लाप्लास ऑपरेटर: Difference between revisions
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=== प्रसार === | === प्रसार === | ||
प्रसार के भौतिकी सिद्धांत में, लाप्लास ऑपरेटर प्रसार संतुलन के गणितीय विवरण में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है।<ref>{{harvnb|Evans|1998|loc=§2.2}}</ref> विशेष रूप से, | प्रसार के भौतिकी सिद्धांत में, लाप्लास ऑपरेटर प्रसार संतुलन के गणितीय विवरण में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है।<ref>{{harvnb|Evans|1998|loc=§2.2}}</ref> विशेष रूप से, यदि {{math|''u''}} कुछ मात्रा के संतुलन पर घनत्व है जैसे रासायनिक एकाग्रता, फिर शुद्ध प्रवाह {{math|''u''}} सीमा के माध्यम से {{math|∂''V''}} किसी भी चिकने क्षेत्र का {{math|''V''}} शून्य है, परंतु भीतर कोई स्रोत या सिंक {{math|''V''}} न हो : | ||
<math display="block">\int_{\partial V} \nabla u \cdot \mathbf{n}\, dS = 0,</math> | <math display="block">\int_{\partial V} \nabla u \cdot \mathbf{n}\, dS = 0,</math> | ||
जहां {{math|'''n'''}} की सीमा के लिए सामान्य बाहरी इकाई {{math|''V''}} है । विचलन प्रमेय द्वारा, | |||
<math display="block">\int_V \operatorname{div} \nabla u\, dV = \int_{\partial V} \nabla u \cdot \mathbf{n}\, dS = 0.</math> | <math display="block">\int_V \operatorname{div} \nabla u\, dV = \int_{\partial V} \nabla u \cdot \mathbf{n}\, dS = 0.</math> | ||
चूंकि यह सभी चिकने क्षेत्रों के लिए है {{math|''V''}}, कोई दिखा सकता है कि इसका तात्पर्य | चूंकि यह सभी चिकने क्षेत्रों के लिए है {{math|''V''}}, कोई दिखा सकता है कि इसका तात्पर्य है। | ||
<math display="block">\operatorname{div} \nabla u = \Delta u = 0.</math> | <math display="block">\operatorname{div} \nabla u = \Delta u = 0.</math> | ||
इस समीकरण के बाईं ओर लाप्लास ऑपरेटर और संपूर्ण समीकरण है {{math|1=Δ''u'' = 0}} लाप्लास के समीकरण के रूप में जाना जाता है। लाप्लास समीकरण के समाधान, | इस समीकरण के बाईं ओर लाप्लास ऑपरेटर और संपूर्ण समीकरण है {{math|1=Δ''u'' = 0}} लाप्लास के समीकरण के रूप में जाना जाता है। लाप्लास समीकरण के समाधान, अर्थात ऐसे कार्य जिनके लाप्लासियन समान रूप से शून्य हैं, इस प्रकार प्रसार के अनुसार संभावित संतुलन घनत्व का प्रतिनिधित्व करते हैं। | ||
लाप्लास ऑपरेटर के पास गैर-संतुलन प्रसार के लिए भौतिक व्याख्या है, जिस | लाप्लास ऑपरेटर के पास गैर-संतुलन प्रसार के लिए भौतिक व्याख्या है, जिस सीमा तक बिंदु स्रोत या रासायनिक एकाग्रता के सिंक का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थ में प्रसार समीकरण द्वारा सटीक बनाया गया है। लाप्लासियन की इस व्याख्या को औसत के बारे में निम्नलिखित तथ्य से भी समझाया गया है। | ||
=== औसत === | === औसत === | ||
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यदि {{math|''φ''}} चार्ज वितरण से जुड़े इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता को दर्शाता है {{math|''q''}}, तब आवेश वितरण स्वयं के लाप्लासियन के ऋणात्मक द्वारा दिया जाता है {{math|''φ''}}: | यदि {{math|''φ''}} चार्ज वितरण से जुड़े इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता को दर्शाता है {{math|''q''}}, तब आवेश वितरण स्वयं के लाप्लासियन के ऋणात्मक द्वारा दिया जाता है {{math|''φ''}}: | ||
<math display="block">q = -\varepsilon_0 \Delta\varphi,</math> | <math display="block">q = -\varepsilon_0 \Delta\varphi,</math> | ||
जहां {{math|''ε''<sub>0</sub>}} विद्युत स्थिरांक है। | |||
यह गॉस के नियम का परिणाम है। दरअसल, | यह गॉस के नियम का परिणाम है। दरअसल, यदि {{math|''V''}} सीमा के साथ कोई चिकना क्षेत्र है {{math|∂''V''}}, फिर गॉस के नियम द्वारा इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र का प्रवाह {{math|'''E'''}} सीमा के पार संलग्न प्रभार के समानुपाती होता है: | ||
