विशेषण फलन: Difference between revisions

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गणित में, एक विशेषण फलन (जिसे विशेषण के रूप में भी जाना जाता है, या फलन $f$ एक ऐसा फलन है जिससे प्रत्येक तत्व $y$ को तत्व $x$ से मानचित्र किया जा सकता है ताकि $f (x) = y$ हो। दूसरे शब्दों में, फलन के सहकार्यक्षेत्र का प्रत्येक तत्व उसके कार्यक्षेत्र के कम से कम एक तत्व की छवि है। ^[1]^[2] यह आवश्यक नहीं है कि x अद्वितीय हो; फलन f X के एक या अधिक तत्वों को Y के समान तत्व से मानचित्र कर सकता है।

विशेषण शब्द और संबंधित शब्द अंतःक्षेपी फलन और विशेषण फलन निकोलस बॉरबाकी द्वारा प्रस्तुत किए गए थे, ^[3]^[4] मुख्य रूप से 20वीं सदी के फ्रांस के गणितज्ञों का एक समूह, जिन्होंने इस छद्म नाम के अंतर्गत, 1935 से प्रारम्भ होकर, आधुनिक उन्नत गणित की व्याख्या प्रस्तुत करने वाली पुस्तकों की एक श्रृंखला लिखी। फ्रांसीसी शब्द सुर का अर्थ ऊपर है, और इस तथ्य से संबंधित है कि एक विशेषण फलन के कार्यक्षेत्र की छवि फलन के सहकार्यक्षेत्र को पूरी तरह से समाविष्ट करती है।

कोई भी फलन किसी फलन के सहकार्यक्षेत्र को उसके कार्यक्षेत्र की छवि पर प्रतिबंधित करके एक प्रक्षेपण को प्रेरित करता है। पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए प्रत्येक विशेषण कार्य में एक सही व्युत्क्रम होता है, और एक सही व्युत्क्रम वाला प्रत्येक कार्य आवश्यक रूप से एक आच्छादान है। विशेषण कार्यों की कार्य संरचना हमेशा विशेषण होती है। किसी भी कार्य को प्रक्षेपण और अंतःक्षेपण में विघटित किया जा सकता है।

परिभाषा

विशेषण फलन एक फलन (गणित) है जिसकी छवि (गणित) इसके सहकार्यक्षेत्र के बराबर है। समतुल्य रूप से, कार्यछेत्र $X$ और सहकार्यछेत्र $Y$ के साथ एक फलन $f$ विशेषण है यदि $Y$ में प्रत्येक $y$ के लिए $f(x)=y$ के साथ $x$ में कम से कम एक $X$ उपस्थित है ^[1] आच्छादानों को कभी-कभी दो-सिर वाले दाहिनी ओर तीर द्वारा दर्शाया जाता है (U+21A0 ↠ दाईं ओर दो सिर वाला तीर),^[5] जैसे की $f\colon X\twoheadrightarrow Y$ .

प्रतीकात्मक रूप से,

यदि

f\colon X\rightarrow Y

, तब

f

को आच्छादक कहा जाता है यदि

\forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y

.^[2]^[6]

उदाहरण

File:Codomain2.SVG

फलन 'X के कार्यक्षेत्र से सहकार्यक्षेत्र 'Y के लिए एक गैर-आक्षेपिक फलन। Y के अंदर छोटा पीला अंडाकार f की छवि (गणित) (जिसे फलन की श्रेणी भी कहा जाता है) है। यह कार्य विशेषण नहीं है, क्योंकि छवि पूरे सहकार्यक्षेत्र को नहीं भरती है। दूसरे शब्दों में, Y दो-चरणीय प्रक्रिया में रंगीन है: सबसे पहले, X में प्रत्येक x के लिए, बिंदु f(x) रंगीन है पीला; दूसरा, Y के बाकी सभी बिंदु, जो पीले नहीं हैं, नीले रंग से रंगे गए हैं। फलन f केवल तभी विशेषण होगा जब कोई नीला बिंदु न हो।

किसी भी सम्मुच्चय X के लिए, पहचान फलन id_X X पर विशेषण है।
फलन $f : Z \to {0, 1}$ f(n) = n 'प्रमापीय अंकगणितीय' 2 द्वारा परिभाषित (अर्थात, सम संख्या पूर्णांकों को 0 और विषम संख्या पूर्णांकों को 1 पर मानचित्र किया जाता है) विशेषण है।
फलन $f : R \to R$ f(x) = 2x + 1 द्वारा परिभाषित विशेषण (और यहां तक कि विशेषण फलन भी) है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या y के लिए, हमारे पास एक x ऐसा है कि f(x) = y: ऐसा उपयुक्त x (y - 1)/ 2 है।
फलन $f : R \to R$ F (X) = x³ − 3x द्वारा परिभाषित आच्छादक है, क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या y³ − 3x − y = 0 की पूर्व-छवि त्रिविमीय बहुपद समीकरण x का हल सम्मुच्चय है, और वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक घन बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है। हालाँकि, यह फलन अंतःक्षेपी फलन नहीं है (और इसलिए विशेषण फलन नहीं है), क्योंकि, उदाहरण के लिए, y = 2 की पूर्व-छवि {x = −1, x = 2} है। (वास्तव में, प्रत्येक y, −2 ≤ y ≤ 2 के लिए इस फलन की पूर्व-छवि में एक से अधिक तत्व हैं।)
फलन $g : R \to R$ द्वारा परिभाषित G (x) = X² आच्छादी नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई वास्तविक संख्या x x² = -1 नहीं है। हालाँकि, फलन $g : R \to R \geq0$ द्वारा परिभाषित $g (x) = x 2$ (प्रतिबंधित सहकार्यक्षेत्र के साथ) विशेषण है, क्योंकि गैर-नकारात्मक वास्तविक सहकार्यक्षेत्र Y में प्रत्येक y के लिए, वास्तविक कार्यक्षेत्र X में कम से कम एक x इस प्रकार है कि x² = y।
प्राकृतिक लघुगणक फलन $ln : (0, +\infty) \to R$ एक विशेषण और विशेषण भी है (सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के सम्मुच्चय से सभी वास्तविक संख्याओं के सम्मुच्चय तक मानचित्रिंग)। इसका व्युत्क्रम, घातीय फलन, यदि कार्यक्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के साथ परिभाषित किया जाता है, तो यह आच्छादक नहीं है (क्योंकि इसकी सीमा धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है)।
आव्यूह एक्सपोनेंशियल विशेषण नहीं है जब सभी n × n आव्यूह के स्थान से एक मानचित्र के रूप में देखा जाता है। हालाँकि, इसे सामान्यतः सभी n × n आव्यूह के स्थान से एक मानचित्र के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो घात n के सामान्य रैखिक समूह (अर्थात, सभी n × n व्युत्क्रमणीय आव्यूह का समूह) होता है। इस परिभाषा के अंतर्गत, आव्यूह एक्सपोनेंशियल जटिल आव्यूह के लिए विशेषण है, हालांकि वास्तविक आव्यूह के लिए अभी भी विशेषण नहीं है।
प्रक्षेपण (सम्मुच्चय सिद्धांत) एक कार्तीय उत्पाद से $A \times B$ इसके कारकों में से एक विशेषण है, जब तक कि अन्य कारक खाली न हो।
एक 3डी वीडियो गेम में, सदिशों को एक विशेषण कार्य के माध्यम से 2डी समतल प्रपट्ट पर प्रक्षेपित किया जाता है।

गुण

एक फलन विशेषण फलन है यदि और केवल यदि यह आच्छादक और अंतःक्षेपी दोनों फलन है।

यदि (जैसा कि प्रायः किया जाता है) किसी फलन के लेखाचित्र के साथ फलन की पहचान की जाती है, तो विशेषण फलन की विशेषता नहीं है, बल्कि मानचित्र (गणित) की विशेषता है। ^[7] यह, इसके सहकार्यक्षेत्र के साथ कार्य है। अंतःक्षेपण के विपरीत, प्रक्षेप्यता को अकेले फलन के लेखाचित्र से नहीं पढ़ा जा सकता है।

