कोणीय विस्थापन

File:Angulardisplacement1.jpg

एक निश्चित अक्ष ओ के बारे में एक कठोर शरीर पी का रोटेशन।

किसी पिंड का कोणीय विस्थापन वह कोण है (कांति, डिग्री (कोण) या परिभ्रमण (ज्यामिति) में) जिसके माध्यम से बिंदु निर्दिष्ट अर्थ में केंद्र या निर्दिष्ट अक्ष के चारों ओर घूमता है। जब कोई पिंड अपनी धुरी के चारों ओर घूमता है, तो गति का केवल एक कण के रूप में विश्लेषण नहीं किया जा सकता है, क्योंकि वृत्ताकार गति में यह किसी भी समय बदलते वेग और त्वरण से गुजरता है (टी )। किसी पिंड के घूर्णन से निपटने के दौरान, पिंड को ही कठोर मानना ​​सरल हो जाता है। पिंड को सामान्यतः कठोर माना जाता है जब सभी कणों के बीच अलगाव पूरे पिंड की गति में स्थिर रहता है, उदाहरण के लिए इसके द्रव्यमान के भाग उड़ नहीं रहे हैं। यथार्थवादी अर्थ में, सभी चीजें विकृत हो सकती हैं, चूँकि यह प्रभाव न्यूनतम और नगण्य है। इस प्रकार स्थिर अक्ष पर दृढ़ पिंड के घूमने को घूर्णी गति कहा जाता है।

उदाहरण

उदाहरण में दाईं ओर (या कुछ मोबाइल संस्करणों में), एक कण या शरीर P मूल, O, घूर्णन वामावर्त से निश्चित दूरी r पर है। तब यह महत्वपूर्ण हो जाता है कि इसके ध्रुवीय निर्देशांक (r,θ) के संदर्भ में कण P की स्थिति का प्रतिनिधित्व करें। इस विशेष उदाहरण में, θ का मूल्य बदल रहा है, जबकि त्रिज्या का मूल्य समान है। (आयताकार निर्देशांक (x, y) में x और y दोनों समय के साथ भिन्न होते हैं)। जैसे-जैसे कण सर्कल के साथ चलता है, यह चाप (ज्यामिति) s की यात्रा करता है, जो संबंध के माध्यम से कोणीय स्थिति से संबंधित हो जाता है:-

$s=r\theta \,$

माप

कोणीय विस्थापन को रेडियन या डिग्री में मापा जा सकता है।रेडियन का उपयोग करना सर्कल के चारों ओर यात्रा की गई दूरी और केंद्र से दूरी r के बीच एक बहुत ही सरल संबंध प्रदान करता है।

$\theta ={\frac {s}{r}}$

उदाहरण के लिए, यदि कोई शरीर त्रिज्या आर के एक चक्र के चारों ओर 360 ° घूमता है, तो कोणीय विस्थापन परिधि के चारों ओर यात्रा की गई दूरी द्वारा दिया जाता है - जो कि 2πr - त्रिज्या द्वारा विभाजित है: $\theta ={\frac {2\pi r}{r}}$ जो आसानी से सरल हो जाता है: $\theta =2\pi$।इसलिए, 1 क्रांति है $2\pi$ रेडियन।

जब एक कण बिंदु P से बिंदु Q पर यात्रा करता है $\delta t$, जैसा कि यह बाईं ओर चित्रण में करता है, सर्कल की त्रिज्या कोण में परिवर्तन के माध्यम से जाती है $\Delta \theta =\theta _{2}-\theta _{1}$ जो कोणीय विस्थापन के बराबर है।

तीन आयाम

File:Euler Rotation 2.JPG

चित्र 1: यूलर का रोटेशन प्रमेय।एक महान सर्कल घुमाव के तहत एक और महान सर्कल में बदल जाता है, हमेशा अपनी मूल स्थिति में गोले का व्यास छोड़ देता है।

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चित्रा 2: एक रोटेशन एक यूलर अक्ष और कोण द्वारा दर्शाया गया है।

तीन आयामों में, कोणीय विस्थापन एक दिशा और एक परिमाण के साथ एक इकाई है।दिशा रोटेशन की धुरी को निर्दिष्ट करती है, जो हमेशा यूलर के रोटेशन प्रमेय के आधार पर मौजूद होती है;परिमाण उस अक्ष के बारे में रेडियन में रोटेशन को निर्दिष्ट करता है (दिशा निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके)।इस इकाई को अक्ष-कोण कहा जाता है।

दिशा और परिमाण होने के बावजूद, कोणीय विस्थापन एक वेक्टर (ज्यामिति) नहीं है क्योंकि यह इसके अलावा विनिमेय कानून का पालन नहीं करता है। फिर भी, जब इनफिनिटिमल रोटेशन से निपटते हैं, तो दूसरे क्रम के infinitesimals को छोड़ दिया जा सकता है और इस मामले में कम्यूटिविटी दिखाई देती है।

कोणीय विस्थापन का वर्णन करने के कई तरीके मौजूद हैं, जैसे रोटेशन मैट्रिक्स या यूलर कोण ।दूसरों के लिए SO (3) पर चार्ट देखें।

मैट्रिक्स अंकन

यह देखते हुए कि अंतरिक्ष में किसी भी फ्रेम को एक रोटेशन मैट्रिक्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है, उनमें से विस्थापन को एक रोटेशन मैट्रिक्स द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है।हो रहा $A_{0}$ और $A_{f}$ दो मैट्रिस, उनके बीच के कोणीय विस्थापन मैट्रिक्स को प्राप्त किया जा सकता है $\Delta A=A_{f}A_{0}^{-1}$।जब इस उत्पाद को दोनों फ्रेम के बीच बहुत कम अंतर किया जाता है, तो हम पहचान के करीब एक मैट्रिक्स प्राप्त करेंगे।

सीमा में, हमारे पास एक infinitesimal रोटेशन मैट्रिक्स होगा।

infinitesimal रोटेशन matrices

Further information: Generators of rotations, Infinitesimal rotations, Infinitesimal rotation tensor, and Rotation group SO(3) § Infinitesimal rotations

एक infinitesimal कोणीय विस्थापन एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है#infinitesimal घुमाव मैट्रिक्स:

• जैसा कि किसी भी रोटेशन मैट्रिक्स में एक एकल वास्तविक eigenvalue होता है, जो +1 है, यह eigenvalue रोटेशन अक्ष को दर्शाता है।
• इसके मॉड्यूल को इनफिनिटिमल रोटेशन के मूल्य से घटाया जा सकता है।
• मैट्रिक्स का आकार इस तरह है:
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