सतत फलन: Difference between revisions
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गणित में, सतत फलन ऐसा फलन (गणित) होता है, जिसमें किसी फलन के तर्क का निरंतर परिवर्तन (अर्थात् बिना छलांग के परिवर्तन) फलन के [[मूल्य (गणित)|मान (गणित)]] में निरंतर परिवर्तन उत्पन्न करता है। इसका अर्थ यह है कि मान में कोई अचानक परिवर्तन नहीं होता है, जिसे ''विच्छेदों का वर्गीकरण'' कहा जाता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, एक फलन निरंतर होता है यदि इसके मान में स्वैच्छिक रूप से छोटे बदलावों को इसके तर्क के पर्याप्त छोटे परिवर्तनों तक सीमित करके सुनिश्चित किया जा सकता है। असंतत फलन एक ऐसा फलन है जो सतत नहीं है। 19वीं शताब्दी तक, गणितज्ञ बड़े पैमाने पर निरंतरता की [[अंतर्ज्ञान|सहज]] धारणाओं पर विश्वाश करते थे, और केवल निरंतर फलनों पर विचार करते थे। निरंतरता की परिभाषा को औपचारिक बनाने के लिए (ε, δ)-सीमा की एप्सिलॉन-डेल्टा परिभाषा प्रस्तुत की गई थी। | गणित में, सतत फलन ऐसा फलन (गणित) होता है, जिसमें किसी फलन के तर्क का निरंतर परिवर्तन (अर्थात् बिना छलांग के परिवर्तन) फलन के [[मूल्य (गणित)|मान (गणित)]] में निरंतर परिवर्तन उत्पन्न करता है। इसका अर्थ यह है कि मान में कोई अचानक परिवर्तन नहीं होता है, जिसे ''विच्छेदों का वर्गीकरण'' कहा जाता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, एक फलन निरंतर होता है यदि इसके मान में स्वैच्छिक रूप से छोटे बदलावों को इसके तर्क के पर्याप्त छोटे परिवर्तनों तक सीमित करके सुनिश्चित किया जा सकता है। असंतत फलन एक ऐसा फलन है जो सतत नहीं है। 19वीं शताब्दी तक, गणितज्ञ बड़े पैमाने पर निरंतरता की [[अंतर्ज्ञान|सहज]] धारणाओं पर विश्वाश करते थे, और केवल निरंतर फलनों पर विचार करते थे। निरंतरता की परिभाषा को औपचारिक बनाने के लिए (ε, δ)-सीमा की एप्सिलॉन-डेल्टा परिभाषा प्रस्तुत की गई थी। | ||
निरंतरता [[ गणना ]] और [[गणितीय विश्लेषण]] की मुख्य अवधारणाओं में से एक है, जहां फलनों के तर्क और मान [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या]] संख्याएं हैं। इस अवधारणा को मीट्रिक रिक्त स्थान और टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच फलनों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। उत्तरार्द्ध सबसे सामान्य निरंतर फलन हैं, और उनकी परिभाषा [[टोपोलॉजी]] का आधार है। | निरंतरता [[ गणना |गणना]] और [[गणितीय विश्लेषण]] की मुख्य अवधारणाओं में से एक है, जहां फलनों के तर्क और मान [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या]] संख्याएं हैं। इस अवधारणा को मीट्रिक रिक्त स्थान और टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच फलनों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। उत्तरार्द्ध सबसे सामान्य निरंतर फलन हैं, और उनकी परिभाषा [[टोपोलॉजी]] का आधार है। | ||
निरंतरता का सशक्त रूप [[एकसमान निरंतरता]] है। क्रम सिद्धांत में, विशेष रूप से [[डोमेन सिद्धांत]] में, निरंतरता की संबंधित अवधारणा [[स्कॉट निरंतरता]] है। | निरंतरता का सशक्त रूप [[एकसमान निरंतरता]] है। क्रम सिद्धांत में, विशेष रूप से [[डोमेन सिद्धांत]] में, निरंतरता की संबंधित अवधारणा [[स्कॉट निरंतरता]] है। | ||