सही व्युत्क्रमणीय कार्यों के रूप में आच्छादान

फलन g : Y → X, फलन f : X → Y का सही व्युत्क्रम कहलाता है यदि f(g(y)) = y प्रत्येक y के लिए Y में (g को f द्वारा पूर्ववत किया जा सकता है)। दूसरे शब्दों में, g, f का सही व्युत्क्रम है यदि g का संघटन fog और f उसी क्रम में g के प्रांत Y पर तत्समक फलन है। फलन g को f का पूर्ण व्युत्क्रम होना आवश्यक नहीं है क्योंकि अन्य क्रम में संघटन, g o f, f के प्रांत X पर तत्समक फलन नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, f, g को पूर्ववत या विपरीत कर सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि इसके द्वारा विपरीत किया जा सके।

सही प्रतिलोम वाला प्रत्येक फलन आवश्यक रूप से एक आच्छादान है। प्रस्ताव है कि प्रत्येक विशेषण फलन में एक सही व्युत्क्रम होता है, पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर होता है।

यदि f : X → Y आच्छादक है और B, Y का उपसमुच्चय है, तब f(f ⁻¹(B)) = B होता है। इस प्रकार, B को इसके पूर्व चित्र f⁻¹(B) से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए पहले दृष्टांत में, कुछ फलन g इस प्रकार हैं कि g(C) = 4। कुछ फलन f भी है जैसे कि f(4) = C। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि g(C) बराबर 3 भी हो सकता है।

एपिमोर्फिज्म के रूप में आच्छादान

एक फलन f : X → Y विशेषण है अगर और केवल अगर यह सही-निरस्तीकरण है:^[8] दिया गया कोई फलन g,h : Y → Z, जब भी gof = hof होता है, तब g = h है। यह गुण कार्यों और उनकी कार्य संरचना के संदर्भ में तैयार किया गया है और एक श्रेणी (गणित) और उनकी संरचना के मोर्फिज्म की अधिक सामान्य धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यथार्थ-निरस्तीकरण मॉर्फिज्म को एपिमोर्फिज्म कहा जाता है। विशेष रूप से, विशेषण कार्य निश्चित रूप से सम्मुच्चय की श्रेणी में एपिमोर्फिज्म हैं। उपसर्ग एपि ग्रीक पूर्वसर्ग ἐπί से लिया गया है जिसका अर्थ ओवर, अबव, ऑन है।

सही व्युत्क्रम के साथ कोई भी रूपवाद एक एपिमोर्फिज्म है, लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है। आकृतिवाद f के एक सही व्युत्क्रम g को f का एक खंड (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है। दाएं व्युत्क्रम के साथ एक आकृतिवाद को विभाजित एपिमोर्फिज्म कहा जाता है।

द्विआधारी संबंधों के रूप में आच्छादान

कार्यक्षेत्र X और सहकार्यक्षेत्र Y के साथ कोई भी फलन X और Y के बीच बाएं-कुल और दाएं-अद्वितीय द्विआधारी संबंध के रूप में इसे इसके फलन लेखाचित्र के साथ पहचान कर देखा जा सकता है। कार्यक्षेत्र X और सहकार्यक्षेत्र Y के साथ एक विशेषण कार्य तब F और Y के बीच एक द्विआधारी संबंध है जो दाएं-अद्वितीय है और बाएं-कुल और दाएं-कुल दोनों हैं।

एक आच्छादान के कार्यक्षेत्र की गणनांक

किसी विशेषण फलन के कार्यक्षेत्र की गणनांक उसके सहकार्यक्षेत्र की गणनांक से अधिक या उसके बराबर है: यदि f : X → Y एक आच्छादन फलन है, तो गणनांक संख्या के अर्थ में X में कम से कम उतने ही तत्व हैं जितने कि Y में हैं। (प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध को दिखाने के लिए अपील करता है कि एक फलन g : Y → X संतोषजनक f(g(y)) = y सभी y के लिए Y में उपस्थित है। g को आसानी से अंतःक्षेपी के रूप में देखा जाता है, इस प्रकार |Y| ≤ |X| की औपचारिक परिभाषा संतुष्ट है।)

विशेष रूप से, यदि X और Y दोनों तत्वों की समान संख्या के साथ परिमित सम्मुच्चय हैं, तो f : X → Y आच्छादक है यदि और केवल यदि f अंतःक्षेपी है।

दो सम्मुच्चय X और Y दिए गए हैं, संकेतन X ≤^* Y यह कहने के लिए प्रयोग किया जाता है कि या तो X खाली है या कि Y से X पर एक विशेषण है। पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके कोई दिखा सकता है कि X ≤^* Y और Y ≤^* X एक साथ इसका अर्थ |Y| = |X| है, यह श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय का एक प्रकार है।

रचना और अपघटन

विशेषण फलनों का फलन संघटन हमेशा विशेषणात्मक होता है: यदि f और g दोनों आच्छादी हैं, और g का सहकार्यक्षेत्र f के प्रांत के बराबर है, तो f o g विशेषण है। इसके विपरीत यदि f o g आच्छादन है, तो h आच्छादक है (लेकिन g, पहले लागू किया गया फलन, होना आवश्यक नहीं है)। ये गुण किसी भी श्रेणी (गणित) में सम्मुच्चय की श्रेणी में आच्छादानों से लेकर किसी भी एपिमोर्फिज्म तक सामान्यीकृत होते हैं।

किसी भी कार्य को एक विशेषण और एक अंतःक्षेपण फलन में विघटित किया जा सकता है: किसी भी कार्य h : X → Z के लिए एक आच्छादान उपस्थित f : X → Y है और एक अंतःक्षेपण g : Y → Z इस प्रकार है कि h = g o f है। इसे देखने के लिए, Y को प्रीइमेज h−1(z) के सम्मुच्चय के रूप में परिभाषित करें जहां z h(X) में है। ये प्रीइमेज अलग हैं और X को विभाजित करते हैं। फिर f प्रत्येक X को Y के तत्व में ले जाता है जिसमें यह सम्मिलित है, और g Y के प्रत्येक तत्व को z में उस बिंदु पर ले जाता है जहां h अपने अंक भेजता है। तब f आच्छादक है क्योंकि यह एक प्रक्षेपण मानचित्र है, और g परिभाषा के अनुसार अंतःक्षेपी है।

प्रेरित आच्छादान और प्रेरित पूर्वाग्रह

कोई भी कार्य अपने सहकार्यक्षेत्र को अपनी सीमा तक सीमित करके एक प्रक्षेपण को प्रेरित करता है। कोई भी विशेषण फलन अपने कार्यक्षेत्र के भागफल सम्मुच्चय पर परिभाषित आक्षेप को प्रेरित करता है, जो किसी निश्चित छवि के लिए सभी तर्कों की मानचित्रण को ढहा देता है। अधिक यथार्थ रूप से, हर आच्छादान f : A → B निम्नानुसार एक प्रक्षेपण के बाद प्रक्षेपण के रूप में तथ्य किया जा सकता है। मान लीजिए A/~ निम्नलिखित तुल्यता संबंध के अंतर्गत A का तुल्यता वर्ग है: x ~ y यदि और केवल यदि f(x) = f(y)। समतुल्य रूप से, A / ~ F के अंतर्गत सभी पूर्व छवियों का सम्मुच्चय है। मान लीजिये P(~) : A → A/~ प्रक्षेपण मानचित्र बनते हैं जो A में प्रत्येक x को उसके समतुल्य वर्ग [x] में भेजता है_~, और मान लीजिये f_P : A/~ → B, f द्वारा दिया गया सुपरिभाषित फलन f_P([x]_~) = f(x). Then f = f_P o P(~) है।

