सत्ता स्थापित

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Power set

The elements of the power set of {x, y, z} ordered with respect to inclusion.
Type	Set operation
Field	Set theory
Statement	The power set is the set that contains all subsets of a given set.
Symbolic statement	$x\in P(S)\iff x\subseteq S$

गणित में, सेट (गणित) का पावर सेट (या पॉवरसेट) S के सभी सबसेट का सेट है S, खाली सेट सहित और S अपने आप। स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में (जैसा कि विकसित किया गया है, उदाहरण के लिए, ZFC स्वयंसिद्धों में), किसी भी सेट के पावर सेट के अस्तित्व को पावर सेट के स्वयंसिद्ध द्वारा पोस्ट किया गया है। की शक्ति S के रूप में विभिन्न रूप से निरूपित है P(S), 𝒫(S), P(S), $\mathbb {P} (S)$, $\wp (X)$, या 2^S।अंकन 2^S, जिसका अर्थ है कि सभी कार्यों का सेट एस से दो तत्वों के दिए गए सेट (जैसे, {0, 1}) के लिए किया जाता है, क्योंकि का उपयोग किया जाता है क्योंकि पॉवरसेट S के साथ पहचाना जा सकता है, के बराबर, या सभी कार्यों के सेट के सेट के बराबर है S दिए गए दो तत्वों को सेट करने के लिए।

का कोई सबसेट P(S) सेट का परिवार कहा जाता है S।

उदाहरण

यदि S सेट है {x, y, z}, फिर सभी सबसेट S हैं

• {} (यह भी निरूपित है $\varnothing$ या $\emptyset$, खाली सेट या अशक्त सेट)
• {x}
• {y}
• {z}
• {x, y}
• {x, z}
• {y, z}
• {x, y, z}

और इसलिए की शक्ति सेट S है {{}, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}}।

गुण

यदि S प्रमुखता के साथ परिमित सेट है |S| = n (यानी, सेट में सभी तत्वों की संख्या S है n), फिर सभी सबसेटों की संख्या S है |P(S)| = 2ⁿ।यह तथ्य और साथ ही संकेतन का कारण 2^S पावर सेट को दर्शाते हुए P(S) नीचे में प्रदर्शित किया जाता है।

एक संकेतक फ़ंक्शन या कार्डिनलिटी के साथ सेट एस के सबसेट ए का विशिष्ट कार्य | एस |= n S से दो तत्वों के लिए फ़ंक्शन है {0, 1}, i के रूप में निरूपित_A: S → {0, 1}, और यह इंगित करता है कि S का तत्व A से संबंधित है या नहीं;अगर X इन s से संबंधित है, तो मैं_A(x) = 1, और 0 अन्यथा।S के प्रत्येक सबसेट A को संकेतक फ़ंक्शन I के बराबर या समतुल्य किया जाता है_A, और {0,1}^S एस से सभी कार्यों के सेट के रूप में {0,1} अन्य शब्दों में एस के सभी सबसेट के सभी संकेतक कार्य शामिल हैं, {0,1}^S पावर सेट के बराबर या बायजमेंट है P(S)।चूंकि S में प्रत्येक तत्व किसी भी फ़ंक्शन के तहत 0 या 1 से मेल खाता है {0,1}^Sमें सभी कार्यों की संख्या {0,1}^S 2 हैⁿ ।चूंकि नंबर 2 को परिभाषित किया जा सकता है {0,1} (देखें, उदाहरण के लिए, वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल ), P(S) के रूप में भी निरूपित है 2^S।जाहिर है |2^S| = 2^|S| होल्ड्स।सामान्यतया, एक्स^Y y से x और सभी कार्यों का सेट है |X^Y| = |X|^|Y|।

कैंटर का विकर्ण तर्क#जनरल सेट्स | कैंटर के विकर्ण तर्क से पता चलता है कि सेट का पावर सेट (चाहे अनंत या नहीं) हमेशा सेट की तुलना में कड़ाई से उच्च कार्डिनलिटी हो (या अनौपचारिक रूप से, पावर सेट मूल सेट से बड़ा होना चाहिए)।विशेष रूप से, कैंटर के प्रमेय से पता चलता है कि गिनती योग्य सेट सेट का पावर सेट बेशुमार अनंत है।प्राकृतिक संख्या ओं के सेट के पावर सेट को बायजेक्शन में रखा जा सकता है। वास्तविक संख्या ओं के सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार (कंटिनम की कार्डिनैलिटी देखें)।

