लघुगणकीय अवकलन

For the derivative, see Logarithmic derivative.

गणना में, लघुगणकीय विभेदन या लघुगणक लेकर विभेदन एक ऐसी विधि है जिसका उपयोग किसी फ़ंक्शन के लघुगणकीय व्युत्पन्न को नियोजित करके व्युत्पन्न फ़ंक्शन (गणित) के लिए किया जाता है। f,

$$(\ln f)'={\frac {f'}{f}}\quad \implies \quad f'=f\cdot (\ln f)'.$$

तकनीक अक्सर उन मामलों में निष्पादित की जाती है जहां फ़ंक्शन के बजाय किसी फ़ंक्शन के लघुगणक को अलग करना आसान होता है। यह आमतौर पर उन मामलों में होता है जहां रुचि का कार्य कई भागों के उत्पाद से बना होता है, ताकि एक लघुगणकीय परिवर्तन इसे अलग-अलग हिस्सों के योग में बदल दे (जिसे अलग करना बहुत आसान है)। यह तब भी उपयोगी हो सकता है जब इसे चर या फ़ंक्शंस की शक्ति तक बढ़ाए गए फ़ंक्शंस पर लागू किया जाता है। लघुगणक विभेदन उत्पादों को योगों में और विभाजनों को घटावों में बदलने के लिए श्रृंखला नियम के साथ-साथ लघुगणक के गुणों (विशेष रूप से, प्राकृतिक लघुगणक, या आधार ई (गणित) के लघुगणक) पर निर्भर करता है। सिद्धांत को, कम से कम आंशिक रूप से, लगभग सभी भिन्न-भिन्न कार्यों के विभेदन में लागू किया जा सकता है, बशर्ते कि ये कार्य गैर-शून्य हों।

अवलोकन

विधि का उपयोग इसलिए किया जाता है क्योंकि लघुगणक के गुण विभेदित किए जाने वाले जटिल कार्यों को शीघ्रता से सरल बनाने के लिए मार्ग प्रदान करते हैं। दोनों पक्षों पर प्राकृतिक लघुगणक लेने के बाद और प्रारंभिक भेदभाव से पहले इन गुणों में हेरफेर किया जा सकता है। सबसे अधिक उपयोग किये जाने वाले लघुगणक नियम हैं

$$\ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\qquad \ln \left({\frac {a}{b}}\right)=\ln(a)-\ln(b),\qquad \ln(a^{n})=n\ln(a).$$

उच्च क्रम डेरिवेटिव

फा डि ब्रूनो के सूत्र का उपयोग करते हुए, एन-वें क्रम का लघुगणकीय व्युत्पन्न है,

$$\frac{d^n}{d{x}^n}\ln <!--\; \; -->f(x)=\underset{m_1+2m_2+\cdots <!--\; \cdots \; -->+n{m}_n=n}{\sum <!--\; \sum \; -->}\frac{n!}{m_1!m_2!\cdots <!--\; \cdots \; -->m_n!}\cdot <!--\; \cdot \; -->\frac{}{}$$