आच्छादानों का स्थान

नियत A और B दिए हुए हैं, कोई विशेषण A ↠ B का समुच्चय बना सकता है। इस सम्मुच्चय की प्रमुखता रोटा के ट्वेल्वफोल्ड वे के बारह पहलुओं में से एक है, और इसके द्वारा ${\textstyle |B|!{\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$ दी गई है , जहाँ ${\textstyle {\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$ दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है।

गैलरी

आच्छादान.svg

एक गैर-अंतः क्षेपण आच्छादान फलन (आक्षेपण, आक्षेप नहीं)
एक अंतःक्षेपक आच्छादान फलन (द्विभाजन)
Injection.svg

एक अंतःक्षेपक गैर-आच्छादान फलन (अंतः क्षेपण, द्विभाजन नहीं)
Not-Injection-Surjection.svg

एक गैर-अंतः क्षेपण गैर-आक्षेपण फलन (न ही एक आक्षेप)

Index.php?title=File:Surjective composition.svg

विशेषण रचना: पहले कार्य को विशेषण होने की आवश्यकता नहीं है।
Index.php?title=File:Non-surjective function2.svg

कार्तीय तल में गैर-आक्षेपिक कार्य। हालांकि फलन के कुछ भाग विशेषण हैं, जहां Y में तत्वों y का मान x x में ऐसा है कि y = f(x), कुछ भाग नहीं हैं। वाम: Y में y0 है, लेकिन X में ऐसा कोई x0 नहीं है कि y0 = f(x0)। सही: Y में y1, y2 और y3 हैं, लेकिन X में कोई x1, x2, और x3 नहीं हैं जैसे कि y1 = f(x1), y2 = f(x2), और y3 = f(x3)।
Index.php?title=File:Surjective function.svg

प्रतिचित्रण f : X → Y, जहां y = f(x), X = फलन का कार्यछेत्र, Y = फलन की श्रेणी द्वारा परिभाषित कार्तीय तल में विशेषण कार्यों की व्याख्या। नियम f द्वारा, श्रेणी में प्रत्येक तत्व को कार्यछेत्र में किसी तत्व से प्रतिचित्रण किया जाता है। ऐसे कई कार्यछेत्र तत्व हो सकते हैं जो एक ही श्रेणी तत्व को प्रतिचित्रण करते हैं। अर्थात्, Y में प्रत्येक y को X में एक तत्व x से प्रतिचित्रण किया जाता है, एक से अधिक x उसी y को प्रतिचित्रण कर सकते हैं। बायां: केवल एक कार्यछेत्र दिखाया गया है जो f आच्छादक बनाता है। दाएं: दो संभावित कार्यछेत्र X1 और X2 दिखाए गए हैं।

यह भी देखें

आपत्ति, अंतःक्षेपण और प्रक्षेपण
समाविष्ट (बीजगणित)
आच्छादन मानचित्र
गणना
फाइबर समूह
सूचकांक सम्मुच्चय
अनुभाग (श्रेणी सिद्धांत)

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 "विशेषण, विशेषण और विशेषण". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-07.
↑ ^2.0 ^2.1 "द्विभाजन, इंजेक्शन, और उच्छेदन | शानदार गणित और विज्ञान विकी". brilliant.org (in English). Retrieved 2019-12-07.
↑ Miller, Jeff, "Injection, Surjection and Bijection", Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics, Tripod.
↑ Mashaal, Maurice (2006). बोरबाकी (in English). American Mathematical Soc. p. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.
↑ "तीर - यूनिकोड" (PDF). Retrieved 2013-05-11.
↑ Farlow, S. J. "इंजेक्शन, अनुमान और द्विभाजन" (PDF). math.umaine.edu. Retrieved 2019-12-06.
↑ T. M. Apostol (1981). गणितीय विश्लेषण. Addison-Wesley. p. 35.
↑ Goldblatt, Robert (2006) [1984]. टोपोई, तर्क का श्रेणीबद्ध विश्लेषण (Revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. Retrieved 2009-11-25.

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आगे की पढाई

Bourbaki, N. (2004) [1968]. Theory of Sets. Elements of Mathematics. Vol. 1. Springer. doi:10.1007/978-3-642-59309-3. ISBN 978-3-540-22525-6. LCCN 2004110815.

श्रेणी: कार्य और मानचित्रण श्रेणी: समुच्चय सिद्धांत में मूलभूत अवधारणा श्रेणी:गणितीय संबंध श्रेणी: कार्यों के प्रकार

[:0-1] 1.0 ^1.1 "विशेषण, विशेषण और विशेषण". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-07.

[:1-2] 2.0 ^2.1 "द्विभाजन, इंजेक्शन, और उच्छेदन | शानदार गणित और विज्ञान विकी". brilliant.org (in English). Retrieved 2019-12-07.

[3] Miller, Jeff, "Injection, Surjection and Bijection", Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics, Tripod.

[4] Mashaal, Maurice (2006). बोरबाकी (in English). American Mathematical Soc. p. 106. ISBN 978-0-8218-3967-6.

[Unicode_Arrows-5] "तीर - यूनिकोड" (PDF). Retrieved 2013-05-11.

[6] Farlow, S. J. "इंजेक्शन, अनुमान और द्विभाजन" (PDF). math.umaine.edu. Retrieved 2019-12-06.

[7] T. M. Apostol (1981). गणितीय विश्लेषण. Addison-Wesley. p. 35.

[8] Goldblatt, Robert (2006) [1984]. टोपोई, तर्क का श्रेणीबद्ध विश्लेषण (Revised ed.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-45026-1. Retrieved 2009-11-25.

