विचलन: Difference between revisions
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== विचलन की भौतिक व्याख्या == | == विचलन की भौतिक व्याख्या == | ||
भौतिक दृष्टि से, सदिश क्षेत्र का अपसरण वह सीमा है जिस तक सदिश क्षेत्र प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर स्रोत की तरह व्यवहार करता है। यह इसकी बहिर्गामीता का एक स्थानीय माप है - वह सीमा जिस तक अंतरिक्ष के एक अतिसूक्ष्म क्षेत्र से बाहर निकलने वाले क्षेत्र सदिश उसमें प्रवेश करने की तुलना में अधिक हैं। एक बिंदु जिस पर फ्लक्स बहिर्गामी होता है, सकारात्मक विचलन होता है, और इसे | भौतिक दृष्टि से, सदिश क्षेत्र का अपसरण वह सीमा है जिस तक सदिश क्षेत्र प्रवाह किसी दिए गए बिंदु पर स्रोत की तरह व्यवहार करता है। यह इसकी बहिर्गामीता का एक स्थानीय माप है - वह सीमा जिस तक अंतरिक्ष के एक अतिसूक्ष्म क्षेत्र से बाहर निकलने वाले क्षेत्र सदिश उसमें प्रवेश करने की तुलना में अधिक हैं। एक बिंदु जिस पर फ्लक्स बहिर्गामी होता है, सकारात्मक विचलन होता है, और इसे अधिकांशतः क्षेत्र का स्रोत कहा जाता है। एक बिंदु जिस पर फ्लक्स को अंदर की ओर निर्देशित किया जाता है, नकारात्मक विचलन होता है, और इसे अधिकांशतः क्षेत्र का सिंक कहा जाता है। किसी दिए गए बिंदु को घेरने वाली छोटी सतह के माध्यम से क्षेत्र का प्रवाह जितना अधिक होता है, उस बिंदु पर विचलन का मान उतना ही अधिक होता है। एक बिंदु जिस पर एक संलग्न सतह के माध्यम से शून्य प्रवाह होता है, शून्य विचलन होता है। | ||
सदिश क्षेत्र के विचलन को | सदिश क्षेत्र के विचलन को अधिकांशतः तरल, तरल या गैस के [[वेग क्षेत्र]] के सरल उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान गैस के प्रत्येक बिंदु पर एक वेग, एक गति और दिशा होती है, जिसे एक सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, इसलिए गैस का वेग एक सदिश क्षेत्र बनाता है। यदि किसी गैस को गर्म किया जाए तो वह फैलती है। यह सभी दिशाओं में बाहर की ओर गैस कणों की शुद्ध गति का कारण बनेगा। गैस में कोई भी बंद सतह गैस को घेरेगी जो फैल रही है, इसलिए सतह के माध्यम से गैस का बाहरी प्रवाह होगा। तो वेग क्षेत्र में हर जगह सकारात्मक विचलन होगा। इसी प्रकार यदि गैस को ठंडा किया जाए तो वह सिकुड़ेगी। किसी भी मात्रा में गैस के कणों के लिए अधिक जगह होगी, इसलिए द्रव के बाहरी दबाव से किसी भी बंद सतह के माध्यम से गैस की मात्रा का शुद्ध प्रवाह होगा। इसलिए वेग क्षेत्र में हर जगह नकारात्मक विचलन होता है। इसके विपरीत, स्थिर तापमान और दबाव पर गैस में, किसी भी बंद सतह से गैस का शुद्ध प्रवाह शून्य होता है। गैस गतिमान हो सकती है, लेकिन किसी भी बंद सतह में प्रवाहित होने वाली गैस की आयतन दर बाहर बहने वाली आयतन दर के बराबर होनी चाहिए, इसलिए शुद्ध प्रवाह शून्य है। इस प्रकार गैस के वेग में हर जगह शून्य विचलन होता है। एक क्षेत्र जिसमें हर जगह शून्य विचलन होता है, [[सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र]] कहलाता है। | ||
यदि गैस को केवल एक बिंदु या छोटे क्षेत्र में गर्म किया जाता है, या एक छोटी ट्यूब पेश की जाती है जो एक बिंदु पर अतिरिक्त गैस के स्रोत की आपूर्ति करती है, तो वहां गैस का विस्तार होगा, इसके चारों ओर द्रव कणों को सभी दिशाओं में बाहर धकेल दिया जाएगा। यह गर्म बिंदु पर केंद्रित पूरे गैस में एक बाहरी वेग क्षेत्र का कारण बनेगा। गर्म बिंदु को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से निकलने वाले गैस कणों का प्रवाह होगा, इसलिए उस बिंदु पर सकारात्मक विचलन होता है। | यदि गैस को केवल एक बिंदु या छोटे क्षेत्र में गर्म किया जाता है, या एक छोटी ट्यूब पेश की जाती है जो एक बिंदु पर अतिरिक्त गैस के स्रोत