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फलन अर्ध-खुले अंतराल पर निरंतर होता है|अर्ध-विवृत या [[बंद अंतराल|संवृत अंतराल]] अंतराल, यदि अंतराल फलन के डोमेन में समाहित है, तो फलन अंतराल के प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर निरंतर होता है, और फलन का मान अंतराल से संबंधित प्रत्येक समापन बिंदु पर फलन के मानों की सीमा होती है जब वेरिएबल अंतराल के आंतरिक भाग से समापन बिंदु की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, फलन <math>f(x) = \sqrt{x}</math> अपने पूरे डोमेन पर निरंतर है, जो संवृत अंतराल <math>[0,+\infty)</math> हैं। | फलन अर्ध-खुले अंतराल पर निरंतर होता है|अर्ध-विवृत या [[बंद अंतराल|संवृत अंतराल]] अंतराल, यदि अंतराल फलन के डोमेन में समाहित है, तो फलन अंतराल के प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर निरंतर होता है, और फलन का मान अंतराल से संबंधित प्रत्येक समापन बिंदु पर फलन के मानों की सीमा होती है जब वेरिएबल अंतराल के आंतरिक भाग से समापन बिंदु की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, फलन <math>f(x) = \sqrt{x}</math> अपने पूरे डोमेन पर निरंतर है, जो संवृत अंतराल <math>[0,+\infty)</math> हैं। | ||
सामान्यतः सामने आने वाले कई फलन आंशिक फलन होते हैं जिनका डोमेन कुछ [[पृथक बिंदु]]ओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं से बनता है। उदाहरण फलन <math display="inline">x \mapsto \frac {1}{x}</math> और <math>x\mapsto \tan x</math> हैं। | सामान्यतः सामने आने वाले कई फलन आंशिक फलन होते हैं जिनका डोमेन कुछ [[पृथक बिंदु]]ओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं से बनता है। उदाहरण फलन <math display="inline">x \mapsto \frac {1}{x}</math> और <math>x\mapsto \tan x</math> हैं। जब वे अपने क्षेत्र में निरंतर होते हैं, तो कुछ संदर्भों में कहा जाता है कि वे निरंतर हैं, हालांकि वे हर जगह निरंतर नहीं होते हैं। अन्य संदर्भों में, मुख्य रूप से जब कोई असाधारण बिंदुओं के निकट अपने व्यवहार में रुचि रखता है, तो वह कहता है कि वे असंतत हैं। | ||
आंशिक फलन बिंदु पर असंतत होता है, यदि बिंदु उसके डोमेन के [[टोपोलॉजिकल क्लोजर]] से संबंधित है, और या तो बिंदु फलन के डोमेन से संबंधित नहीं है, या फलन बिंदु पर निरंतर नहीं है। उदाहरण के लिए, फलन <math display="inline">x\mapsto \frac {1}{x}</math> और <math display="inline">x\mapsto \sin(\frac {1}{x})</math> पर असंतत {{math|0}} हैं, और उन्हें परिभाषित करने के लिए जो भी मान चुना जाता है वह असंतत {{math|0}} रहता हैं। वह बिंदु जहां कोई फलन असंतत होता है, असंततता कहलाता है। | आंशिक फलन बिंदु पर असंतत होता है, यदि बिंदु उसके डोमेन के [[टोपोलॉजिकल क्लोजर]] से संबंधित है, और या तो बिंदु फलन के डोमेन से संबंधित नहीं है, या फलन बिंदु पर निरंतर नहीं है। उदाहरण के लिए, फलन <math display="inline">x\mapsto \frac {1}{x}</math> और <math display="inline">x\mapsto \sin(\frac {1}{x})</math> पर असंतत {{math|0}} हैं, और उन्हें परिभाषित करने के लिए जो भी मान चुना जाता है वह असंतत {{math|0}} रहता हैं। वह बिंदु जहां कोई फलन असंतत होता है, असंततता कहलाता है। | ||
