बाइनरी संबंध

यह लेख उन्नत धारणाओं को शामिल करता है। मूलभूत विषयों के लिए, संबंध (गणित) देखें।

Transitive binary relations
Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Total, Semiconnex Anti- reflexive Equivalence relation File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Preorder (Quasiorder) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Partial order ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Total preorder ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Total order ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Prewellordering ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Well-quasi-ordering ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Well-ordering ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Lattice ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ Join-semilattice ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ Meet-semilattice ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY ✗ ✗ Strict partial order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY Strict weak order ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY Strict total order ✗ ✗ File:Green check.svgY ✗ ✗ ✗ ✗ File:Green check.svgY File:Green check.svgY Symmetric Antisymmetric Connected Well-founded Has joins Has meets Reflexive Irreflexive Asymmetric Definitions, for all $a,b$ and $S\neq \varnothing :$ ${\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ ${\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}$ $aRa$ ${\text{not }}aRa$ ${\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}$
File:Green check.svgY indicates that the column's property is required by the definition of the row's term (at the very left). For example, the definition of an equivalence relation requires it to be symmetric. ✗ indicates that the property may, or may not hold. All definitions tacitly require the homogeneous relation $R$ be transitive: for all $a,b,c,$ if $aRb$ and $bRc$ then $aRc,$ and there are additional properties that a homogeneous relation may satisfy.

गणित में, एक द्विआधारी संबंध एक सेट के तत्वों को जोड़ता है, जिसे डोमेन कहा जाता है, दूसरे सेट के तत्वों के साथ, कोडोमेन कहलाता है। सेट X और Y पर एक द्विआधारी संबंध आदेशित जोड़े (x, y) का एक नया सेट है जिसमें x में X और y में Y शामिल हैं। यह एक एकल कार्य के अधिक व्यापक रूप से समझे जाने वाले विचार का सामान्यीकरण है, लेकिन कम प्रतिबंधों के साथ। यह संबंध की सामान्य अवधारणा को कूटबद्ध करता है: एक तत्व x एक तत्व y से संबंधित है, अगर और केवल अगर जोड़ी (x, y) आदेशित जोड़े के सेट से संबंधित है जो बाइनरी संबंध को परिभाषित करता है। एक द्विआधारी संबंध सेट X₁, ..., X_n पर एक n-आर्य संबंध का सबसे अधिक अध्ययन किया गया विशेष मामला n = 2 है, जो कार्तीय गुणनफल $X_{1}\times \cdots \times X_{n}$ का एक उपसमुच्चय है।

द्विआधारी संबंध का एक उदाहरण अभाज्य संख्या $\mathbb {P}$ के सेट और पूर्णांक $\mathbb {Z}$ के सेट पर "विभाजित" संबंध है, जिसमें प्रत्येक अभाज्य p प्रत्येक पूर्णांक z से संबंधित है जो कि p का गुणज है, लेकिन उस पूर्णांक से नहीं जो p का गुणज नहीं है। इस संबंध में, उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या 2 -11 जैसी संख्याओं से संबंधित है, लेकिन 1 या 9 से नहीं, ठीक वैसे ही जैसे अभाज्य संख्या 3 0, 6 और 9 से संबंधित है, लेकिन 4 या 13 से नहीं।

विभिन्न प्रकार की अवधारणाओं को प्रतिरूपित करने के लिए गणित की कई शाखाओं में द्विआधारी संबंध का उपयोग किया जाता है। इनमें अन्य बातों के साथ-साथ शामिल हैं:

• असमानता (गणित), समानता (गणित), और अंकगणित में संबंधों को विभाजित करता है;
• ज्यामिति में सर्वांगसमता (ज्यामिति) संबंध;
• ग्राफ सिद्धांत में संबंध के निकट है;
• रैखिक बीजगणित में संबंध के लिए ओर्थोगोनल है।

एक फ़ंक्शन को एक विशेष प्रकार के बाइनरी संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। कंप्यूटर विज्ञान में द्विआधारी संबंधों का भी अत्यधिक उपयोग किया जाता है।