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-विशेषण शब्द और संबंधित शब्द अंतःक्षेपी फलन और विशेषण फलन निकोलस बॉरबाकी द्वारा पेश किए गए थे,<ref>{{Citation | url = http://jeff560.tripod.com/i.html | title = Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics | contribution = Injection, Surjection and Bijection | publisher = Tripod |first=Jeff|last=Miller}}.</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=-CXn6y_1nJ8C&q=injection+surjection+bijection+bourbaki&pg=PA106|title=बोरबाकी|last=Mashaal|first=Maurice|date=2006|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-3967-6|pages=106|language=en}}</ref> मुख्य रूप से 20वीं सदी के फ्रांस के गणितज्ञों का एक समूह, जिन्होंने इस छद्म नाम के तहत, 1935 से शुरू होकर, आधुनिक उन्नत गणित की व्याख्या प्रस्तुत करने वाली पुस्तकों की एक श्रृंखला लिखी। कि किसी विशेषण फलन के प्रांत की छवि (गणित) फलन के कोडोमेन को पूरी तरह से ढक लेती है।
+विशेषण शब्द और संबंधित शब्द अंतःक्षेपी फलन और विशेषण फलन निकोलस बॉरबाकी द्वारा प्रस्तुत किए गए थे, <ref>{{Citation | url = http://jeff560.tripod.com/i.html | title = Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics | contribution = Injection, Surjection and Bijection | publisher = Tripod |first=Jeff|last=Miller}}.</ref><ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=-CXn6y_1nJ8C&q=injection+surjection+bijection+bourbaki&pg=PA106|title=बोरबाकी|last=Mashaal|first=Maurice|date=2006|publisher=American Mathematical Soc.|isbn=978-0-8218-3967-6|pages=106|language=en}}</ref> मुख्य रूप से 20वीं सदी के फ्रांस के गणितज्ञों का एक समूह, जिन्होंने इस छद्म नाम के अंतर्गत, 1935 से प्रारम्भ होकर, आधुनिक उन्नत गणित की व्याख्या प्रस्तुत करने वाली पुस्तकों की एक श्रृंखला लिखी। फ्रांसीसी शब्द सुर का अर्थ ऊपर है, और इस तथ्य से संबंधित है कि एक विशेषण फलन के कार्यक्षेत्र की छवि फलन के सहकार्यक्षेत्र को पूरी तरह से समाविष्ट करती है।
-कोई भी फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के कोडोमेन को उसके डोमेन की छवि पर प्रतिबंधित करके एक प्रक्षेपण को प्रेरित करता है। प्रत्येक विशेषण फलन का एक व्युत्क्रम फलन होता है#चयन का अभिगृहीत मानते हुए बाएँ और दाएँ व्युत्क्रम, और दाएँ व्युत्क्रम वाला प्रत्येक फलन आवश्यक रूप से एक अनुमान है। विशेषण कार्यों की कार्य संरचना हमेशा विशेषण होती है। किसी भी कार्य को प्रक्षेपण और इंजेक्शन में विघटित किया जा सकता है।
+कोई भी फलन किसी फलन के सहकार्यक्षेत्र को उसके कार्यक्षेत्र की छवि पर प्रतिबंधित करके एक प्रक्षेपण को प्रेरित करता है। पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए प्रत्येक विशेषण कार्य में एक सही व्युत्क्रम होता है, और एक सही व्युत्क्रम वाला प्रत्येक कार्य आवश्यक रूप से एक आच्छादान है। विशेषण कार्यों की कार्य संरचना हमेशा विशेषण होती है। किसी भी कार्य को प्रक्षेपण और अंतःक्षेपण में विघटित किया जा सकता है।
 == परिभाषा ==
-{{details|topic=notation|Function (mathematics)#Notation}}
+{{details|topic=संकेतन|फलन (गणित)#संकेतन}}
-एक विशेषण फलन एक फलन (गणित) है जिसकी छवि (गणित) इसके कोडोमेन के बराबर है। समान रूप से, एक समारोह <math>f</math> एक समारोह के डोमेन के साथ <math>X</math> और कोडोमेन <math>Y</math> विशेषण है यदि प्रत्येक के लिए <math>y</math> में <math>Y</math> कम से कम एक मौजूद है <math>x</math> में <math>X</math> साथ <math>f(x)=y</math>.<ref name=":0" />अनुमानों को कभी-कभी दो-सिर वाले दाहिनी ओर तीर द्वारा दर्शाया जाता है ({{unichar|21A0|RIGHTWARDS TWO HEADED ARROW|ulink=Unicode}}),<ref name="Unicode Arrows">{{cite web| title = तीर - यूनिकोड| url = https://www.unicode.org/charts/PDF/U2190.pdf| access-date = 2013-05-11}}</ref> जैसे की <math>f\colon X\twoheadrightarrow Y</math>.
+विशेषण फलन एक फलन (गणित) है जिसकी छवि (गणित) इसके सहकार्यक्षेत्र के बराबर है। समतुल्य रूप से, कार्यछेत्र  <math>X</math> और सहकार्यछेत्र <math>Y</math> के साथ एक फलन <math>f</math> विशेषण है यदि <math>Y</math> में प्रत्येक <math>y</math> के लिए <math>f(x)=y</math> के साथ <math>x</math> में कम से कम एक <math>X</math> उपस्थित है <ref name=":0" /> आच्छादानों को कभी-कभी दो-सिर वाले दाहिनी ओर तीर द्वारा दर्शाया जाता है ({{unichar|21A0|दाईं ओर दो सिर वाला तीर|ulink=Unicode}}),<ref name="Unicode Arrows">{{cite web| title = तीर - यूनिकोड| url = https://www.unicode.org/charts/PDF/U2190.pdf| access-date = 2013-05-11}}</ref> जैसे की <math>f\colon X\twoheadrightarrow Y</math>.
 प्रतीकात्मक रूप से,
-:यदि <math>f\colon X \rightarrow Y</math>, तब <math>f</math> यदि और केवल यदि विशेषण कहा जाता है
+:यदि <math>f\colon X \rightarrow Y</math>, तब <math>f</math> को आच्छादक कहा जाता है यदि
 :<math>\forall y \in Y, \, \exists x \in X, \;\; f(x)=y</math>.<ref name=":1" /><ref>{{Cite web|url=http://www.math.umaine.edu/~farlow/sec42.pdf|title=इंजेक्शन, अनुमान और द्विभाजन|last=Farlow|first=S. J.|author-link= Stanley Farlow |website=math.umaine.edu|access-date=2019-12-06}}</ref>
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 == उदाहरण ==
-[[File:Codomain2.SVG|right|thumb|250px|फ़ंक्शन 'X'' के डोमेन से कोडोमेन 'Y'' के लिए एक गैर-आक्षेपिक फ़ंक्शन। ''Y'' के अंदर छोटा पीला अंडाकार ''f'' की छवि (गणित) (जिसे फ़ंक्शन की श्रेणी भी कहा जाता है) है। यह कार्य विशेषण नहीं है, क्योंकि छवि पूरे कोडोमेन को नहीं भरती है। दूसरे शब्दों में, ''Y'' दो-चरणीय प्रक्रिया में रंगीन है: सबसे पहले, ''X'' में प्रत्येक ''x'' के लिए, बिंदु ''f''(''x'') रंगीन है पीला; दूसरा, ''Y'' के बाकी सभी बिंदु, जो पीले नहीं हैं, नीले रंग से रंगे गए हैं। फलन ''f'' केवल तभी विशेषण होगा जब कोई नीला बिंदु न हो।]]
+[[File:Codomain2.SVG|right|thumb|250px|फलन 'X'' के कार्यक्षेत्र से सहकार्यक्षेत्र 'Y'' के लिए एक गैर-आक्षेपिक फलन। ''Y'' के अंदर छोटा पीला अंडाकार ''f'' की छवि (गणित) (जिसे फलन की श्रेणी भी कहा जाता है) है। यह कार्य विशेषण नहीं है, क्योंकि छवि पूरे सहकार्यक्षेत्र को नहीं भरती है। दूसरे शब्दों में, ''Y'' दो-चरणीय प्रक्रिया में रंगीन है: सबसे पहले, ''X'' में प्रत्येक ''x'' के लिए, बिंदु ''f''(''x'') रंगीन है पीला; दूसरा, ''Y'' के बाकी सभी बिंदु, जो पीले नहीं हैं, नीले रंग से रंगे गए हैं। फलन ''f'' केवल तभी विशेषण होगा जब कोई नीला बिंदु न हो।]]
-{{for|more examples|#Gallery}}
+{{for|अधिक उदाहरण|#गैलरी}}