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[[File:Homografia.svg|right|thumb|सतत तर्कसंगत फलन का ग्राफ़। फलन को इसके लिए परिभाषित नहीं किया गया है <math>x = -2.</math> ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएँ [[अनंतस्पर्शी]] हैं।]]इसी प्रकार यह दर्शाया जा सकता है कि {{em|एक सतत कार्य का व्युत्क्रम}} | [[File:Homografia.svg|right|thumb|सतत तर्कसंगत फलन का ग्राफ़। फलन को इसके लिए परिभाषित नहीं किया गया है <math>x = -2.</math> ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज रेखाएँ [[अनंतस्पर्शी]] हैं।]]इसी प्रकार यह दर्शाया जा सकता है कि {{em|एक सतत कार्य का व्युत्क्रम}} | ||
<math display="block">r = 1/f</math> | <math display="block">r = 1/f</math> | ||
(द्वारा परिभाषित <math>r(x) = 1/f(x)</math> सभी के लिए <math>x \in D</math> ऐसा है कि <math>f(x) \neq 0</math>) में निरंतर <math>D\setminus \{x : f(x) = 0\}</math> है। इसका तात्पर्य यह है कि, <math>g,</math> की मूलों को छोड़कर, | (द्वारा परिभाषित <math>r(x) = 1/f(x)</math> सभी के लिए <math>x \in D</math> ऐसा है कि <math>f(x) \neq 0</math>) में निरंतर <math>D\setminus \{x : f(x) = 0\}</math> है। इसका तात्पर्य यह है कि, <math>g,</math> की मूलों को छोड़कर, {{em|सतत कार्यों का भागफल}} | ||
<math display="block">q = f / g</math> | <math display="block">q = f / g</math> | ||
(द्वारा परिभाषित <math>q(x) = f(x)/g(x)</math> सभी के लिए <math>x \in D</math>, ऐसा है कि <math>g(x) \neq 0</math>) भी लगातार निरंतर <math>D\setminus \{x:g(x) = 0\}</math> है। | (द्वारा परिभाषित <math>q(x) = f(x)/g(x)</math> सभी के लिए <math>x \in D</math>, ऐसा है कि <math>g(x) \neq 0</math>) भी लगातार निरंतर <math>D\setminus \{x:g(x) = 0\}</math> है। | ||
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उदाहरण के लिए <math>\varepsilon = 1/2</math> चुनें। तो फिर <math>x = 0</math> के आसपास कोई {{nowrap|<math>\delta</math>-निकटतम}} नहीं है, अर्थात् | उदाहरण के लिए <math>\varepsilon = 1/2</math> चुनें। तो फिर <math>x = 0</math> के आसपास कोई {{nowrap|<math>\delta</math>-निकटतम}} नहीं है, अर्थात् <math>\delta > 0,</math> के साथ कोई खुला अंतराल <math>(-\delta,\;\delta)</math> नहीं है, जो सभी <math>H(x)</math> मानों को {{nowrap|<math>\varepsilon</math>-निकटतम}} <math>H(0)</math> अन्दर होने के लिए बाध्य करेगा, अर्थात् <math>(1/2,\;3/2)</math> के अन्दर हैं। सहज रूप से हम इस प्रकार की असंततता को फलन मानों में अचानक उछाल असंततता के रूप में सोच सकते हैं। | ||
इसी प्रकार, [[साइन फ़ंक्शन|साइन फलन]] या साइन फलन | इसी प्रकार, [[साइन फ़ंक्शन|साइन फलन]] या साइन फलन | ||
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प्रत्येक सतत फलन | प्रत्येक सतत फलन | ||
<math display="block">f : [a, b] \to \R</math> | <math display="block">f : [a, b] \to \R</math> | ||
पूर्णांकीय फलन है (उदाहरण के लिए [[ रीमैन अभिन्न ]] के अर्थ में)। जैसा कि (अभिन्न, किन्तु असंतत) साइन फलन दिखाता है, इसका उलटा असर नहीं करता है। | पूर्णांकीय फलन है (उदाहरण के लिए [[ रीमैन अभिन्न |रीमैन अभिन्न]] के अर्थ में)। जैसा कि (अभिन्न, किन्तु असंतत) साइन फलन दिखाता है, इसका उलटा असर नहीं करता है। | ||
====बिंदुवार और समान सीमाएँ==== | ====बिंदुवार और समान सीमाएँ==== | ||