सेट X और Y पर एक बाइनरी रिलेशन $X\times Y$ के पावर सेट का एक तत्व है क्योंकि बाद वाले सेट को समावेशन (⊆) द्वारा आदेश दिया जाता है, प्रत्येक संबंध को $X\times Y$ के उपसमुच्चयों के जालक में एक स्थान प्राप्त होता है जब X = Y होता है तो एक द्विआधारी संबंध को समांगी संबंध कहा जाता है। एक द्विपदीय संबंध को विषमांगी संबंध भी कहा जाता है जब यह आवश्यक नहीं है कि X = Y।

चूंकि संबंध सेट हैं, उन्हें सेट संचालन का उपयोग करके जोड़-तोड़ किया जा सकता है, जिसमें संघ, इंटरसेक्शन और पूरक शामिल है, और सेट के बीजगणित के नियमों को संतुष्ट करना। इसके अलावा, संबंध के विलोम और संबंधों की संरचना जैसे संक्रियाएं उपलब्ध हैं, जो संबंधों की कलन के नियमों को संतुष्ट करती हैं, जिसके लिए अर्नस्ट श्रोडर, क्लेरेंस लुईस, और गुंथर श्मिट द्वारा पाठ्यपुस्तकें हैं। संबंधों के गहन विश्लेषण में उन्हें अवधारणाओं नामक उपसमुच्चय में विघटित करना और उन्हें एक पूर्ण जाल में रखना शामिल है।

स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत की कुछ प्रणालियों में, संबंधों को वर्गों तक विस्तारित किया जाता है, जो समुच्चयों का सामान्यीकरण है। रसेल के विरोधाभास जैसे तार्किक विसंगतियों में भाग लिए बिना, अन्य बातों के अलावा, इस विस्तार की आवश्यकता सेट सिद्धांत में "का एक तत्व है" या "का एक उपसमुच्चय है" की अवधारणाओं को मॉडलिंग करने के लिए है।

शर्तें पत्राचार, डायाडिक संबंध और दो-स्थान संबंध द्विआधारी संबंध के लिए समानार्थी हैं, हालांकि कुछ लेखक X और Y के संदर्भ के बिना कार्टेशियन उत्पाद $X\times Y$ के किसी भी उपसमूह के लिए "द्विआधारी संबंध" शब्द का उपयोग करते हैं, और शब्द "बाइनरी रिलेशन" का उपयोग करते हैं। पत्राचार" X और Y के संदर्भ में एक द्विआधारी संबंध के लिए।

परिभाषा

दिए गए समुच्चय X और Y, कार्तीय गुणनफल $X\times Y$ को $\{(x,y):x\in X{\text{ and }}y\in Y\},$ के रूप में परिभाषित किया गया है और इसके तत्वों को क्रमित युग्म कहा जाता है।

सेट एक्स और वाई पर एक द्विआधारी संबंध आर $X\times Y$ का एक सबसेट है, सेट एक्स को डोमेन या आर के प्रस्थान का सेट कहा जाता है, और सेट वाई को कोडोमेन या आर के गंतव्य का सेट कहा जाता है। सेट एक्स और वाई के विकल्पों को निर्दिष्ट करने के लिए, कुछ लेखक द्विआधारी संबंध या पत्राचार को एक आदेशित ट्रिपल (X, Y, G) के रूप में परिभाषित करते हैं, जहां जी $X\times Y$ का एक उपसमुच्चय है जिसे द्विआधारी संबंध का ग्राफ कहा जाता है। बयान $(x,y)\in R$ पढ़ता है "x आर से संबंधित है" और xRy द्वारा चिह्नित किया गया है। परिभाषा का डोमेन या आर का सक्रिय डोमेन सभी एक्स का सेट है जैसे कम से कम एक वाई के लिए एक्सआरवाई। परिभाषा का कोडोमेन, सक्रिय कोडोमेन, छवि या R की श्रेणी सभी y का सेट है जैसे कम से कम एक x के लिए xRy। R का क्षेत्र इसके परिभाषा के डोमेन और परिभाषा के इसके कोडोमेन का मिलन है।

