कोणीय विस्थापन

एक निश्चित अक्ष ओ के बारे में एक कठोर शरीर पी का रोटेशन।

किसी पिंड का कोणीय विस्थापन वह कोण है (कांति, डिग्री (कोण) या परिभ्रमण (ज्यामिति) में) जिसके माध्यम से बिंदु निर्दिष्ट अर्थ में केंद्र या निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर घूमता है। जब कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर घूमता है, तो गति का केवल एक कण के रूप में विश्लेषण नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वृत्ताकार गति में यह किसी भी समय बदलते वेग और त्वरण से गुजरता है (टी )। किसी पिंड के घूर्णन से निपटने के दौरान, पिंड को ही कठोर मानना ​​सरल हो जाता है। पिंड को सामान्यतः कठोर माना जाता है जब सभी कणों के बीच अलगाव पूरे पिंड की गति में स्थिर रहता है, उदाहरण के लिए इसके द्रव्यमान के भाग उड़ नहीं रहे हैं। यथार्थवादी अर्थ में, सभी चीजें विकृत हो सकती हैं, चूँकि यह प्रभाव न्यूनतम और नगण्य है। इस प्रकार स्थिर अक्ष पर दृढ़ पिंड के घूमने को घूर्णी गति कहा जाता है।

उदाहरण

उदाहरण में दाईं ओर (या कुछ मोबाइल संस्करणों में), एक कण या शरीर P मूल, O, घूर्णन वामावर्त से निश्चित दूरी r पर है। तब यह महत्वपूर्ण हो जाता है कि इसके ध्रुवीय निर्देशांक (r,θ) के संदर्भ में कण P की स्थिति का प्रतिनिधित्व करें। इस विशेष उदाहरण में, θ का मूल्य बदल रहा है, जबकि त्रिज्या का मूल्य समान है। (आयताकार निर्देशांक (x, y) में x और y दोनों समय के साथ भिन्न होते हैं)। जैसे-जैसे कण वृत्त के साथ चलता है, यह चाप (ज्यामिति) s की यात्रा करता है, जो संबंध के माध्यम से कोणीय स्थिति से संबंधित हो जाता है:-

$s=r\theta \,$

माप

कोणीय विस्थापन को रेडियन या डिग्री में मापा जा सकता है। रेडियन का उपयोग करना वृत्त के चारों ओर यात्रा की गई दूरी और केंद्र से दूरी r के बीच एक बहुत ही सरल संबंध प्रदान करता है।

$\theta ={\frac {s}{r}}$

उदाहरण के लिए, यदि कोई पिंड त्रिज्या r के वृत्त के चारों ओर 360 ° घूमता है, तो कोणीय विस्थापन परिधि के चारों ओर यात्रा की गई दूरी द्वारा दिया जाता है - जो कि 2πr-त्रिज्या द्वारा विभाजित है: $\theta ={\frac {2\pi r}{r}}$ जो आसानी से सरल हो जाता है: $\theta =2\pi$ इसलिए, 1 क्रांति है $2\pi$ रेडियन।

जब कण बिंदु P से बिंदु Q पर यात्रा करता है $\delta t$, जैसा कि यह बाईं ओर चित्रण में करता है, वृत्त की त्रिज्या कोण में परिवर्तन के माध्यम से जाती है $\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1}$ जो कोणीय विस्थापन के बराबर है।

तीन आयाम

चित्र 1: यूलर का रोटेशन प्रमेय।एक महान सर्कल घुमाव के तहत एक और महान सर्कल में बदल जाता है, हमेशा अपनी मूल स्थिति में गोले का व्यास छोड़ देता है।

चित्रा 2: एक रोटेशन एक यूलर अक्ष और कोण द्वारा दर्शाया गया है।

तीन आयामों में, कोणीय विस्थापन दिशा और परिमाण के साथ इकाई है। दिशा नियमित आवर्तन की धुरी को निर्दिष्ट करती है, जो सदैव यूलर के नियमित आवर्तन प्रमेय के आधार पर उपस्तिथ होती है; परिमाण उस अक्ष के बारे में रेडियन में नियमित आवर्तन को निर्दिष्ट करता है (दिशा निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके)। इस इकाई को अक्ष-कोण कहा जाता है।

दिशा और परिमाण होने के अतिरिक्त, कोणीय विस्थापन वेक्टर (ज्यामिति) नहीं है क्योंकि यह इसके अतिरिक्तविनिमेय कानून का पालन नहीं करता है। फिर भी, जब इनफिनिटिमल नियमित आवर्तन से निपटते हैं, तो दूसरे क्रम के अतिसूक्ष्म को छोड़ दिया जा सकता है और इस विषय में कम्यूटिविटी दिखाई देती है।

कोणीय विस्थापन का वर्णन करने के कई उपाय उपस्तिथ हैं, जैसे रोटेशन मैट्रिक्स या यूलर कोण दूसरों के लिए SO (3) पर चार्ट देखें।

मैट्रिक्स अंकन

यह देखते हुए कि अंतरिक्ष में किसी भी फ्रेम को नियमित आवर्तन मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है, उनमें से विस्थापन को नियमित आवर्तन मैट्रिक्स द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है। $A_{0}$ और $A_{f}$ दो मैट्रिस, उनके बीच के कोणीय विस्थापन मैट्रिक्स को प्राप्त किया जा सकता है $\Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}$जब इस उत्पाद को दोनों फ्रेम के बीच बहुत कम अंतर किया जाता है, तो हम पहचान के निकट मैट्रिक्स प्राप्त करेंगे।

सीमा में, हमारे पास अतिसूक्ष्म नियमित आवर्तन मैट्रिक्स होगा।

नियमित आवर्तन मैट्रिक्स

Further information: घूर्णन के जनक, इनफिनिटिमल रोटेशन, इनफिनिटिमल रोटेशन टेन्सर, and परिक्रमण समूह SO(3) अत्यंत सूक्ष्म आवर्तन

अतिसूक्ष्म कोणीय विस्थापन तिरछा-सममित मैट्रिक्स है अतिसूक्ष्म घुमाव मैट्रिक्स:

• जैसा कि किसी भी रोटेशन मैट्रिक्स में एकल वास्तविक ईजेनवेल्यू होता है, जो +1 है, यह ईजेनवेल्यू रोटेशन अक्ष को दर्शाता है।
• इसके मॉड्यूल को असीम रोटेशन के मूल्य से घटाया जा सकता है।
• मैट्रिक्स का आकार इस तरह है:
  $$A=(\begin{array}{cc}1& -<!--\; -\; -->d\end{array}$$