकता क्योंकि स्पर्शरेखा बंडल में केवल आधार स्थान और दिशात्मक व्युत्पन्न के लिए जगह होती है। क्योंकि जेट उच्च-क्रम की जानकारी प्राप्त करते हैं, वे तर्क के रूप में दिशा में उच्च-क्रम परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने वाले अतिरिक्त निर्देशांक लेते हैं। इन अतिरिक्त निर्देशांकों द्वारा निर्धारित स्थान को [[जेट बंडल]] कहा जाता है। किसी कार्य के कुल व्युत्पन्न और आंशिक व्युत्पन्न के बीच का संबंध किसी कार्य के k वें अनुक्रम जेट और k से कम या उसके एकरूप अनुक्रम के आंशिक व्युत्पन्न के बीच के संबंध में समूल्यांतर है। | ||
कुल व्युत्पन्न को बार-बार लेने से, 'आर' के लिए विशिष्ट फ्रेचेट व्युत्पन्न के उच्च संस्करण प्राप्त होते हैं।<sup>पी</सुप>. kवें क्रम के कुल अवकलज की व्याख्या मूल्यचित्र के रूप में की जा सकती है | कुल व्युत्पन्न को बार-बार लेने से, 'आर' के लिए विशिष्ट फ्रेचेट व्युत्पन्न के उच्च संस्करण प्राप्त होते हैं।<sup>पी</सुप>. kवें क्रम के कुल अवकलज की व्याख्या मूल्यचित्र के रूप में की जा सकती है | ||
Revision as of 15:02, 3 December 2022
File:Tangent to a curve.svg
एक कार्य का लेखाचित्र, काले रंग में खींचा गया है, और उस लेखाचित्र की स्पर्श रेखा, लाल रंग में खींची गई है। स्पर्शरेखा रेखा का ढलान चिह्नित बिंदु पर कार्य के व्युत्पन्न के एकरूप है।
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
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गणित में, एक वास्तविक चर के एक कार्य का व्युत्पन्न एक कार्य (निवेश मूल्य) के अपने तर्क में परिवर्तन के संबंध में कार्य मूल्य (प्रक्षेपण मूल्य) के परिवर्तन की संवेदनशीलता को मापता है। व्युत्पन्न गणना का एक मूलभूत उपकरण है। उदाहरण के लिए, समय के संबंध में गतिमूल्य वस्तु की स्थिति का व्युत्पन्न वस्तु का वेग है: यह मापता है कि समय बढ़ने पर वस्तु की स्थिति कितनी जल्दी बदल जाती है।
किसी सुचयनित निवेश मूल्य पर एकल चर के कार्य का व्युत्पन्न, जब वह उपस्थित होता है, उस बिंदु पर कार्य के लेखाचित्र पर स्पर्शरेखा का ढलान होता है। स्पर्श रेखा उस निवेश मूल्य के पास कार्य का सबसे अच्छा रेखीय सन्निकटन है। इस कारण से, व्युत्पन्न को प्रायः परिवर्तन की तात्कालिक दर के रूप में वर्णित किया जाता है, आश्रित चर में तात्कालिक परिवर्तन का अनुपात स्वतंत्र चर के अनुपात में होता है।
व्युत्पन्न को कई वास्तविक चरों के कार्य करने के लिए सामूल्य्यीकृत किया जा सकता है। इस सामूल्य्यीकरण में, व्युत्पन्न को एक रैखिक परिवर्तन के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जिसका लेखाचित्र (उचित अनुवाद के बाद) मूल कार्य के लेखाचित्र के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है। जैकबियन आव्यूह (गणित) है जो स्वतंत्र और निर्भर चर के विकल्प द्वारा दिए गए आधार के संबंध में इस रैखिक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। इसकी गणना स्वतंत्र चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में की जा सकती है। कई चरों के वास्तविक-मूल्यवान कार्य के लिए, जेकोबियन आव्यूह प्रवणता संवाहक में कम हो जाता है।
व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को विवेक कहा जाता है। विपत्ति प्रक्र