जब $X=Y,$ एक द्विआधारी संबंध को एक सजातीय संबंध (या अंतःकरण) कहा जाता है। इस तथ्य पर जोर देने के लिए कि एक्स और वाई को अलग-अलग होने की अनुमति है, एक द्विआधारी संबंध को विषम संबंध भी कहा जाता है।

द्विआधारी संबंध में, तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण है; यदि $x\neq y$ है तो yRx xRy से स्वतंत्र रूप से सत्य या असत्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, 3, 9 को विभाजित करता है, लेकिन 9, 3 को विभाजित नहीं करता।

उदाहरण

2nd example relation

A B′	ball	car	doll	cup
John	+	−	−	−
Mary	−	−	+	−
Venus	−	+	−	−

1st example relation

A B	ball	car	doll	cup
John	+	−	−	−
Mary	−	−	+	−
Ian	−	−	−	−
Venus	−	+	−	−

1) निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है कि कोडोमेन का चुनाव महत्वपूर्ण है। मान लीजिए कि चार वस्तुएं $A=\{{\text{ball, car, doll, cup}}\}$ और चार लोग $B=\{{\text{John, Mary, Ian, Venus}}\}$ हैं। ए और बी पर एक संभावित संबंध $R=\{({\text{ball, John}}),({\text{doll, Mary}}),({\text{car, Venus}})\}$ द्वारा दिया गया संबंध "के स्वामित्व में है" है। यानी, जॉन गेंद का मालिक है, मैरी गुड़िया का मालिक है, और वीनस कार का मालिक है। कोई भी कप का मालिक नहीं है और इयान के पास कुछ भी नहीं है; पहला उदाहरण देखें। एक समुच्चय के रूप में, R में इयान शामिल नहीं है, और इसलिए R को $A\times \{{\text{John, Mary, Venus}}\},$ के उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता था, यानी A और $\{{\text{John, Mary, Venus}}\};$ पर एक संबंध, दूसरा उदाहरण देखें। जबकि दूसरा उदाहरण सम्बन्ध आच्छादक है (नीचे देखें), पहला नहीं है।

2) मान लीजिए कि A = {भारतीय, आर्कटिक, अटलांटिक, प्रशांत}, विश्व के महासागर, और B = {NA, SA, AF, EU, AS, AU, AA}, महाद्वीप हैं। माना aRb उस महासागर को निरूपित करता है जो महाद्वीप b की सीमा बनाता है। तब इस संबंध के लिए तार्किक आव्यूह है:

File:Oceans and continents coarse.png

महासागर और महाद्वीप (छोड़े गए द्वीप)

Ocean borders continent

	NA	SA	AF	EU	AS	AU	AA
Indian	0	0	1	0	1	1	1
Arctic	1	0	0	1	1	0	0
Atlantic	1	1	1	1	0	0	1
Pacific	1	1	0	0	1	1	1

$R={\begin{pmatrix}0&0&1&0&1&1&1\\1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&1\\1&1&0&0&1&1&1\end{pmatrix}}.$

ग्रह पृथ्वी की संयोजकता को आर आरटी और आरटी आर के माध्यम से देखा जा सकता है, पूर्व में ए पर $4\times 4$ संबंध है, जो सार्वभौमिक संबंध ($A\times A$ या सभी का एक तार्किक मैट्रिक्स) है। यह सार्वभौमिक संबंध इस तथ्य को दर्शाता है कि प्रत्येक महासागर दूसरे महाद्वीपों से अधिक से अधिक एक महाद्वीप से अलग होता है। दूसरी ओर, आरटी आर $B\times B$ पर एक संबंध है जो सार्वभौमिक होने में विफल रहता है क्योंकि यूरोप से ऑस्ट्रेलिया तक यात्रा करने के लिए कम से कम दो महासागरों की यात्रा करनी चाहिए।