की आपूर्ति करती है, तो वहां गैस का विस्तार होगा, इसके चारों ओर द्रव कणों को सभी दिशाओं में बाहर धकेल दिया जाएगा। यह गर्म बिंदु पर केंद्रित पूरे गैस में एक बाहरी वेग क्षेत्र का कारण बनेगा। गर्म बिंदु को घेरने वाली किसी भी बंद सतह से निकलने वाले गैस कणों का प्रवाह होगा, इसलिए उस बिंदु पर सकारात्मक विचलन होता है। चूंकि किसी भी बंद सतह में बिंदु को शामिल नहीं करने से अंदर गैस का एक निरंतर घनत्व होगा, इसलिए जिस प्रकार कई द्रव कण मात्रा छोड़ने के रूप में प्रवेश कर रहे हैं, इस प्रकार आयतन से शुद्ध प्रवाह शून्य है। इसलिए किसी अन्य बिंदु पर विचलन शून्य है। | ||
== परिभाषा == | == परिभाषा == | ||
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कहां {{math|{{abs|''V''}}}} का आयतन है {{math|''V''}}, {{math|''S''(''V'')}} की सीमा है {{math|''V''}}, और <math>\mathbf{\hat n}</math> उस सतह के लिए बाहरी [[सामान्य वेक्टर]] है। यह दिखाया जा सकता है कि उपरोक्त सीमा हमेशा वॉल्यूम के किसी भी अनुक्रम के लिए समान मान में परिवर्तित हो जाती है {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} और शून्य मात्रा तक पहुँचें। परिणाम, {{math|div '''F'''}}, का एक अदिश कार्य है {{math|'''x'''}}. | कहां {{math|{{abs|''V''}}}} का आयतन है {{math|''V''}}, {{math|''S''(''V'')}} की सीमा है {{math|''V''}}, और <math>\mathbf{\hat n}</math> उस सतह के लिए बाहरी [[सामान्य वेक्टर]] है। यह दिखाया जा सकता है कि उपरोक्त सीमा हमेशा वॉल्यूम के किसी भी अनुक्रम के लिए समान मान में परिवर्तित हो जाती है {{math|'''x'''<sub>0</sub>}} और शून्य मात्रा तक पहुँचें। परिणाम, {{math|div '''F'''}}, का एक अदिश कार्य है {{math|'''x'''}}. | ||
चूंकि यह परिभाषा समन्वय-मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन किसी भी [[समन्वय प्रणाली]] में समान है। | चूंकि यह परिभाषा समन्वय-मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन किसी भी [[समन्वय प्रणाली]] में समान है। चूंकि यह अधिकांशतः विचलन की गणना करने के लिए व्यावहारिक रूप से उपयोग नहीं किया जाता है; जब वेक्टर क्षेत्र एक समन्वय प्रणाली में दिया जाता है तो नीचे दी गई समन्वय परिभाषाएँ उपयोग करने में बहुत सरल होती हैं। | ||
हर जगह शून्य विचलन वाला एक सदिश क्षेत्र सोलेनोइडल सदिश क्षेत्र कहलाता है - इस मामले में किसी भी बंद सतह के पास कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता है। | हर जगह शून्य विचलन वाला एक सदिश क्षेत्र सोलेनोइडल सदिश क्षेत्र कहलाता है - इस मामले में किसी भी बंद सतह के पास कोई शुद्ध प्रवाह नहीं होता है। | ||
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:<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.</math> | :<math>\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F} = \left(\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (F_x,F_y,F_z) = \frac{\partial F_x}{\partial x}+\frac{\partial F_y}{\partial y}+\frac{\partial F_z}{\partial z}.</math> | ||
चूंकि निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया है, परिणाम [[रोटेशन मैट्रिक्स]] के तहत अपरिवर्तनीय है, जैसा कि भौतिक व्याख्या से पता चलता है। इसका कारण यह है कि जैकोबियन मैट्रिक्स का पता लगाना और एक का निर्धारक {{math|''N''}}-आयामी वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} में {{mvar|N}}-विमीय स्थान किसी भी उलटा रैखिक परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है। | |||