एक सेट का पावर सेट S, संघ (सेट सिद्धांत), चौराहे (सेट सिद्धांत) और पूरक (सेट सिद्धांत) के संचालन के साथ, बूलियन बीजगणित (संरचना) के प्रोटोटाइपिक उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है।वास्तव में, कोई यह दिखा सकता है कि कोई भी परिमित बूलियन बीजगणित परिमित सेट के पावर सेट के बूलियन बीजगणित के लिए आइसोमॉर्फिक है।अनंत बूलियन बीजगणित के लिए, यह अब सच नहीं है, लेकिन प्रत्येक अनंत बूलियन बीजगणित को पावर सेट बूलियन बीजगणित (स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय देखें) के उप -क्षेत्र के रूप में दर्शाया जा सकता है।

एक सेट का पावर सेट S एबेलियन समूह बनाता है जब इसे सममित अंतर के संचालन के साथ माना जाता है (पहचान तत्व के रूप में खाली सेट के साथ और प्रत्येक सेट अपने स्वयं के व्युत्क्रम के रूप में होता है), और चौराहे के संचालन के साथ विचार किए जाने पर विनिमेय मोनॉयड।इसलिए यह दिखाया जा सकता है, वितरणात्मक संपत्ति को साबित करके, कि इन दोनों ऑपरेशनों के साथ साथ माना जाने वाला पावर सेट बूलियन रिंग बनाता है।

फ़ंक्शंस के रूप में सबसेट का प्रतिनिधित्व करना

सेट सिद्धांत में, X^Y से सभी फ़ंक्शन (गणित) के सेट का प्रतिनिधित्व करने वाला संकेतन है Y को X।के रूप में 2 के रूप में परिभाषित किया जा सकता है {0,1} (देखें, उदाहरण के लिए, वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल), 2^S (अर्थात, {0,1}^S) से सभी फ़ंक्शन (गणित) का सेट है S को {0,1}।पावर सेट के रूप में#गुण, 2^S और की शक्ति सेट S, P(S), समान सेट-सिद्धांत माना जाता है।

इस तुल्यता को उदाहरण पावर सेट#उदाहरण पर लागू किया जा सकता है, जिसमें S = {x, y, z}, 0 से संख्याओं के द्विआधारी अभ्यावेदन के साथ समाकृतिकता प्राप्त करने के लिए 2ⁿ − 1, साथ n सेट में तत्वों की संख्या होने के नाते S या |S| = n।सबसे पहले, एन्यूमरेटेड सेट { (x, 1), (y, 2), (z, 3) } को परिभाषित किया गया है जिसमें प्रत्येक आदेशित जोड़ी में संख्या युग्मित तत्व की स्थिति का प्रतिनिधित्व करती है S जैसे द्विआधारी अंकों के अनुक्रम में {x, y} = 011₍₂₎; x का S इस अनुक्रम के दाईं ओर से पहले स्थित है और y दाईं ओर से दूसरे पर है, और अनुक्रम में 1 का अर्थ है तत्व S अनुक्रम में इसकी स्थिति के अनुरूप उपसमुच्चय में मौजूद है S अनुक्रम के लिए जबकि 0 का मतलब है कि यह नहीं है।

की पूरी शक्ति सेट के लिए S, हम पाते हैं:

Subset	Sequence of binary digits	Binary interpretation	Decimal equivalent
{ }	0, 0, 0	000(2)	0(10)
{ x }	0, 0, 1	001(2)	1(10)
{ y }	0, 1, 0	010(2)	2(10)
{ x, y }	0, 1, 1	011(2)	3(10)
{ z }	1, 0, 0	100(2)	4(10)
{ x, z }	1, 0, 1	101(2)	5(10)
{ y, z }	1, 1, 0	110(2)	6(10)
{ x, y, z }	1, 1, 1	111(2)	7(10)

से इस तरह की बगावत P(S) पूर्णांक मनमाना है, इसलिए सभी सबसेटों का यह प्रतिनिधित्व करता है S अद्वितीय नहीं है, लेकिन एन्यूमरेटेड सेट का क्रम क्रम इसके कार्डिनैलिटी को नहीं बदलता है।(उदा। { (y, 1), (z, 2), (x, 3) } का उपयोग और द्विध्रुव के निर्माण के लिए किया जा सकता है P(S) एक-से-एक पत्राचार की संख्या को बदलने के बिना पूर्णांक के लिए।)

हालांकि, इस तरह के परिमित बाइनरी प्रतिनिधित्व केवल तभी संभव है जब एस को गणना की जा सकती है।(इस उदाहरण में, x, y, और z बाइनरी अंक अनुक्रमों की स्थिति के रूप में क्रमशः 1, 2, और 3 के साथ गणना की जाती है।) एन्यूमरेशन संभव है भले ही संभव हो S अनंत कार्डिनैलिटी है (यानी, तत्वों की संख्या S अनंत है), जैसे कि पूर्णांक या तर्कसंगत का सेट, लेकिन उदाहरण के लिए संभव नहीं है यदि एस वास्तविक संख्याओं का सेट है, तो जिस स्थिति में हम सभी तर्कहीन संख्याओं की गणना नहीं कर सकते हैं।