-* किसी भी सेट एक्स के लिए, पहचान फ़ंक्शन आईडी<sub>''X''</sub> एक्स पर विशेषण है।
+* किसी भी सम्मुच्चय X के लिए, पहचान फलन id<sub>''X''</sub> X पर विशेषण है।
-* कार्यक्रम {{math|''f'' : '''Z''' → {0, 1}<nowiki/>}} f(n) = n 'मॉड्यूलर अंकगणितीय' 2 द्वारा परिभाषित (अर्थात, सम संख्या पूर्णांकों को 0 और विषम संख्या पूर्णांकों को 1 पर मैप किया जाता है) विशेषण है।
+* फलन {{math|''f'' : '''Z''' → {0, 1}<nowiki/>}} f(n) = n 'प्रमापीय अंकगणितीय' 2 द्वारा परिभाषित (अर्थात, सम संख्या पूर्णांकों को 0 और विषम संख्या पूर्णांकों को 1 पर मानचित्र किया जाता है) विशेषण है।
-* कार्यक्रम {{math|''f'' : '''R''' → '''R'''}} f(x) = 2x + 1 द्वारा परिभाषित विशेषण (और यहां तक कि विशेषण फलन भी) है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या y के लिए, हमारे पास एक x ऐसा है कि f(x) = y: ऐसा उपयुक्त x है (y - 1)/ 2.
+* फलन {{math|''f'' : '''R''' → '''R'''}} f(x) = 2x + 1 द्वारा परिभाषित विशेषण (और यहां तक कि विशेषण फलन भी) है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या y के लिए, हमारे पास एक x ऐसा है कि f(x) = y: ऐसा उपयुक्त x  (y - 1)/ 2 है।
-* कार्यक्रम {{math|''f'' : '''R''' → '''R'''}} एफ (एक्स) = एक्स द्वारा परिभाषित<sup>3</sup> − 3x आच्छादक है, क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या y की पूर्व-छवि क्यूबिक बहुपद समीकरण x का हल सेट है<sup>3</sup> − 3x − y = 0, और वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक घन बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है। हालाँकि, यह फलन अंतःक्षेपी फलन नहीं है (और इसलिए विशेषण फलन नहीं है), क्योंकि, उदाहरण के लिए, y = 2 की पूर्व-छवि {x = −1, x = 2} है। (वास्तव में, प्रत्येक y, −2 ≤ y ≤ 2 के लिए इस फ़ंक्शन की पूर्व-छवि में एक से अधिक तत्व हैं।)
+* फलन {{math|''f'' : '''R''' → '''R'''}} F (X) = x<sup>3</sup> − 3x द्वारा परिभाषित आच्छादक है, क्योंकि किसी भी वास्तविक संख्या y<sup>3</sup> − 3x − y = 0 की पूर्व-छवि त्रिविमीय बहुपद समीकरण x का हल सम्मुच्चय है, और वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक घन बहुपद का कम से कम एक वास्तविक मूल होता है। हालाँकि, यह फलन अंतःक्षेपी फलन नहीं है (और इसलिए विशेषण फलन नहीं है), क्योंकि, उदाहरण के लिए, y = 2 की पूर्व-छवि {x = −1, x = 2} है। (वास्तव में, प्रत्येक y, −2 ≤ y ≤ 2 के लिए इस फलन की पूर्व-छवि में एक से अधिक तत्व हैं।)
-* कार्यक्रम {{math|''g'' : '''R''' → '''R'''}} द्वारा परिभाषित {{Nowrap begin}}जी (एक्स) = एक्स<sup>2</उप>{{Nowrap end}} आच्छादी नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई वास्तविक संख्या x नहीं है {{Nowrap begin}}x<sup>2</sup> = -1{{Nowrap end}}. हालाँकि, समारोह {{math|''g'' : '''R''' → '''R'''{{sub|≥0}}}} द्वारा परिभाषित {{math|1=''g''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>}} (प्रतिबंधित कोडोमेन के साथ) विशेषण है, क्योंकि गैर-नकारात्मक वास्तविक कोडोमेन Y में प्रत्येक y के लिए, वास्तविक डोमेन X में कम से कम एक x ऐसा है कि {{Nowrap begin}}x<sup>2</sup> = और{{Nowrap end}}.
+* फलन {{math|''g'' : '''R''' → '''R'''}} द्वारा परिभाषित {{Nowrap begin}}G (x) = X<sup>2{{Nowrap end}} आच्छादी नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई वास्तविक संख्या x {{Nowrap begin}}x<sup>2</sup> = -1{{Nowrap end}} नहीं है। हालाँकि, फलन {{math|''g'' : '''R''' → '''R'''{{sub|≥0}}}} द्वारा परिभाषित {{math|1=''g''(''x'') = ''x''<sup>2</sup>}} (प्रतिबंधित सहकार्यक्षेत्र के साथ) विशेषण है, क्योंकि गैर-नकारात्मक वास्तविक सहकार्यक्षेत्र Y में प्रत्येक y के लिए, वास्तविक कार्यक्षेत्र X में कम से कम एक x इस प्रकार है कि ''x''<sup>2</sup> = ''y।''
-* प्राकृतिक लघुगणक समारोह {{math|ln : <nowiki>(0, +∞)</nowiki> → '''R'''}} एक विशेषण और विशेषण भी है (सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के सेट से सभी वास्तविक संख्याओं के सेट तक मैपिंग)। इसका व्युत्क्रम, घातीय फलन, यदि डोमेन के रूप में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के साथ परिभाषित किया जाता है, तो यह आच्छादक नहीं है (क्योंकि इसकी सीमा धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है)।
+* प्राकृतिक लघुगणक फलन {{math|ln : <nowiki>(0, +∞)</nowiki> → '''R'''}} एक विशेषण और विशेषण भी है (सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के सम्मुच्चय से सभी वास्तविक संख्याओं के सम्मुच्चय तक मानचित्रिंग)। इसका व्युत्क्रम, घातीय फलन, यदि कार्यक्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के साथ परिभाषित किया जाता है, तो यह आच्छादक नहीं है (क्योंकि इसकी सीमा धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है)।
-* मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल विशेषण नहीं है जब इसे सभी n×n मैट्रिक्स (गणित) के स्थान से मानचित्र के रूप में देखा जाता है। हालाँकि, इसे आमतौर पर सभी n × n मैट्रिक्स के स्थान से डिग्री n के सामान्य रैखिक समूह (अर्थात, सभी n × n व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स का समूह (गणित)) के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस परिभाषा के तहत, मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल जटिल मैट्रिसेस के लिए विशेषण है, हालांकि वास्तविक मैट्रिक्स के लिए अभी भी विशेषण नहीं है।
+* आव्यूह एक्सपोनेंशियल विशेषण नहीं है जब सभी n × n आव्यूह के स्थान से एक मानचित्र के रूप में देखा जाता है। हालाँकि, इसे सामान्यतः सभी n × n आव्यूह के स्थान से एक मानचित्र के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो घात n के सामान्य रैखिक समूह (अर्थात, सभी n × n व्युत्क्रमणीय आव्यूह का समूह) होता है। इस परिभाषा के अंतर्गत, आव्यूह एक्सपोनेंशियल जटिल आव्यूह के लिए विशेषण है, हालांकि वास्तविक आव्यूह के लिए अभी भी विशेषण नहीं है।
-* प्रक्षेपण (सेट सिद्धांत) एक कार्तीय उत्पाद से {{math|''A'' × ''B''}} इसके कारकों में से एक विशेषण है, जब तक कि अन्य कारक खाली न हो।
+* प्रक्षेपण (सम्मुच्चय सिद्धांत) एक कार्तीय उत्पाद से {{math|''A'' × ''B''}} इसके कारकों में से एक विशेषण है, जब तक कि अन्य कारक खाली न हो।
-* एक 3डी वीडियो गेम में, सदिशों को एक विशेषण कार्य के माध्यम से 2डी फ्लैट स्क्रीन पर प्रक्षेपित किया जाता है।
+* एक 3डी वीडियो गेम में, सदिशों को एक विशेषण कार्य के माध्यम से 2डी समतल प्रपट्ट पर प्रक्षेपित किया जाता है।
 {{-}}
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 एक फलन विशेषण फलन है यदि और केवल यदि यह आच्छादक और अंतःक्षेपी दोनों फलन है।