<math display="block">\int_{\partial V} \mathbf{E}\cdot \mathbf{n}\, dS = \int_V \operatorname{div}\mathbf{E}\,dV=\frac1{\varepsilon_0}\int_V q\,dV.</math> | <math display="block">\int_{\partial V} \mathbf{E}\cdot \mathbf{n}\, dS = \int_V \operatorname{div}\mathbf{E}\,dV=\frac1{\varepsilon_0}\int_V q\,dV.</math> | ||
जहाँ पहली समानता विचलन प्रमेय के कारण है। चूंकि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र क्षमता का (नकारात्मक) ढाल है, यह देता है: | जहाँ पहली समानता विचलन प्रमेय के कारण है। चूंकि इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षेत्र क्षमता का (नकारात्मक) ढाल है, यह देता है: | ||
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कार्तीय निर्देशांक में, | कार्तीय निर्देशांक में, | ||
<math display="block">\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math> | <math display="block">\Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}</math> | ||
जहां {{mvar|x}} और {{mvar|y}} के मानक कार्तीय निर्देशांक हैं {{math|''xy''}}-विमान। | |||
ध्रुवीय निर्देशांक में, | ध्रुवीय निर्देशांक में, | ||
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&= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}, | &= \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2}, | ||
\end{align}</math> | \end{align}</math> | ||
जहां {{mvar|r}} रेडियल दूरी का प्रतिनिधित्व करता है और {{mvar|θ}} कोण। | |||
=== तीन आयाम === | === तीन आयाम === | ||
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बेलनाकार निर्देशांक में, | बेलनाकार निर्देशांक में, | ||
<math display="block">\Delta f = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2 },</math> | <math display="block">\Delta f = \frac{1}{\rho} \frac{\partial}{\partial \rho} \left(\rho \frac{\partial f}{\partial \rho} \right) + \frac{1}{\rho^2} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2 },</math> | ||
जहां <math>\rho</math> रेडियल दूरी का प्रतिनिधित्व करता है, {{math|''φ''}} दिगंश कोण और {{math|''z''}} ऊँचाईं। | |||
गोलाकार निर्देशांक में: | गोलाकार निर्देशांक में: | ||
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या | या | ||
<math display="block">\Delta f = \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (r f) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2},</math> | <math display="block">\Delta f = \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (r f) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2},</math> | ||
जहां {{math|''φ''}} अज़ीमुथल कोण का प्रतिनिधित्व करता है और {{math|''θ''}} आंचल कोण या समांतरता|सह-अक्षांश।सामान्य वक्रीय निर्देशांक में ({{math|''ξ''<sup>1</sup>, ''ξ''<sup>2</sup>, ''ξ''<sup>3</sup>}}): | |||
<math display="block">\Delta = \nabla \xi^m \cdot \nabla \xi^n \frac{\partial^2}{\partial \xi^m \, \partial \xi^n} + \nabla^2 \xi^m \frac{\partial}{\partial \xi^m } = g^{mn} \left(\frac{\partial^2}{\partial\xi^m \, \partial\xi^n} - \Gamma^{l}_{mn}\frac{\partial}{\partial\xi^l} \right),</math> | <math display="block">\Delta = \nabla \xi^m \cdot \nabla \xi^n \frac{\partial^2}{\partial \xi^m \, \partial \xi^n} + \nabla^2 \xi^m \frac{\partial}{\partial \xi^m } = g^{mn} \left(\frac{\partial^2}{\partial\xi^m \, \partial\xi^n} - \Gamma^{l}_{mn}\frac{\partial}{\partial\xi^l} \right),</math> | ||
जहां आइंस्टीन सम्मेलन सम्मेलन, | जहां आइंस्टीन सम्मेलन सम्मेलन, | ||