विचलन के लिए सामान्य संकेतन {{math|∇ · '''F'''}} एक सुविधाजनक स्मरक है, जहां डॉट एक ऑपरेशन को इंगित करता है जो [[डॉट उत्पाद]] की याद दिलाता है: के घटकों को लें {{math|∇}} ऑपरेटर ([[का]] देखें), उन्हें संबंधित घटकों पर लागू करें {{math|'''F'''}}, और परिणामों का योग करें। क्योंकि एक ऑपरेटर को लागू करना घटकों को गुणा करने से अलग है, इसे [[अंकन का दुरुपयोग]] माना जाता है। | विचलन के लिए सामान्य संकेतन {{math|∇ · '''F'''}} एक सुविधाजनक स्मरक है, जहां डॉट एक ऑपरेशन को इंगित करता है जो [[डॉट उत्पाद]] की याद दिलाता है: के घटकों को लें {{math|∇}} ऑपरेटर ([[का]] देखें), उन्हें संबंधित घटकों पर लागू करें {{math|'''F'''}}, और परिणामों का योग करें। क्योंकि एक ऑपरेटर को लागू करना घटकों को गुणा करने से अलग है, इसे [[अंकन का दुरुपयोग]] माना जाता है। | ||
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A_{31} & A_{32} & A_{33} | A_{31} & A_{32} & A_{33} | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में विचलन एक प्रथम-क्रम टेन्सर क्षेत्र है{{sfn|Gurtin|1981|loc=p. 30}} और दो | कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में विचलन एक प्रथम-क्रम टेन्सर क्षेत्र है{{sfn|Gurtin|1981|loc=p. 30}} और दो प्रकार से परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |title=1.14 टेंसर कैलकुलस I: टेंसर फील्ड्स|work=Foundations of Continuum Mechanics |url=http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |archive-url=https://web.archive.org/web/20130108133336/http://homepages.engineering.auckland.ac.nz/~pkel015/SolidMechanicsBooks/Part_III/Chapter_1_Vectors_Tensors/Vectors_Tensors_14_Tensor_Calculus.pdf |archive-date=2013-01-08 |url-status=live }}</ref> | ||
:<math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) | :<math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) | ||
= \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i | = \cfrac{\partial A_{ik}}{\partial x_k}~\mathbf{e}_i = A_{ik,k}~\mathbf{e}_i | ||
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:<math>\operatorname{div} (\mathbf{A^T}) = \nabla\cdot\mathbf A</math> | :<math>\operatorname{div} (\mathbf{A^T}) = \nabla\cdot\mathbf A</math> | ||
यदि टेंसर सममित है {{math|1=''A<sub>ij</sub>'' = ''A<sub>ji</sub>''}} तब <math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) = \nabla\cdot\mathbf A</math>. इस वजह से, | यदि टेंसर सममित है {{math|1=''A<sub>ij</sub>'' = ''A<sub>ji</sub>''}} तब <math>\operatorname{div} (\mathbf{A}) = \nabla\cdot\mathbf A</math>. इस वजह से, अधिकांशतः साहित्य में दो परिभाषाएँ (और प्रतीक {{math|div}} और <math>\nabla\cdot</math>) का परस्पर उपयोग किया जाता है (विशेष रूप से यांत्रिकी समीकरणों में जहां टेन्सर समरूपता मान ली जाती है)। | ||
की अभिव्यक्तियाँ <math>\nabla\cdot\mathbf A</math> लेख डेल में बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक दिए गए हैं। | की अभिव्यक्तियाँ <math>\nabla\cdot\mathbf A</math> लेख डेल में बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक दिए गए हैं। | ||
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== अपघटन प्रमेय == | == अपघटन प्रमेय == | ||
{{Main|हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन}} | {{Main|हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन}} | ||
यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी स्थिर प्रवाह {{math|'''v'''('''r''')}} में दो बार लगातार अवकलनीय है {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} और काफी तेजी से गायब हो जाता है {{math|{{abs|'''r'''}} → ∞}} एक अपरिमेय भाग में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है {{math|'''E'''('''r''')}} और एक स्रोत-मुक्त भाग {{math|'''B'''('''r''')}}. इसके | यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी स्थिर प्रवाह {{math|'''v'''('''r''')}} में दो बार लगातार अवकलनीय है {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} और काफी तेजी से गायब हो जाता है {{math|{{abs|'''r'''}} → ∞}} एक अपरिमेय भाग में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है {{math|'''E'''('''r''')}} और एक स्रोत-मुक्त भाग {{math|'''B'''('''r''')}}. इसके अतिरिक्त, इन भागों को स्पष्ट रूप से संबंधित स्रोत घनत्व (ऊपर देखें) और संचलन घनत्व (लेख कर्ल (गणित) देखें) द्वारा निर्धारित किया जाता है: | ||
इर्रोटेशनल पार्ट के लिए किसी के पास है | इर्रोटेशनल पार्ट के लिए किसी के पास है | ||
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:<math>\Phi (\mathbf{r})=\int_{\mathbb R^3}\,d^3\mathbf r'\;\frac{\operatorname{div} \mathbf{v}(\mathbf{r}')}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}.</math> | :<math>\Phi (\mathbf{r})=\int_{\mathbb R^3}\,d^3\mathbf r'\;\frac{\operatorname{div} \mathbf{v}(\mathbf{r}')}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}.</math> | ||
स्रोत-मुक्त भाग, {{math|'''B'''}}, इसी | स्रोत-मुक्त भाग, {{math|'''B'''}}, इसी प्रकार लिखा जा सकता है: केवल स्केलर क्षमता को बदलना होगा {{math|Φ('''r''')}} एक वेक्टर क्षमता द्वारा {{math|'''A'''('''r''')}} और शर्तें {{math|−∇Φ}} द्वारा {{math|+∇ × '''A'''}}, और स्रोत घनत्व {{math|div '''v'''}} | ||
परिसंचरण घनत्व द्वारा {{math|∇ × '''v'''}}. | परिसंचरण घनत्व द्वारा {{math|∇ × '''v'''}}. | ||
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इस प्रकार, वेक्टर क्षेत्र का विचलन {{math|'''F'''}} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: | इस प्रकार, वेक्टर क्षेत्र का विचलन {{math|'''F'''}} के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: | ||
:<math>\nabla \cdot {\mathbf F} = {\star} d{\star} \big({\mathbf F}^\flat \big) .</math> | :<math>\nabla \cdot {\mathbf F} = {\star} d{\star} \big({\mathbf F}^\flat \big) .</math> | ||
यहाँ सुपरस्क्रिप्ट {{music|flat}} दो [[संगीत समरूपता]]ओं में से एक है, और {{math|⋆}} [[हॉज स्टार ऑपरेटर]] है। जब विचलन इस प्रकार लिखा जाता है, संकारक <math>{\star} d{\star}</math> [[अलग-अलग]] कहा जाता है। वेक्टर क्षेत्र और विचलन के साथ काम करने की तुलना में वर्तमान दो-रूप और बाहरी व्युत्पन्न के साथ काम करना | यहाँ सुपरस्क्रिप्ट {{music|flat}} दो [[संगीत समरूपता]]ओं में से एक है, और {{math|⋆}} [[हॉज स्टार ऑपरेटर]] है। जब विचलन इस प्रकार लिखा जाता है, संकारक <math>{\star} d{\star}</math> [[अलग-अलग]] कहा जाता है। वेक्टर क्षेत्र और विचलन के साथ काम करने की तुलना में वर्तमान दो-रूप और बाहरी व्युत्पन्न के साथ काम करना सामान्यतः आसान होता है, क्योंकि विचलन के विपरीत, बाहरी व्युत्पन्न (वक्रीय) समन्वय प्रणाली के परिवर्तन के साथ आवागमन करता है। | ||
== वक्रीय निर्देशांक में == | == वक्रीय निर्देशांक में == | ||
उपयुक्त व्यंजक वक्ररेखीय निर्देशांक | उपयुक्त व्यंजक वक्ररेखीय निर्देशांक ग्रेड, कर्ल, डिव, लाप्लासियन में अधिक जटिल है। सदिश क्षेत्र का विचलन स्वाभाविक रूप से आयाम के किसी भी अलग-अलग कई गुना तक फैलता है {{math|''n''}} जिसका एक आयतन रूप है (या [[कई गुना घनत्व]]) {{mvar|μ}}, उदा. एक [[रीमैनियन कई गुना]] या [[लोरेंट्ज़ियन कई गुना]] सदिश क्षेत्र के लिए दो रूपों के निर्माण का सामान्यीकरण {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}, ऐसे कई गुना सदिश क्षेत्र पर {{math|''X''}} परिभाषित करता है {{math|(''n'' − 1)}}-प्रपत्र {{math|1=''j'' = ''i''<sub>''X''</sub> ''μ''}} अनुबंध करके प्राप्त किया {{math|''X''}} साथ {{mvar|μ}}. विचलन तब द्वारा परिभाषित कार्य है | ||