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ऐसे फलनों की सीमा | ऐसे फलनों की सीमा | ||
<math display="block">f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)</math> | <math display="block">f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)</math> | ||
सभी के लिए उपस्थित है <math>x \in D,</math>, परिणामी फलन <math>f(x)</math> फलनों के अनुक्रम के [[बिंदुवार अभिसरण]] <math>\left(f_n\right)_{n \in N}</math> के रूप में जाना जाता है | सभी के लिए उपस्थित है <math>x \in D,</math>, परिणामी फलन <math>f(x)</math> फलनों के अनुक्रम के [[बिंदुवार अभिसरण]] <math>\left(f_n\right)_{n \in N}</math> के रूप में जाना जाता है बिंदुवार सीमा फलन को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है, तथापि सभी फलन हों <math>f_n</math> निरंतर हैं, जैसा कि दाईं ओर का एनीमेशन दिखाता है। चूँकि, यदि सभी फलन हों तो f सतत है <math>f_n</math> [[एकसमान अभिसरण]] प्रमेय द्वारा निरंतर और अनुक्रम एकसमान अभिसरण हैं। इस प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि घातांकीय फलन, लघुगणक, [[वर्गमूल]] फलन और [[त्रिकोणमितीय फलन]] निरंतर हैं। | ||
===दिशात्मक और अर्ध-निरंतरता=== | ===दिशात्मक और अर्ध-निरंतरता=== | ||
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यदि X और Y मीट्रिक स्थान हैं, तो यह सभी पड़ोस के बजाय x और f(x) पर केंद्रित खुली गेंदों की पड़ोस [[पड़ोस प्रणाली|निकटतम प्रणाली]] पर विचार करने के बराबर है। यह मीट्रिक रिक्त स्थान के संदर्भ में निरंतरता की उपरोक्त <math>\varepsilon-\delta</math> परिभाषा को वापस देता है। सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस में, निकटता या दूरी की कोई धारणा नहीं होती है। हालाँकि, यदि लक्ष्य स्थान एक हॉसडॉर्फ स्थान है, तो यह अभी भी सच है कि f एक पर निरंतर है और केवल तभी जब x के निकट पहुंचने पर f की सीमा f(a) होती है। एक पृथक बिंदु पर, प्रत्येक फ़ंक्शन निरंतर होता है। | यदि X और Y मीट्रिक स्थान हैं, तो यह सभी पड़ोस के बजाय x और f(x) पर केंद्रित खुली गेंदों की पड़ोस [[पड़ोस प्रणाली|निकटतम प्रणाली]] पर विचार करने के बराबर है। यह मीट्रिक रिक्त स्थान के संदर्भ में निरंतरता की उपरोक्त <math>\varepsilon-\delta</math> परिभाषा को वापस देता है। सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस में, निकटता या दूरी की कोई धारणा नहीं होती है। हालाँकि, यदि लक्ष्य स्थान एक हॉसडॉर्फ स्थान है, तो यह अभी भी सच है कि f एक पर निरंतर है और केवल तभी जब x के निकट पहुंचने पर f की सीमा f(a) होती है। एक पृथक बिंदु पर, प्रत्येक फ़ंक्शन निरंतर होता है। | ||
दिया गया <math>x \in X,</math> नक्षा <math>f : X \to Y</math> पर निरंतर है <math>x</math> यदि और केवल यदि कभी भी <math>\mathcal{B}</math> फ़िल्टर चालू है <math>X</math> वह अभिसरण फ़िल्टर <math>x</math> में <math>X,</math> जिसे लिखकर व्यक्त किया जाता है <math>\mathcal{B} \to x,</math> तो आवश्यक रूप से <math>f(\mathcal{B}) \to f(x)</math> में <math>Y.