3) संबंधों का चित्रण ग्राफ सिद्धांत पर निर्भर करता है: एक सेट (सजातीय संबंध) पर संबंधों के लिए, एक निर्देशित ग्राफ एक संबंध और एक ग्राफ एक सममित संबंध दिखाता है। विषम संबंधों के लिए एक हाइपरग्राफ के किनारे संभवतः दो से अधिक नोड्स के साथ होते हैं, और एक द्विपक्षीय ग्राफ द्वारा चित्रित किया जा सकता है।

जिस प्रकार गुट एक सेट पर संबंधों का अभिन्न अंग है, उसी प्रकार विषम संबंधों का वर्णन करने के लिए द्विगुणित का उपयोग किया जाता है; वास्तव में, वे "अवधारणाएँ" हैं जो एक संबंध से जुड़ी एक जाली उत्पन्न करती हैं।

File:Add velocity ark POV.svg

विभिन्न टी अक्ष गति में पर्यवेक्षकों के लिए समय का प्रतिनिधित्व करते हैं, संबंधित एक्स अक्ष उनकी समकालिकता की रेखाएं हैं I

4) अतिपरवलयिक रूढ़िवादिता: समय और स्थान विभिन्न श्रेणियां हैं, और लौकिक गुण स्थानिक गुणों से अलग हैं। समकालिक घटनाओं का विचार निरपेक्ष समय और स्थान में सरल है क्योंकि हर बार t उस ब्रह्माण्ड विज्ञान में एक साथ होने वाले हाइपरप्लेन को निर्धारित करता है। हरमन मिन्कोव्स्की ने इसे बदल दिया जब उन्होंने सापेक्ष समकालिकता की धारणा को व्यक्त किया, जो कि तब मौजूद होता है जब स्थानिक घटनाएं एक वेग की विशेषता वाले समय के लिए "सामान्य" होती हैं। उन्होंने एक अनिश्चित आंतरिक उत्पाद का उपयोग किया, और निर्दिष्ट किया कि एक समय वेक्टर एक अंतरिक्ष वेक्टर के लिए सामान्य होता है जब वह उत्पाद शून्य होता है। रचना बीजगणित में अनिश्चित आंतरिक उत्पाद किसके द्वारा दिया जाता है

$<x,z>\ =\ x{\bar {z}}+{\bar {x}}z\;$ जहां ओवरबार संयुग्मन को दर्शाता है।

कुछ लौकिक घटनाओं और कुछ स्थानिक घटनाओं के बीच संबंध के रूप में, अतिशयोक्तिपूर्ण ओर्थोगोनलिटी (जैसा कि विभाजित-जटिल संख्याओं में पाया जाता है) एक विषम संबंध है।

5) एक ज्यामितीय विन्यास को उसके बिंदुओं और उसकी रेखाओं के बीच के संबंध के रूप में माना जा सकता है। संबंध को घटना के रूप में व्यक्त किया जाता है। परिमित और अनंत प्रक्षेपी और एफ़ाइन विमान शामिल हैं। जैकब स्टेनर ने स्टेनर प्रणाली ${\text{S}}(t,k,n)$ के साथ विन्यासों की सूची बनाने का बीड़ा उठाया है जिसमें एक एन-एलिमेंट सेट एस और के-एलिमेंट सबसेट का एक सेट है जिसे ब्लॉक कहा जाता है, जैसे कि टी तत्वों वाला एक सबसेट सिर्फ एक ब्लॉक में निहित है। इन आपतन संरचनाओं को ब्लॉक अभिकल्पनाओं के साथ सामान्यीकृत किया गया है। इन ज्यामितीय संदर्भों में प्रयुक्त घटना मैट्रिक्स आम तौर पर बाइनरी संबंधों के साथ उपयोग किए जाने वाले तार्किक मैट्रिक्स से मेल खाती है।

एक घटना संरचना एक ट्रिपल डी = (वी, बी, आई) है जहां वी और बी कोई भी दो अलग सेट हैं और मैं वी और बी के बीच एक द्विआधारी संबंध है, यानी $I\subseteq V\times {\textbf {B}}$। वी के तत्वों को बिंदु कहा जाएगा, जो बी के हैं ब्लॉक और I के झंडे।

विशेष प्रकार के द्विआधारी संबंध

File:The four types of binary relations.png

वास्तविक संख्याओं पर चार प्रकार के द्विआधारी संबंधों के उदाहरण: एक-से-एक (हरे रंग में), एक-से-अनेक (नीले रंग में), कई-से-एक (लाल रंग में), कई-से-अनेक (काले रंग में) ).