द्विपद प्रमेय से संबंध

द्विपद प्रमेय पावर सेट से निकटता से संबंधित है।ए kकुछ सेट से संयोजन संयोजन के लिए और नाम है k-लमेंट्स सबसेट, इसलिए संयोजनों की संख्या, के रूप में निरूपित C(n, k) (जिसे बिनोमियल गुणांक भी कहा जाता है) के साथ कई सबसेट है k के साथ सेट में तत्व n तत्व;दूसरे शब्दों में यह सेट की संख्या है k तत्व जो सेट के पावर सेट के तत्व हैं n तत्व।

उदाहरण के लिए, तीन तत्वों के साथ सेट का पावर सेट है:

• C (3, 0) = 1 सबसेट 0 तत्वों के साथ (खाली सबसेट),
• C (3, 1) = 3 सबसेट 1 तत्व के साथ (सिंगलटन सबसेट),
• C (3, 2) = 3 सबसेट 2 तत्वों के साथ (सिंगलटन सबसेट का पूरक),
• C (3, 3) = 1 3 तत्वों के साथ सबसेट (मूल सेट ही)।

इस संबंध का उपयोग करते हुए, हम गणना कर सकते हैं ${\textstyle \left|2^{S}\right|}$ सूत्र का उपयोग करना:

$$\left|2^{S}\right|=\sum _{k=0}^{|S|}{\binom {|S|}{k}}$$

इसलिए, कोई निम्नलिखित पहचान को कम कर सकता है, यह मानकर ${\textstyle |S|=n}$:

$$\left|2^{S}\right|=2^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}$$

पुनरावर्ती परिभाषा

यदि $S$ परिमित सेट है, फिर पुनरावर्ती परिभाषा है $P(S)$ निम्नानुसार आय:

• यदि $S=\{\}$, तब $P(S)=\{\,\{\}\,\}$।
• अन्यथा, चलो $e\in S$ और $T=S\setminus \{e\}$;तब $P(S)=P(T)\cup \{t\cup \{e\}:t\in P(T)\}$।

शब्दों में:

• खाली सेट का पावर सेट सिंगलटन (गणित) है जिसका एकमात्र तत्व खाली सेट है।
• एक गैर-खाली सेट के लिए $S$, होने देना $e$ सेट का कोई तत्व हो और $T$ इसके रिश्तेदार पूरक;फिर पावर सेट $S$ शक्ति सेट का संघ (सेट सिद्धांत) है $T$ और का शक्ति सेट $T$ जिसके प्रत्येक तत्व का विस्तार किया जाता है $e$ तत्व।

सीमित कार्डिनलिटी के सबसेट

के सबसेट का सेट S कार्डिनलिटी से कम या उसके बराबर κ कभी -कभी द्वारा निरूपित किया जाता है P_κ(S) या [S]^κ, और कार्डिनलिटी के साथ सबसेट का सेट सख्ती से कम κ कभी -कभी निरूपित किया जाता है P_{< κ}(S) या [S]^<κ।इसी तरह, गैर-खाली सबसेट का सेट S द्वारा निरूपित किया जा सकता है P_{≥ 1}(S) या P⁺(S)।

पावर ऑब्जेक्ट

एक सेट को बीजगणित के रूप में माना जा सकता है जिसमें कोई गैर -संचालन या समीकरणों को परिभाषित नहीं किया जाता है।इस दृष्टिकोण से, पावर सेट का विचार X के सबसेट के सेट के रूप में X स्वाभाविक रूप से बीजीय संरचना या बीजगणित के सबलेगैब्रस को सामान्यीकृत करता है।

एक सेट का पावर सेट, जब समावेश द्वारा आदेश दिया जाता है, हमेशा पूर्ण परमाणु बूलियन बीजगणित होता है, और हर पूर्ण परमाणु बूलियन बीजगणित कुछ सेट के सभी सबसेट के जाली (ऑर्डर) के रूप में उत्पन्न होता है।मनमाने ढंग से बीजगणित करने के लिए सामान्यीकरण यह है कि बीजगणित के उप -समूह का सेट, फिर से समावेश द्वारा आदेश दिया जाता है, हमेशा बीजगणितीय जाली होता है, और हर बीजीय जाली कुछ बीजगणित के सबलेगैब्रस की जाली के रूप में उत्पन्न होती है।तो उस संबंध में, सबलगेब्रस उपसमुच्चय के अनुरूप व्यवहार करते हैं।