</math> यदि <math>\mathcal{N}(x)</math> [[पड़ोस फ़िल्टर|निकटतम फ़िल्टर]] को <math>x</math> दर्शाता है | दिया गया <math>x \in X,</math> नक्षा <math>f : X \to Y</math> पर निरंतर है <math>x</math> यदि और केवल यदि कभी भी <math>\mathcal{B}</math> फ़िल्टर चालू है <math>X</math> वह अभिसरण फ़िल्टर <math>x</math> में <math>X,</math> जिसे लिखकर व्यक्त किया जाता है <math>\mathcal{B} \to x,</math> तो आवश्यक रूप से <math>f(\mathcal{B}) \to f(x)</math> में <math>Y.</math> यदि <math>\mathcal{N}(x)</math> [[पड़ोस फ़िल्टर|निकटतम फ़िल्टर]] को <math>x</math> दर्शाता है तब <math>f : X \to Y</math> पर निरंतर है <math>x</math> यदि और केवल यदि <math>f(\mathcal{N}(x)) \to f(x)</math> में <math>Y.</math>{{sfn|Dugundji|1966|pp=211–221}} इसके अतिरिक्त, ऐसा तभी होता है जब [[पूर्व फिल्टर]] हो <math>f(\mathcal{N}(x))</math> के निकटतम फ़िल्टर के लिए [[फ़िल्टर आधार]] है <math>f(x)</math> में <math>Y.</math>{{sfn|Dugundji|1966|pp=211–221}} | ||
=== वैकल्पिक परिभाषाएँ === | === वैकल्पिक परिभाषाएँ === | ||
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==== क्लोजर ऑपरेटर और इंटीरियर ऑपरेटर परिभाषाएँ ==== | ==== क्लोजर ऑपरेटर और इंटीरियर ऑपरेटर परिभाषाएँ ==== | ||
[[ आंतरिक (टोपोलॉजी) ]] ऑपरेटर के संदर्भ में, फलन <math>f : X \to Y</math> टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच निरंतर है यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमूह के लिए <math>B \subseteq Y,</math> | [[ आंतरिक (टोपोलॉजी) | आंतरिक (टोपोलॉजी)]] ऑपरेटर के संदर्भ में, फलन <math>f : X \to Y</math> टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच निरंतर है यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमूह के लिए <math>B \subseteq Y,</math> | ||
<math display=block>f^{-1}\left(\operatorname{int}_Y B\right) ~\subseteq~ \operatorname{int}_X\left(f^{-1}(B)\right).</math> | <math display=block>f^{-1}\left(\operatorname{int}_Y B\right) ~\subseteq~ \operatorname{int}_X\left(f^{-1}(B)\right).</math> | ||
[[ समापन (टोपोलॉजी) ]] ऑपरेटर के संदर्भ में, <math>f : X \to Y</math> निरंतर है यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X,</math> | [[ समापन (टोपोलॉजी) | समापन (टोपोलॉजी)]] ऑपरेटर के संदर्भ में, <math>f : X \to Y</math> निरंतर है यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X,</math> | ||
<math display=block>f\left(\operatorname{cl}_X A\right) ~\subseteq~ \operatorname{cl}_Y (f(A)).</math> | <math display=block>f\left(\operatorname{cl}_X A\right) ~\subseteq~ \operatorname{cl}_Y (f(A)).</math> | ||
कहने का तात्पर्य यह है कि कोई भी तत्व दिया गया है <math>x \in X</math> यह उपसमुच्चय के संवृत होने से संबंधित है <math>A \subseteq X,</math> <math>f(x)</math> आवश्यक रूप से संवृत करने के अंतर्गत आता है <math>f(A)</math> में <math>Y.</math> यदि हम इसे बिंदु घोषित करते हैं <math>x</math> है {{em|close to}} उपसमुच्चय <math>A \subseteq X</math> यदि <math>x \in \operatorname{cl}_X A,</math> तब यह शब्दावली निरंतरता के स्पष्ट अंग्रेजी विवरण की अनुमति देती है: <math>f</math> निरंतर है यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X,</math> <math>f</math> उन बिंदुओं को मानचित्रित करें जो निकट हैं <math>A</math> उन बिंदुओं के लिए जो करीब हैं <math>f(A).