-यदि (जैसा कि अक्सर किया जाता है) किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के साथ फ़ंक्शन की पहचान की जाती है, तो विशेषण फ़ंक्शन की संपत्ति नहीं है, बल्कि मानचित्र (गणित) की संपत्ति है।<ref>{{cite book|author=T. M. Apostol|title=गणितीय विश्लेषण|year=1981|publisher=Addison-Wesley|page=35}}</ref> यह, इसके कोडोमेन के साथ कार्य है। इंजेक्शन के विपरीत, प्रक्षेप्यता को अकेले फ़ंक्शन के ग्राफ़ से नहीं पढ़ा जा सकता है।
+यदि (जैसा कि प्रायः किया जाता है) किसी फलन के लेखाचित्र के साथ फलन की पहचान की जाती है, तो विशेषण फलन की विशेषता नहीं है, बल्कि मानचित्र (गणित) की विशेषता है। <ref>{{cite book|author=T. M. Apostol|title=गणितीय विश्लेषण|year=1981|publisher=Addison-Wesley|page=35}}</ref> यह, इसके सहकार्यक्षेत्र के साथ कार्य है। अंतःक्षेपण के विपरीत, प्रक्षेप्यता को अकेले फलन के लेखाचित्र से नहीं पढ़ा जा सकता है।
-=== सही व्युत्क्रमणीय कार्यों के रूप में अनुमान ===
+=== सही व्युत्क्रमणीय कार्यों के रूप में आच्छादान ===
-कार्यक्रम {{Nowrap|''g'' : ''Y'' → ''X''}} एक व्युत्क्रम फलन# फलन के बाएँ और दाएँ प्रतिलोम कहा जाता है {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} यदि {{Nowrap begin}}एफ (जी (वाई)) = वाई{{Nowrap end}} Y में प्रत्येक y के लिए (g को f द्वारा पूर्ववत किया जा सकता है)। दूसरे शब्दों में, फ़ंक्शन संरचना होने पर g f का सही व्युत्क्रम है {{Nowrap|''f'' <small>o</small> ''g''}} g और f का क्रम इसी क्रम में g के प्रांत Y पर तत्समक फलन है। फलन g को f का पूर्ण व्युत्क्रम फलन होने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि रचना दूसरे क्रम में है, {{Nowrap|''g'' <small>o</small> ''f''}}, f के प्रांत X पर तत्समक फलन नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, f, g को पूर्ववत या उल्टा कर सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि इसके द्वारा उलटा किया जा सके।
+फलन g : Y → X, फलन f : X → Y का सही व्युत्क्रम कहलाता है यदि f(g(y)) = y प्रत्येक y के लिए Y में (g को f द्वारा पूर्ववत किया जा सकता है)। दूसरे शब्दों में, g, f का सही व्युत्क्रम है यदि g का संघटन fog और f उसी क्रम में g के प्रांत Y पर तत्समक फलन है। फलन g को f का पूर्ण व्युत्क्रम होना आवश्यक नहीं है क्योंकि अन्य क्रम में संघटन, ''g'' <small>o</small> ''f'', f के प्रांत X पर तत्समक फलन नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, f, g को पूर्ववत या विपरीत कर सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि इसके द्वारा विपरीत किया जा सके।
-सही प्रतिलोम वाला प्रत्येक फलन आवश्यक रूप से एक अनुमान है। प्रस्ताव है कि प्रत्येक विशेषण समारोह में एक सही व्युत्क्रम होता है, पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर होता है।
+सही प्रतिलोम वाला प्रत्येक फलन आवश्यक रूप से एक आच्छादान है। प्रस्ताव है कि प्रत्येक विशेषण फलन में एक सही व्युत्क्रम होता है, पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर होता है।
-यदि {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} आच्छादक है और B, Y का उपसमुच्चय है, तब {{Nowrap begin}}एफ (एफ<sup>−1</sup>(बी)) = बी{{Nowrap end}}. इस प्रकार, B को इसके पूर्व चित्र से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है {{Nowrap|''f''<sup> −1</sup>(''B'')}}.
+यदि {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} आच्छादक है और B, Y का उपसमुच्चय है, तब ''f''(''f'' <sup>−1</sup>(''B'')) = ''B होता है।'' इस प्रकार, B को इसके पूर्व चित्र {{Nowrap|''f''<sup> −1</sup>(''B'')}} से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।
-उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए पहले दृष्टांत में, कुछ फ़ंक्शन g ऐसा है कि g(C) = 4. कुछ फ़ंक्शन f भी है जैसे कि f(4) = C. इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि g(C) भी हो सकता है बराबर 3; यह केवल मायने रखता है कि f, g को उलट देता है।
+उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए पहले दृष्टांत में, कुछ फलन g इस प्रकार हैं कि g(C) = 4। कुछ फलन f भी है जैसे कि f(4) = C। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि g(C) बराबर 3 भी हो सकता है।
-=== एपिमोर्फिज्म के रूप में अनुमान ===
+=== एपिमोर्फिज्म के रूप में आच्छादान ===
-एक समारोह {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} विशेषण है अगर और केवल अगर यह सही-निरस्तीकरण है:<ref>{{Cite book
+एक फलन {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} विशेषण है अगर और केवल अगर यह सही-निरस्तीकरण है:<ref>{{Cite book
 |first=Robert
 |last=Goldblatt
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 |orig-year=1984
 |publisher=[[Dover Publications]]
-|isbn=978-0-486-45026-1}}</ref> कोई कार्य दिया {{Nowrap|''g'',''h'' : ''Y'' → ''Z''}}, जब भी {{Nowrap begin}}जी <छोटा>ओ</छोटा> एफ = एच <छोटा>ओ</छोटा> च{{Nowrap end}}, तब {{Nowrap begin}}जी = एच{{Nowrap end}}. यह गुण कार्यों और उनकी कार्य संरचना के संदर्भ में तैयार किया गया है और एक श्रेणी (गणित) और उनकी संरचना के morphisms की अधिक सामान्य धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। राइट-कैंसलेटिव मॉर्फिज्म को एपिमोर्फिज्म कहा जाता है। विशेष रूप से, विशेषण कार्य निश्चित रूप से सेट की श्रेणी में एपिमोर्फिज्म हैं। उपसर्ग एपि ग्रीक पूर्वसर्ग ἐπί से लिया गया है जिसका अर्थ है ऊपर, ऊपर, पर।
+|isbn=978-0-486-45026-1}}</ref> दिया गया कोई फलन g,h : Y → Z, जब भी gof = hof होता है, तब g = h है। यह गुण कार्यों और उनकी कार्य संरचना के संदर्भ में तैयार किया गया है और एक श्रेणी (गणित) और उनकी संरचना के मोर्फिज्म की अधिक सामान्य धारणा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। यथार्थ-निरस्तीकरण मॉर्फिज्म को एपिमोर्फिज्म कहा जाता है। विशेष रूप से, विशेषण कार्य निश्चित रूप से सम्मुच्चय की श्रेणी में एपिमोर्फिज्म हैं। उपसर्ग एपि ग्रीक पूर्वसर्ग ἐπί से लिया गया है जिसका अर्थ ओवर, अबव, ऑन है।
 सही व्युत्क्रम के साथ कोई भी रूपवाद एक एपिमोर्फिज्म है, लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है। आकृतिवाद f के एक सही व्युत्क्रम g को f का एक खंड (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है। दाएं व्युत्क्रम के साथ एक आकृतिवाद को विभाजित एपिमोर्फिज्म कहा जाता है।
-=== द्विआधारी संबंधों के रूप में अनुमान ===
+=== द्विआधारी संबंधों के रूप में आच्छादान ===
-डोमेन एक्स और कोडोमेन वाई के साथ कोई भी फ़ंक्शन बाएं-कुल संबंध के रूप में देखा जा सकता है | बाएं-कुल और दाएं-अद्वितीय संबंध | एक्स और वाई के बीच दाएं-अद्वितीय बाइनरी संबंध को इसके फ़ंक्शन ग्राफ़ के साथ पहचान कर। डोमेन एक्स और कोडोमेन वाई के साथ एक विशेषण कार्य तब एक्स और वाई के बीच एक द्विआधारी संबंध है जो दायां-अद्वितीय है और बाएं-कुल और दाएं-कुल संबंध दोनों हैं। सही-कुल।