सेट X और Y पर कुछ महत्वपूर्ण प्रकार के द्विआधारी संबंध R नीचे सूचीबद्ध हैं।

विशिष्टता गुण:

• विशेषण (लेफ्ट-यूनिक भी कहा जाता है): सभी $x,z\in X$ और सभी $y\in Y,$ के लिए, यदि xRy और zRy तो x = z। ऐसे संबंध के लिए, {Y} को R की प्राथमिक कुंजी कहते हैं। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले रंग के द्विआधारी संबंध इंजेक्शन हैं, लेकिन लाल वाला (क्योंकि यह -1 और 1 से 1 दोनों को संबंधित करता है), और न ही काला वाला है (क्योंकि यह -1 और 1 से 0 दोनों से संबंधित है)।
• कार्यात्मक (जिसे राइट-यूनीक भी कहा जाता है, राइट-डेफिनिट या यूनिवेलेंट): सभी $x\in X$ और सभी $y,z\in Y,$ के लिए, यदि xRy और xRz तो y = z। ऐसे द्विआधारी संबंध को आंशिक फलन कहते हैं। ऐसे संबंध के लिए, $\{X\}$ को R की प्राथमिक कुंजी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कार्यात्मक हैं, लेकिन नीला वाला (क्योंकि यह 1 को -1 और 1 दोनों से जोड़ता है), और न ही काला वाला है (क्योंकि यह 0 से संबंधित है -1 और 1)।
• वन-टू-वन: इंजेक्शन और कार्यात्मक। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का द्विआधारी संबंध एक-से-एक है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
• एक-से-कई: इंजेक्शन और क्रियाशील नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में नीला बाइनरी संबंध एक-से-कई है, लेकिन लाल, हरे और काले वाले नहीं हैं।
• मैनी-टू-वन: कार्यात्मक और इंजेक्शन नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल बाइनरी संबंध कई-से-एक है, लेकिन हरे, नीले और काले रंग नहीं हैं।
• मैनी-टू-मैनी: इंजेक्शन नहीं और न ही कार्यात्मक। उदाहरण के लिए, आरेख में काला बाइनरी संबंध कई-से-कई है, लेकिन लाल, हरे और नीले रंग नहीं हैं।

संपूर्णता गुण (केवल डोमेन एक्स और कोडोमेन वाई निर्दिष्ट होने पर ही परिभाषित किया जा सकता है):

• कुल (जिसे लेफ्ट-टोटल भी कहा जाता है): X में सभी x के लिए Y में एक y मौजूद है जैसे कि xRy। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का क्षेत्र X के बराबर है। यह गुण गुण में संबद्ध (कुछ लेखकों द्वारा कुल भी कहा जाता है) की परिभाषा से भिन्न है। इस तरह के बाइनरी रिलेशन को मल्टीवैल्यूड फंक्शन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कुल हैं, लेकिन नीला वाला (क्योंकि यह -1 को किसी भी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है), और न ही काला है (क्योंकि यह किसी भी वास्तविक संख्या से 2 को संबंधित नहीं करता है)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, > पूर्णांकों पर कुल संबंध है। लेकिन यह सकारात्मक पूर्णांकों पर कुल संबंध नहीं है, क्योंकि धनात्मक पूर्णांकों में ऐसा कोई y नहीं है कि 1 > y। हालाँकि, < सकारात्मक पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं पर कुल संबंध है। प्रत्येक स्वतुल्य संबंध पूर्ण होता है: किसी दिए गए x के लिए, y = x चुनें।
• विशेषण (जिसे राइट-टोटल या ऑनटोटल भी कहा जाता है): Y में सभी y के लिए, X में एक x मौजूद है जैसे xRy। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का कोड डोमेन Y के बराबर है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले रंग के द्विआधारी संबंध विशेषण हैं, लेकिन लाल वाला (क्योंकि यह -1 से किसी भी वास्तविक संख्या को संबंधित नहीं करता है), और न ही काला वाला है (क्योंकि यह किसी वास्तविक संख्या को 2 से संबंधित नहीं करता है)।