</math> इसी प्रकार, <math>f</math> निश्चित दिए गए बिंदु पर निरंतर है <math>x \in X</math> यदि और केवल यदि कभी भी <math>x</math> उपसमुच्चय के करीब है <math>A \subseteq X,</math> तब <math>f(x)</math> इसके करीब है <math>f(A).</math> | कहने का तात्पर्य यह है कि कोई भी तत्व दिया गया है <math>x \in X</math> यह उपसमुच्चय के संवृत होने से संबंधित है <math>A \subseteq X,</math> <math>f(x)</math> आवश्यक रूप से संवृत करने के अंतर्गत आता है <math>f(A)</math> में <math>Y.</math> यदि हम इसे बिंदु घोषित करते हैं <math>x</math> है {{em|close to}} उपसमुच्चय <math>A \subseteq X</math> यदि <math>x \in \operatorname{cl}_X A,</math> तब यह शब्दावली निरंतरता के स्पष्ट अंग्रेजी विवरण की अनुमति देती है: <math>f</math> निरंतर है यदि और केवल यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X,</math> <math>f</math> उन बिंदुओं को मानचित्रित करें जो निकट हैं <math>A</math> उन बिंदुओं के लिए जो करीब हैं <math>f(A).</math> इसी प्रकार, <math>f</math> निश्चित दिए गए बिंदु पर निरंतर है <math>x \in X</math> यदि और केवल यदि कभी भी <math>x</math> उपसमुच्चय के करीब है <math>A \subseteq X,</math> तब <math>f(x)</math> इसके करीब है <math>f(A).</math> | ||
टोपोलॉजिकल स्पेस को उनके [[ खुला सेट | विवृत सेट]] द्वारा निर्दिष्ट करने के अतिरिक्त, किसी भी टोपोलॉजी को चालू करें <math>X</math> [[कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर]] या [[ आंतरिक संचालक ]] द्वारा श्रेणियों की समतुल्यता की जा सकती है। | टोपोलॉजिकल स्पेस को उनके [[ खुला सेट |विवृत सेट]] द्वारा निर्दिष्ट करने के अतिरिक्त, किसी भी टोपोलॉजी को चालू करें <math>X</math> [[कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर]] या [[ आंतरिक संचालक |आंतरिक संचालक]] द्वारा श्रेणियों की समतुल्यता की जा सकती है। | ||
विशेष रूप से, वह मानचित्र जो उपसमूह भेजता है <math>A</math> टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> इसके समापन के लिए (टोपोलॉजी) <math>\operatorname{cl}_X A</math> कुराटोस्की समापन सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। इसके विपरीत, किसी भी कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर के लिए <math>A \mapsto \operatorname{cl} A</math> वहाँ अद्वितीय टोपोलॉजी उपस्थित है <math>\tau</math> पर <math>X</math> (विशेष रूप से, <math>\tau := \{ X \setminus \operatorname{cl} A : A \subseteq X \}</math>) ऐसा कि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X,</math> <math>\operatorname{cl} A</math> टोपोलॉजिकल क्लोजर के बराबर है <math>\operatorname{cl}_{(X, \tau)} A</math> का <math>A</math> में <math>(X, \tau).</math> यदि सेट <math>X</math> और <math>Y</math> प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटरों से जुड़ा हुआ है (दोनों द्वारा चिह्नित)। <math>\operatorname{cl}</math>) फिर नक्शा <math>f : X \to Y</math> निरंतर है यदि और केवल यदि <math>f(\operatorname{cl} A) \subseteq \operatorname{cl} (f(A))</math> प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X.