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गोलाकार निर्देशांक में {{mvar|N}} आयाम, parametrization के साथ {{math|1=''x'' = ''rθ'' ∈ '''R'''<sup>''N''</sup>}} साथ {{mvar|r}} सकारात्मक वास्तविक त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करना और {{mvar|θ}} इकाई क्षेत्र का तत्व {{math|[[N sphere|''S''<sup>''N''−1</sup>]]}}, | गोलाकार निर्देशांक में {{mvar|N}} आयाम, parametrization के साथ {{math|1=''x'' = ''rθ'' ∈ '''R'''<sup>''N''</sup>}} साथ {{mvar|r}} सकारात्मक वास्तविक त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करना और {{mvar|θ}} इकाई क्षेत्र का तत्व {{math|[[N sphere|''S''<sup>''N''−1</sup>]]}}, | ||
<math display="block"> \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f</math> | <math display="block"> \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f</math> | ||
जहां {{math|Δ<sub>''S''<sup>''N''−1</sup></sub>}} लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर है {{math|(''N'' − 1)}}-गोला, गोलाकार लाप्लासियन के रूप में जाना जाता है। दो रेडियल व्युत्पन्न शब्दों को समान रूप से फिर से लिखा जा सकता है: | |||
<math display="block">\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \right).</math> | <math display="block">\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \right).</math> | ||
परिणाम के रूप में, पर परिभाषित फलन के गोलाकार लाप्लासियन {{math|''S''<sup>''N''−1</sup> ⊂ '''R'''<sup>''N''</sup>}} तक विस्तारित फलन के सामान्य लाप्लासियन के रूप में गणना की जा सकती है {{math|'''R'''<sup>''N''</sup>∖{0}<nowiki/>}} ताकि यह किरणों के साथ स्थिर हो, | परिणाम के रूप में, पर परिभाषित फलन के गोलाकार लाप्लासियन {{math|''S''<sup>''N''−1</sup> ⊂ '''R'''<sup>''N''</sup>}} तक विस्तारित फलन के सामान्य लाप्लासियन के रूप में गणना की जा सकती है {{math|'''R'''<sup>''N''</sup>∖{0}<nowiki/>}} ताकि यह किरणों के साथ स्थिर हो, अर्थात डिग्री शून्य का सजातीय कार्य। | ||
== यूक्लिडियन आक्रमण == | == यूक्लिडियन आक्रमण == | ||
लाप्लासियन सभी यूक्लिडियन परिवर्तनों के | लाप्लासियन सभी यूक्लिडियन परिवर्तनों के अनुसार अपरिवर्तनीय है: घूर्णन और अनुवाद (गणित)। दो आयामों में, उदाहरण के लिए, इसका अर्थ है कि: | ||
<math display="block">\Delta ( f(x\cos\theta - y\sin\theta + a, x\sin\theta + y\cos\theta + b)) = (\Delta f)(x\cos\theta - y\sin\theta + a, x\sin\theta + y\cos\theta + b)</math> | <math display="block">\Delta ( f(x\cos\theta - y\sin\theta + a, x\sin\theta + y\cos\theta + b)) = (\Delta f)(x\cos\theta - y\sin\theta + a, x\sin\theta + y\cos\theta + b)</math> | ||
सभी θ, ए, और बी के लिए। मनमाने आयामों में, | सभी θ, ए, और बी के लिए। मनमाने आयामों में, | ||
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कार्टेशियन निर्देशांक में, यह बहुत सरल रूप में कम हो जाता है | कार्टेशियन निर्देशांक में, यह बहुत सरल रूप में कम हो जाता है | ||
<math display="block"> \nabla^2 \mathbf{A} = (\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z), </math> | <math display="block"> \nabla^2 \mathbf{A} = (\nabla^2 A_x, \nabla^2 A_y, \nabla^2 A_z), </math> | ||
जहां <math>A_x</math>, <math>A_y</math>, और <math>A_z</math> वेक्टर क्षेत्र के घटक हैं <math>\mathbf{A}</math>, और <math> \nabla^2 </math> प्रत्येक वेक्टर फ़ील्ड घटक के ठीक बाईं ओर (स्केलर) लाप्लास ऑपरेटर है। इसे लैग्रेंज के सूत्र की विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है; वेक्टर ट्रिपल उत्पाद देखें। | |||
अन्य समन्वय प्रणालियों में वेक्टर लाप्लासियन की अभिव्यक्तियों के लिए डेल को बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में देखें। | अन्य समन्वय प्रणालियों में वेक्टर लाप्लासियन की अभिव्यक्तियों के लिए डेल को बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में देखें। | ||