हालांकि, सबसेट के दो महत्वपूर्ण गुण हैं जो सामान्य रूप से सबलेगेब्रस तक नहीं ले जाते हैं।सबसे पहले, हालांकि सेट के सबसेट सेट (साथ ही जाली) के रूप में, कुछ वर्गों में बीजगणित के उप -वर्गीकरण को उस वर्ग में बीजगणित के रूप में व्यवस्थित करना संभव नहीं हो सकता है, हालांकि उन्हें हमेशा के रूप में आयोजित किया जा सकता हैजाली।दूसरे, जबकि सेट के सबसेट्स उस सेट से सेट {0,1} = 2 तक के कार्यों के साथ ब्यूचमेंट में हैं, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि बीजगणित के वर्ग में बीजगणित होता है जो इस तरह से 2 की भूमिका निभा सकता है।

बीजगणित के कुछ वर्ग इन दोनों गुणों का आनंद लेते हैं।पहली संपत्ति अधिक सामान्य है, दोनों होने का मामला अपेक्षाकृत दुर्लभ है।एक वर्ग जो दोनों है वह बहुमूल्य है।दो मल्टीग्राफ दिए गए G और H, समरूपता h: G → H दो कार्यों से मिलकर, मैपिंग वर्टिस टू वर्टिस और दूसरा मैपिंग किनारों को किनारों पर।सेट H^G से समरूपता G को H फिर उस ग्राफ के रूप में आयोजित किया जा सकता है जिसके वर्टिस और किनारों को क्रमशः उस सेट में दिखाई देने वाले शीर्ष और किनारे के कार्य होते हैं।इसके अलावा, मल्टीग्राफ के सबग्राफ G से ग्राफ होमोमोर्फिज्म के साथ ब्यूचमेंट में हैं G मल्टीग्राफ के लिए Ω दो कोने पर पूर्ण ग्राफ के रूप में निश्चित है (इसलिए चार किनारों, अर्थात् दो आत्म-लूप और चक्र बनाने वाले दो और किनारों) को पांचवें किनारे के साथ संवर्धित किया गया, अर्थात् वर्टिस में दूसरा आत्म-लूप।इसलिए हम सबग्राफ को व्यवस्थित कर सकते हैं G मल्टीग्राफ के रूप में Ω^G, की शक्ति वस्तु कहा जाता है G।

एक बीजगणित के रूप में मल्टीग्राफ के बारे में जो विशेष है, वह यह है कि इसके संचालन असंबद्ध हैं।एक मल्टीग्राफ में सेट बनाने वाले दो प्रकार के तत्व होते हैं V वर्टिस की और E किनारों की, और दो अनियमित संचालन हैं s,t: E → V प्रत्येक किनारे के स्रोत (प्रारंभ) और लक्ष्य (अंत) कोने देना।एक बीजगणित के सभी जिनके संचालन को अनियमित किया जाता है, उन्हें प्रेसफ कहा जाता है।Presheaves के हर वर्ग में preseaf होता है Ω यह सबलगेब्रस के लिए भूमिका निभाता है जो 2 सबसेट के लिए खेलता है।इस तरह का वर्ग श्रेणी (गणित) के रूप में प्राथमिक टॉपोस की अधिक सामान्य धारणा का विशेष मामला है जो बंद श्रेणी (और इसके अलावा कार्टेशियन बंद श्रेणी ) है और वस्तु है Ω, सबबोजज वर्गीकरणकर्ता कहा जाता है।यद्यपि शब्द पावर ऑब्जेक्ट को कभी -कभी घातीय वस्तु के साथ समानार्थक रूप से उपयोग किया जाता है Y^X, टॉपोस सिद्धांत में Y होना आवश्यक है Ω।

फंक्शनर्स और क्वांटिफ़ायर

श्रेणी सिद्धांत और प्राथमिक टॉपोस के सिद्धांत में, सार्वभौमिक परिमाणक को पावर सेट के बीच फ़ंक्शनर के सही आसन्न के रूप में समझा जा सकता है, सेट के बीच फ़ंक्शन की उलटा छवि फ़न्क्टर;इसी तरह, अस्तित्वगत क्वांटिफायर बाएं आसन्न है।

यह भी देखें

• कैंटर का प्रमेय
• सेट का परिवार
• सेट का क्षेत्र
• सभी कश्मीर के लिए के-कॉम्बिनेशन की संयोजन#संख्या

ग्रन्थसूची

• Devlin, Keith J. (1979). Fundamentals of contemporary set theory. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
• Halmos, Paul R. (1960). Naive set theory. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
• Puntambekar, A. A. (2007). Theory Of Automata And Formal Languages. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.

बाहरी कड़ियाँ

• Power set at PlanetMath.
• Power set at the nLab
• Power object at the nLab
• Power set Algorithm in C++