:<math>dj = (\operatorname{div} X) \mu .</math> | :<math>dj = (\operatorname{div} X) \mu .</math> | ||
| Line 214: | Line 214: | ||
इसका मतलब यह है कि विचलन एक इकाई मात्रा (एक मात्रा तत्व) के विस्तार की दर को मापता है क्योंकि यह वेक्टर क्षेत्र के साथ बहती है। | इसका मतलब यह है कि विचलन एक इकाई मात्रा (एक मात्रा तत्व) के विस्तार की दर को मापता है क्योंकि यह वेक्टर क्षेत्र के साथ बहती है। | ||
एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, मात्रा के संबंध में विचलन [[लेवी-Civita कनेक्शन]] के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है {{math|∇}}: | एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, मात्रा के संबंध में विचलन [[लेवी-Civita कनेक्शन|लेवी-सिटिवी कनेक्शन]] के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है {{math|∇}}: | ||
:<math>\operatorname{div} X = \nabla \cdot X = {X^a}_{;a} ,</math> | :<math>\operatorname{div} X = \nabla \cdot X = {X^a}_{;a} ,</math> | ||
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:<math>\operatorname{div}(X) = \frac{1}{\sqrt{\left|\det g \right|}} \, \partial_a \left(\sqrt{\left|\det g \right|} \, X^a\right),</math> | :<math>\operatorname{div}(X) = \frac{1}{\sqrt{\left|\det g \right|}} \, \partial_a \left(\sqrt{\left|\det g \right|} \, X^a\right),</math> | ||
जहां {{mvar|g}} मीट्रिक टेंसर है और <math>\partial_a</math> समन्वय के संबंध में {{math|''x''{{i sup|''a''}}}} (के निर्धारक का निरपेक्ष मान) आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। मीट्रिक का वर्गमूल प्रकट होता है क्योंकि विचलन को [[मात्रा]] की सही अवधारणा के साथ लिखा जाना चाहिए। घुमावदार निर्देशांक में, आधार सदिश अब असामान्य नहीं हैं; निर्धारक इस मामले में मात्रा के सही विचार को कूटबद्ध करता है। यह दो बार, यहाँ, एक बार प्रकट होता है, जिससे कि <math>X^a</math> फ्लैट स्पेस में तब्दील किया जा सकता है (जहां निर्देशांक वास्तव में ऑर्थोनॉर्मल हैं), और एक बार फिर ऐसा <math>\partial_a</math> समतल स्थान में भी तब्दील हो जाता है, जिससे कि अंत में, साधारण विचलन को समतल स्थान में आयतन की सामान्य अवधारणा के साथ लिखा जा सके (अर्थात इकाई आयतन, अर्थात एक, अर्थात नीचे नहीं लिखा गया)। वर्ग-मूल भाजक में दिखाई देता है, क्योंकि व्युत्पन्न विपरीत तरीके से (सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण) सदिश (जो [[सदिशों का सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण]] है) में परिवर्तित होता है। एक समतल समन्वय प्रणाली प्राप्त करने का यह विचार जहां पारंपरिक तरीके से स्थानीय संगणना की जा सकती है, उसे [[mylegs]] कहा जाता है। इसे देखने का एक अलग तरीका यह ध्यान रखना है कि विचलन भेष में कोडिफरेंशियल है। अर्थात्, विचलन अभिव्यक्ति से मेल खाता है <math>\star d\star</math> साथ <math>d</math> [[एक समारोह का अंतर]] और <math>\star</math> [[हॉज स्टार]]। हॉज स्टार, इसके निर्माण से, वॉल्यूम फॉर्म को सभी सही जगहों पर प्रकट होने का कारण बनता है। | |||
== [[टेन्सर]] का विचलन == | == [[टेन्सर]] का विचलन == | ||
Revision as of 23:08, 9 January 2023
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