</math> | विशेष रूप से, वह मानचित्र जो उपसमूह भेजता है <math>A</math> टोपोलॉजिकल स्पेस का <math>X</math> इसके समापन के लिए (टोपोलॉजी) <math>\operatorname{cl}_X A</math> कुराटोस्की समापन सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। इसके विपरीत, किसी भी कुराटोस्की क्लोजर ऑपरेटर के लिए <math>A \mapsto \operatorname{cl} A</math> वहाँ अद्वितीय टोपोलॉजी उपस्थित है <math>\tau</math> पर <math>X</math> (विशेष रूप से, <math>\tau := \{ X \setminus \operatorname{cl} A : A \subseteq X \}</math>) ऐसा कि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X,</math> <math>\operatorname{cl} A</math> टोपोलॉजिकल क्लोजर के बराबर है <math>\operatorname{cl}_{(X, \tau)} A</math> का <math>A</math> में <math>(X, \tau).</math> यदि सेट <math>X</math> और <math>Y</math> प्रत्येक क्लोजर ऑपरेटरों से जुड़ा हुआ है (दोनों द्वारा चिह्नित)। <math>\operatorname{cl}</math>) फिर नक्शा <math>f : X \to Y</math> निरंतर है यदि और केवल यदि <math>f(\operatorname{cl} A) \subseteq \operatorname{cl} (f(A))</math> प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>A \subseteq X.</math> | ||
इसी प्रकार, मानचित्र जो उपसमूह भेजता है <math>A</math> का <math>X</math> इसके आंतरिक भाग तक (टोपोलॉजी) <math>\operatorname{int}_X A</math> इंटीरियर ऑपरेटर को परिभाषित करता है। इसके विपरीत, कोई भी इंटीरियर ऑपरेटर <math>A \mapsto \operatorname{int} A</math> अद्वितीय टोपोलॉजी उत्पन्न करता है <math>\tau</math> पर <math>X</math> (विशेष रूप से, <math>\tau := \{ \operatorname{int} A : A \subseteq X \}</math>) ऐसा कि हर किसी के लिए <math>A \subseteq X,</math> <math>\operatorname{int} A</math> टोपोलॉजिकल इंटीरियर के बराबर है <math>\operatorname{int}_{(X, \tau)} A</math> का <math>A</math> में <math>(X, \tau).</math> यदि सेट <math>X</math> और <math>Y</math> प्रत्येक आंतरिक ऑपरेटरों से जुड़ा हुआ है (दोनों द्वारा चिह्नित)। <math>\operatorname{int}</math>) फिर नक्शा <math>f : X \to Y</math> निरंतर है यदि और केवल यदि <math>f^{-1}(\operatorname{int} B) \subseteq \operatorname{int}\left(f^{-1}(B)\right)</math> प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>B \subseteq Y.</math><ref>{{cite web|title=सामान्य टोपोलॉजी - निरंतरता और आंतरिक|url=https://math.stackexchange.com/q/1209229|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref> | इसी प्रकार, मानचित्र जो उपसमूह भेजता है <math>A</math> का <math>X</math> इसके आंतरिक भाग तक (टोपोलॉजी) <math>\operatorname{int}_X A</math> इंटीरियर ऑपरेटर को परिभाषित करता है। इसके विपरीत, कोई भी इंटीरियर ऑपरेटर <math>A \mapsto \operatorname{int} A</math> अद्वितीय टोपोलॉजी उत्पन्न करता है <math>\tau</math> पर <math>X</math> (विशेष रूप से, <math>\tau := \{ \operatorname{int} A : A \subseteq X \}</math>) ऐसा कि हर किसी के लिए <math>A \subseteq X,</math> <math>\operatorname{int} A</math> टोपोलॉजिकल इंटीरियर के बराबर है <math>\operatorname{int}_{(X, \tau)} A</math> का <math>A</math> में <math>(X, \tau).</math> यदि सेट <math>X</math> और <math>Y</math> प्रत्येक आंतरिक ऑपरेटरों से जुड़ा हुआ है (दोनों द्वारा चिह्नित)। <math>\operatorname{int}</math>) फिर नक्शा <math>f : X \to Y</math> निरंतर है यदि और केवल यदि <math>f^{-1}(\operatorname{int} B) \subseteq \operatorname{int}\left(f^{-1}(B)\right)</math> प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए <math>B \subseteq Y.</math><ref>{{cite web|title=सामान्य टोपोलॉजी - निरंतरता और आंतरिक|url=https://math.stackexchange.com/q/1209229|website=Mathematics Stack Exchange}}</ref> | ||