+कार्यक्षेत्र X और सहकार्यक्षेत्र Y के साथ कोई भी फलन X और Y के बीच बाएं-कुल और दाएं-अद्वितीय द्विआधारी संबंध के रूप में इसे इसके फलन लेखाचित्र के साथ पहचान कर देखा जा सकता है। कार्यक्षेत्र X और सहकार्यक्षेत्र Y के साथ एक विशेषण कार्य तब F और Y के बीच एक द्विआधारी संबंध है जो दाएं-अद्वितीय है और बाएं-कुल और दाएं-कुल दोनों हैं।
-=== एक अनुमान के डोमेन की कार्डिनैलिटी ===
+=== एक आच्छादान के कार्यक्षेत्र की गणनांक ===
-किसी विशेषण फलन के डोमेन की कार्डिनैलिटी उसके कोडोमेन की कार्डिनैलिटी से अधिक या उसके बराबर है: यदि {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} एक आच्छादन फलन है, तो कार्डिनल संख्या के अर्थ में X में कम से कम उतने ही तत्व हैं जितने कि Y। (सबूत एक समारोह दिखाने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की अपील करता है
+किसी विशेषण फलन के कार्यक्षेत्र की गणनांक उसके सहकार्यक्षेत्र की गणनांक से अधिक या उसके बराबर है: यदि {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} एक आच्छादन फलन है, तो गणनांक संख्या के अर्थ में X में कम से कम उतने ही तत्व हैं जितने कि Y में हैं। (प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध को दिखाने के लिए अपील करता है कि एक फलन g : Y → X संतोषजनक f(g(y)) = y सभी y के लिए Y में उपस्थित है। g को आसानी से अंतःक्षेपी के रूप में देखा जाता है, इस प्रकार |''Y''| ≤ |''X''| की औपचारिक परिभाषा संतुष्ट है।)
-{{Nowrap|''g'' : ''Y'' → ''X''}} Y में सभी y के लिए संतोषजनक f(g(y)) = y मौजूद है। g को आसानी से अंतःक्षेपी के रूप में देखा जाता है, इस प्रकार कार्डिनल संख्या#|Y| की औपचारिक परिभाषा ≤ |एक्स| संतुष्ट है।)
-विशेष रूप से, यदि एक्स और वाई दोनों तत्वों की समान संख्या के साथ परिमित सेट हैं, तो {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} आच्छादक है यदि और केवल यदि f अंतःक्षेपी है।
+विशेष रूप से, यदि X और Y दोनों तत्वों की समान संख्या के साथ परिमित सम्मुच्चय हैं, तो {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} आच्छादक है यदि और केवल यदि f अंतःक्षेपी है।
-दो सेट X और Y, संकेतन दिए गए हैं {{nowrap|''X'' ≤<sup>*</sup> ''Y''}} यह कहने के लिए प्रयोग किया जाता है कि या तो एक्स खाली है या कि वाई से एक्स पर एक विशेषण है। पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके कोई दिखा सकता है कि {{nowrap|''X'' ≤<sup>*</sup> ''Y''}} और {{nowrap|''Y'' ≤<sup>*</sup> ''X''}} एक साथ इसका मतलब है {{nowrap begin}}|और| = |एक्स|,{{nowrap end}} श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय का एक प्रकार।
+दो सम्मुच्चय X और Y दिए गए हैं, संकेतन {{nowrap|''X'' ≤<sup>*</sup> ''Y''}} यह कहने के लिए प्रयोग किया जाता है कि या तो X खाली है या कि Y से X पर एक विशेषण है। पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके कोई दिखा सकता है कि {{nowrap|''X'' ≤<sup>*</sup> ''Y''}} और {{nowrap|''Y'' ≤<sup>*</sup> ''X''}} एक साथ इसका अर्थ |''Y''| = |''X''| है, यह श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय का एक प्रकार है।
 === रचना और अपघटन ===
-विशेषण फलनों का फलन संघटन हमेशा विशेषणात्मक होता है: यदि f और g दोनों आच्छादी हैं, और g का कोडोमेन f के प्रांत के बराबर है, तो {{Nowrap|''f'' <small>o</small> ''g''}} विशेषण है। इसके विपरीत यदि {{Nowrap|''f'' <small>o</small> ''g''}} आच्छादन है, तो च आच्छादक है (लेकिन जी, पहले लागू किया गया फ़ंक्शन, होना आवश्यक नहीं है)। ये गुण किसी भी श्रेणी (गणित) में सेट की श्रेणी में अनुमानों से लेकर किसी भी एपिमोर्फिज्म तक सामान्यीकृत होते हैं।
+विशेषण फलनों का फलन संघटन हमेशा विशेषणात्मक होता है: यदि f और g दोनों आच्छादी हैं, और g का सहकार्यक्षेत्र f के प्रांत के बराबर है, तो {{Nowrap|''f'' <small>o</small> ''g''}} विशेषण है। इसके विपरीत यदि {{Nowrap|''f'' <small>o</small> ''g''}} आच्छादन है, तो h आच्छादक है (लेकिन g, पहले लागू किया गया फलन, होना आवश्यक नहीं है)। ये गुण किसी भी श्रेणी (गणित) में सम्मुच्चय की श्रेणी में आच्छादानों से लेकर किसी भी एपिमोर्फिज्म तक सामान्यीकृत होते हैं।
-किसी भी कार्य को एक विशेषण और एक इंजेक्शन समारोह में विघटित किया जा सकता है: किसी भी कार्य के लिए {{Nowrap|''h'' : ''X'' → ''Z''}} एक अनुमान मौजूद है {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} और एक इंजेक्शन {{Nowrap|''g'' : ''Y'' → ''Z''}} ऐसा है कि {{Nowrap begin}}एच = जी <छोटा>ओ</छोटा> एफ{{Nowrap end}}. इसे देखने के लिए, Y को पूर्व-छवियों के समुच्चय के रूप में परिभाषित करें {{Nowrap|''h''<sup>−1</sup>(''z'')}} जहाँ z है {{Nowrap|''h''(''X'')}}. ये प्रीइमेज एक सेट एक्स के असंयुक्त सेट और विभाजन हैं। फिर एफ प्रत्येक एक्स को वाई के तत्व में ले जाता है जिसमें यह शामिल है, और जी वाई के प्रत्येक तत्व को जेड में उस बिंदु पर ले जाता है जहां एच अपने अंक भेजता है। तब f आच्छादक है क्योंकि यह एक प्रक्षेपण मानचित्र है, और g परिभाषा के अनुसार अंतःक्षेपी है।
+किसी भी कार्य को एक विशेषण और एक अंतःक्षेपण फलन में विघटित किया जा सकता है: किसी भी कार्य {{Nowrap|''h'' : ''X'' → ''Z''}} के लिए एक आच्छादान उपस्थित {{Nowrap|''f'' : ''X'' → ''Y''}} है और एक अंतःक्षेपण {{Nowrap|''g'' : ''Y'' → ''Z''}} इस प्रकार है कि ''h'' = ''g'' <small>o</small> ''f है''। इसे देखने के लिए, Y को प्रीइमेज h−1(z) के सम्मुच्चय के रूप में परिभाषित करें जहां z h(X) में है। ये प्रीइमेज अलग हैं और X को विभाजित करते हैं। फिर f प्रत्येक X को Y के तत्व में ले जाता है जिसमें यह सम्मिलित है, और g Y के प्रत्येक तत्व को z में उस बिंदु पर ले जाता है जहां h अपने अंक भेजता है। तब f आच्छादक है क्योंकि यह एक प्रक्षेपण मानचित्र है, और g परिभाषा के अनुसार अंतःक्षेपी है।
-=== प्रेरित अनुमान और प्रेरित पूर्वाग्रह ===
+=== प्रेरित आच्छादान और प्रेरित पूर्वाग्रह ===
-कोई भी कार्य अपने कोडोमेन को अपनी सीमा तक सीमित करके एक प्रक्षेपण को प्रेरित करता है। कोई भी विशेषण फलन अपने डोमेन के भागफल सेट पर परिभाषित आक्षेप को प्रेरित करता है, जो किसी निश्चित छवि के लिए सभी तर्कों की मैपिंग को ढहा देता है। अधिक सटीक, हर अनुमान {{Nowrap|''f'' : ''A'' → ''B''}} निम्नानुसार एक प्रक्षेपण के बाद प्रक्षेपण के रूप में तथ्य किया जा सकता है। मान लीजिए A/~ निम्नलिखित तुल्यता संबंध के अंतर्गत A का तुल्यता वर्ग है: x ~ y यदि और केवल यदि f(x) = f(y)। समतुल्य रूप से, ए / ~ एफ के तहत सभी पूर्व छवियों का सेट है। चलो P(~) : A → A/~ प्रक्षेपण मानचित्र बनें जो A में प्रत्येक x को उसके समतुल्य वर्ग [x] में भेजता है<sub>~</sub>, और चलो च<sub>''P''</sub> : A/~ → B, f द्वारा दिया गया सुपरिभाषित फलन है<sub>''P''</sub>([एक्स]<sub>~</sub>) = एफ (एक्स)। तब च = च<sub>''P''</sub> ओ पी (~)।