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मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर डी'अलेम्बर्ट ऑपरेटर बन जाता है <math>\Box</math> या डी'अलेम्बर्टियन: | मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर डी'अलेम्बर्ट ऑपरेटर बन जाता है <math>\Box</math> या डी'अलेम्बर्टियन: | ||
<math display="block">\square = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}.</math> | <math display="block">\square = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \frac{\partial^2}{\partial x^2} - \frac{\partial^2}{\partial y^2} - \frac{\partial^2}{\partial z^2}.</math> | ||
यह लैपलेस ऑपरेटर का सामान्यीकरण इस अर्थ में है कि यह अंतर ऑपरेटर है जो अंतर्निहित स्थान के आइसोमेट्री समूह के | यह लैपलेस ऑपरेटर का सामान्यीकरण इस अर्थ में है कि यह अंतर ऑपरेटर है जो अंतर्निहित स्थान के आइसोमेट्री समूह के अनुसार अपरिवर्तनीय है और समय-स्वतंत्र कार्यों तक सीमित होने पर यह लैपलेस ऑपरेटर को कम कर देता है। यहां मीट्रिक का समग्र चिह्न इस प्रकार चुना जाता है कि ऑपरेटर के स्थानिक भाग नकारात्मक संकेत स्वीकार करते हैं, जो उच्च-ऊर्जा कण भौतिकी में सामान्य सम्मेलन है। D'Alembert ऑपरेटर को वेव ऑपरेटर के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि यह वेव समीकरणों में दिखाई देने वाला डिफरेंशियल ऑपरेटर है, और यह क्लेन-गॉर्डन समीकरण का भी हिस्सा है, जो द्रव्यमान रहित मामले में वेव समीकरण को कम करता है। | ||
का अतिरिक्त कारक {{math|''c''}} भौतिकी में मीट्रिक की आवश्यकता होती है यदि स्थान और समय को विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है; समान कारक की आवश्यकता होगी यदि, उदाहरण के लिए, {{mvar|x}} दिशा मीटर में मापी गई जबकि {{mvar|y}} दिशा सेंटीमीटर में मापी गई। दरअसल, सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी सामान्यतः ऐसी इकाइयों में काम करते हैं {{math|1=[[Natural units|''c'' = 1]]}} समीकरण को सरल बनाने के लिए। | का अतिरिक्त कारक {{math|''c''}} भौतिकी में मीट्रिक की आवश्यकता होती है यदि स्थान और समय को विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है; समान कारक की आवश्यकता होगी यदि, उदाहरण के लिए, {{mvar|x}} दिशा मीटर में मापी गई जबकि {{mvar|y}} दिशा सेंटीमीटर में मापी गई। दरअसल, सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी सामान्यतः ऐसी इकाइयों में काम करते हैं {{math|1=[[Natural units|''c'' = 1]]}} समीकरण को सरल बनाने के लिए। | ||
Revision as of 10:03, 17 May 2023
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
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गणित में, लाप्लास ऑपरेटर या लाप्लासियन अवकल संकारक है जो यूक्लिडियन स्थान पर एक अदिश फलन के प्रवणता के विचलन द्वारा दिया जाता है। यह सामान्यतः प्रतीकों , (जहां डेल है), या द्वारा दर्शाया जाता है। कार्तीय समन्वय प्रणाली में, लाप्लासियन को प्रत्येक स्वतंत्र चर के संबंध में फलन के दूसरे आंशिक व्युत्पन्न के योग द्वारा दिया जाता है। अन्य समन्वय प्रणालियों में, जैसे कि बेलनाकार निर्देशांक और गोलाकार निर्देशांक, लाप्लासियन का भी उपयोगी रूप है। अनौपचारिक रूप से, लाप्लासियन Δf (p) फलन का f बिंदु पर p के औसत मूल्य से मापता है f छोटे गोले या गेंदों पर केंद्रित p से विचलित f (p) होता है ।
लाप्लास ऑपरेटर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे-साइमन डी लाप्लास (1749-1827) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार आकाशीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए ऑपरेटर को लागू किया था। किसी दिए गए द्रव्यमान घनत्व वितरण के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षमता का लाप्लासियन निरंतर गुणक है। वह घनत्व वितरण लाप्लास के समीकरण के समाधान Δf = 0 हार्मोनिक फलन कहलाते हैं और निर्वात के क्षेत्रों में संभावित गुरुत्वाकर्षण क्षमता का प्रतिनिधित्व करते हैं।
लाप्लासियन भौतिक घटनाओं का वर्णन करने वाले कई अ