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यदि <math>f : X \to Y</math> और <math>g : Y \to Z</math> निरंतर हैं, तो रचना भी वैसी ही है <math>g \circ f : X \to Z.</math> यदि <math>f : X \to Y</math> निरंतर है और | यदि <math>f : X \to Y</math> और <math>g : Y \to Z</math> निरंतर हैं, तो रचना भी वैसी ही है <math>g \circ f : X \to Z.</math> यदि <math>f : X \to Y</math> निरंतर है और | ||
* X [[सघन स्थान]] है, तो f(X) सघन है। | * X [[सघन स्थान]] है, तो f(X) सघन है। | ||
* X [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] है, तो f(X) [[पथ से जुड़ा हुआ]] है। | * X [[ जुड़ा हुआ स्थान |जुड़ा हुआ स्थान]] है, तो f(X) [[पथ से जुड़ा हुआ]] है। | ||
* X पथ-संबद्ध है, तो f(X) पथ-संबद्ध है। | * X पथ-संबद्ध है, तो f(X) पथ-संबद्ध है। | ||
* X लिंडेलोफ स्पेस है|लिंडेलोफ, तो f(X) लिंडेलोफ है। | * X लिंडेलोफ स्पेस है|लिंडेलोफ, तो f(X) लिंडेलोफ है। | ||
Revision as of 06:59, 14 July 2023
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गणित में, सतत फलन ऐसा फलन (गणित) होता है, जिसमें किसी फलन के तर्क का निरंतर परिवर्तन (अर्थात् बिना छलांग के परिवर्तन) फलन के मान (गणित) में निरंतर परिवर्तन उत्पन्न करता है। इसका अर्थ यह है कि मान में कोई अचानक परिवर्तन नहीं होता है, जिसे विच्छेदों का वर्गीकरण कहा जाता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, एक फलन निरंतर होता है यदि इसके मान में स्वैच्छिक रूप से छोटे बदलावों को इसके तर्क के पर्याप्त छोटे परिवर्तनों तक सीमित करके सुनिश्चित किया जा सकता है। असंतत फलन एक ऐसा फलन है जो सतत नहीं है। 19वीं शताब्दी तक, गणितज्ञ बड़े पैमाने पर निरंतरता की सहज धारणाओं पर विश्वाश करते थे, और केवल निरंतर फलनों पर विचार करते थे। निरंतरता की परिभाषा को औपचारिक बनाने के लिए (ε, δ)-सीमा की एप्सिलॉन-डेल्टा परिभाषा प्रस्तुत की गई थी।
निरंतरता गणना और गणितीय विश्लेषण की मुख्य अवधारणाओं में से एक है, जहां फलनों के तर्क और मान वास्तविक संख्या और जटिल संख्या संख्याएं हैं। इस अवधारणा को मीट्रिक रिक्त स्थान और टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच फलनों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। उत्तरार्द्ध सबसे सामान्य निरंतर फलन हैं, और उनकी परिभाषा टोपोलॉजी का आधार है।
निरंतरता का सशक्त रूप एकसमान निरंतरता है। क्रम सिद्धांत में, विशेष रूप से डोमेन सिद्धांत में, निरंतरता की संबंधित अवधारणा स्कॉट निरंतरता है।
उदाहरण के लिये, समय t पर बढ़ते फूल की ऊंचाई को दर्शाने वाले फ़ंक्शन H(t) को निरंतर माना जाएगा। इसके विपरीत, समय t पर बैंक खाते में धन की राशि को दर्शाने वाला फ़ंक्शन M(t) संवृत माना जाएगा, क्योंकि जब पैसा जमा किया जाता है या निकाला जाता है तो यह प्रत्येक बिंदु पर "उछलता" है।