+कोई भी कार्य अपने सहकार्यक्षेत्र को अपनी सीमा तक सीमित करके एक प्रक्षेपण को प्रेरित करता है। कोई भी विशेषण फलन अपने कार्यक्षेत्र के भागफल सम्मुच्चय पर परिभाषित आक्षेप को प्रेरित करता है, जो किसी निश्चित छवि के लिए सभी तर्कों की मानचित्रण को ढहा देता है। अधिक यथार्थ रूप से, हर आच्छादान {{Nowrap|''f'' : ''A'' → ''B''}} निम्नानुसार एक प्रक्षेपण के बाद प्रक्षेपण के रूप में तथ्य किया जा सकता है। मान लीजिए A/~ निम्नलिखित तुल्यता संबंध के अंतर्गत A का तुल्यता वर्ग है: x ~ y यदि और केवल यदि f(x) = f(y)। समतुल्य रूप से, A / ~ F के अंतर्गत सभी पूर्व छवियों का सम्मुच्चय है। मान लीजिये P(~) : A → A/~ प्रक्षेपण मानचित्र बनते हैं जो A में प्रत्येक x को उसके समतुल्य वर्ग [x] में भेजता है<sub>~</sub>, और मान लीजिये  ''f<sub>P</sub>'' : ''A''/~ → ''B'', f द्वारा दिया गया सुपरिभाषित फलन ''f<sub>P</sub>''([''x'']<sub>~</sub>) = ''f''(''x''). Then ''f'' = ''f<sub>P</sub>'' o ''P''(~) है।
-== अनुमानों का स्थान ==
+== आच्छादानों का स्थान ==
-तय दिया {{Mvar|A}} और {{Mvar|B}}, कोई अनुमानों का समूह बना सकता है {{Math|''A'' ↠ ''B''}}. इस सेट की प्रमुखता रोटा के ट्वेल्वफोल्ड वे के बारह पहलुओं में से एक है, और इसके द्वारा दी गई है <math display="inline">|B|!\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}</math>, कहां <math display="inline">\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}</math> दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है।
+नियत A और B दिए हुए हैं, कोई विशेषण A ↠ B का समुच्चय बना सकता है। इस सम्मुच्चय की प्रमुखता रोटा के ट्वेल्वफोल्ड वे के बारह पहलुओं में से एक है, और इसके द्वारा <math display="inline">|B|!\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}</math> दी गई है , जहाँ <math display="inline">\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}</math> दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है।
 == गैलरी ==
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-|Image:Surjection.svg|A non-injective '''surjective''' function (surjection, not a bijection)
+|Image:आच्छादान.svg|एक गैर-अंतः क्षेपण '''आच्छादान''' फलन (आक्षेपण, आक्षेप नहीं)
-|Image:Bijection.svg|An injective '''surjective''' function (bijection)
+|Image:Bijection.svg|एक अंतःक्षेपक '''आच्छादान''' फलन (द्विभाजन)
-|Image:Injection.svg|An injective non-surjective function (injection, not a bijection)
+|Image:Injection.svg|एक अंतःक्षेपक गैर-आच्छादान फलन (अंतः क्षेपण, द्विभाजन नहीं)|Image:Not-Injection-Surjection.svg|एक गैर-अंतः क्षेपण गैर-आक्षेपण फलन (न ही एक आक्षेप)
-|Image:Not-Injection-Surjection.svg|A non-injective non-surjective function (neither a bijection)
 }}
 <gallery>
-File:Surjective composition.svg|Surjective composition: the first function need not be surjective.
+File:Index.php?title=File:Surjective composition.svg|विशेषण रचना: पहले कार्य को विशेषण होने की आवश्यकता नहीं है।
-File:Non-surjective function2.svg|alt=|'''Non-surjective functions''' in the Cartesian plane. Although some parts of the function are surjective, where elements ''y'' in ''Y'' do have a value ''x'' in ''X'' such that ''y'' = ''f''(''x''), some parts are not. '''Left:''' There is ''y''<sub>0</sub> in ''Y'', but there is no ''x''<sub>0</sub> in ''X'' such that ''y''<sub>0</sub> = ''f''(''x''<sub>0</sub>). '''Right:''' There are ''y''<sub>1</sub>, ''y''<sub>2</sub> and ''y''<sub>3</sub> in ''Y'', but there are no ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>, and ''x''<sub>3</sub> in ''X'' such that ''y''<sub>1</sub> = ''f''(''x''<sub>1</sub>), ''y''<sub>2</sub> = ''f''(''x''<sub>2</sub>), and ''y''<sub>3</sub> = ''f''(''x''<sub>3</sub>).
+File:Index.php?title=File:Non-surjective function2.svg|कार्तीय तल में गैर-आक्षेपिक कार्य। हालांकि फलन के कुछ भाग विशेषण हैं, जहां Y में तत्वों y का मान x x में ऐसा है कि y = f(x), कुछ भाग नहीं हैं। वाम: Y में y0 है, लेकिन X में ऐसा कोई x0 नहीं है कि y0 = f(x0)। सही: Y में y1, y2 और y3 हैं, लेकिन X में कोई x1, x2, और x3 नहीं हैं जैसे कि y1 = f(x1), y2 = f(x2), और y3 = f(x3)।
-File:Surjective function.svg|alt=|Interpretation for '''surjective functions''' in the Cartesian plane, defined by the mapping ''f'' : ''X'' → ''Y'', where ''y'' = ''f''(''x''), ''X'' = domain of function, ''Y'' = range of function. Every element in the range is mapped onto from an element in the domain, by the rule ''f''. There may be a number of domain elements which map to the same range element. That is, every ''y'' in ''Y'' is mapped from an element ''x'' in ''X'', more than one ''x'' can map to the same ''y''. '''Left:''' Only one domain is shown which makes ''f'' surjective. '''Right:''' two possible domains ''X''<sub>1</sub> and ''X''<sub>2</sub> are shown.
+File:Index.php?title=File:Surjective function.svg|प्रतिचित्रण f : X → Y, जहां y = f(x), X = फलन का कार्यछेत्र, Y = फलन की श्रेणी द्वारा परिभाषित कार्तीय तल में विशेषण कार्यों की व्याख्या। नियम f द्वारा, श्रेणी में प्रत्येक तत्व को कार्यछेत्र में किसी तत्व से प्रतिचित्रण किया जाता है। ऐसे कई कार्यछेत्र तत्व हो सकते हैं जो एक ही श्रेणी तत्व को प्रतिचित्रण करते हैं। अर्थात्, Y में प्रत्येक y को X में एक तत्व x से प्रतिचित्रण किया जाता है, एक से अधिक x उसी y को प्रतिचित्रण कर सकते हैं। बायां: केवल एक कार्यछेत्र दिखाया गया है जो f आच्छादक बनाता है। दाएं: दो संभावित कार्यछेत्र X1 और X2 दिखाए गए हैं।
 </gallery>
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 {{Commons category|Surjectivity}}
 {{Wiktionary|surjective|surjection|onto}}
-* आपत्ति, इंजेक्शन और प्रक्षेपण
+* आपत्ति, अंतःक्षेपण और प्रक्षेपण
-*कवर (बीजगणित)
+*समाविष्ट (बीजगणित)
-* कवरिंग मैप
+* आच्छादन मानचित्र
 *गणना
-* फाइबर बंडल
+* फाइबर समूह
-* सूचकांक सेट
+* सूचकांक सम्मुच्चय
 *अनुभाग (श्रेणी सिद्धांत)

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Revision as of 15:03, 31 May 2023

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उदाहरण

गुण