अद्वितीयता और समग्रता गुण (केवल तभी परिभाषित किया जा सकता है जब डोमेन X और कोडोमेन Y निर्दिष्ट किए गए हों):

• एक कार्य: एक द्विआधारी संबंध जो कार्यात्मक और समग्र है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कार्य हैं, लेकिन नीले और काले रंग के नहीं हैं।
• एक इंजेक्शन: एक कार्य जो इंजेक्शन है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का बाइनरी संबंध एक इंजेक्शन है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
• एक प्रक्षेपण: एक कार्य जो विशेषण है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का बाइनरी संबंध एक विशेषण है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
• एक द्विभाजन: एक कार्य जो अंतःक्षेपी और विशेषण है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का द्विआधारी संबंध एक आक्षेप है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।

यदि उचित वर्गों पर संबंधों की अनुमति है:

• सेट-लाइक (या स्थानीय): x में सभी X के लिए, y में सभी Y की कक्षा जैसे कि yRx, अर्थात $\{y\in Y:yRx\}$, एक सेट है। उदाहरण के लिए, संबंध $\in$ सेट-लाइक है, और दो सेट पर प्रत्येक संबंध सेट-लाइक है। सामान्य क्रम < क्रमसूचक संख्याओं के वर्ग के ऊपर एक समुच्चय जैसा संबंध होता है, जबकि इसका प्रतिलोम > नहीं होता है।

द्विआधारी संबंधों पर संचालन

संघ

यदि आर और एस सेट एक्स और वाई पर बाइनरी संबंध हैं तो $R\cup S=\{(x,y):xRy{\text{ or }}xSy\}$ एक्स और वाई पर आर और एस का संघ संबंध है।

पहचान तत्व खाली रिश्ता है। उदाहरण के लिए, $\,\leq \,$ < और = का संघ है, और $\,\geq \,$ > और = का संघ है।

चौराहा

यदि आर और एस सेट एक्स और वाई पर द्विआधारी संबंध हैं तो $R\cap S=\{(x,y):xRy{\text{ and }}xSy\}$ है intersection relation X और Y के ऊपर R और S का।

पहचान तत्व सार्वभौमिक संबंध है। उदाहरण के लिए, संबंध 6 से विभाज्य है संबंधों का प्रतिच्छेदन 3 से विभाज्य है और 2 से विभाज्य है।

रचना

Main article: Composition of relations

यदि R सेट X और Y पर एक बाइनरी संबंध है, और S सेट Y और Z पर एक बाइनरी संबंध है तो $S\circ R=\{(x,z):{\text{ there exists }}y\in Y{\text{ such that }}xRy{\text{ and }}ySz\}$ (द्वारा भी दर्शाया गया है R; S) है composition relation X और Z के ऊपर R और S का।

पहचान तत्व पहचान संबंध है। अंकन में R और S का क्रम $S\circ R,$ यहाँ प्रयुक्त कार्यों की संरचना के लिए मानक अंकन क्रम से सहमत हैं। उदाहरण के लिए, रचना (का जनक है)$\,\circ \,$(की माँ है) पैदावार (की नानी है), जबकि रचना (की माँ है)$\,\circ \,$(की जनक है) उपज (की दादी है)। पूर्व मामले के लिए, यदि x, y का माता-पिता है और y, z की माता है, तो x, z का नाना-नानी है।

विपरीत

Main article: Converse relation

See also: Duality (order theory)

यदि R सेट X और Y पर एक बाइनरी संबंध है तो $R^{\textsf {T}}=\{(y,x):xRy\}$ है converse relation Y और X के ऊपर R का।

उदाहरण के लिए, = स्वयं का विलोम है, जैसा है $\,\neq ,\,$ तथा $\,<\,$ तथा $\,>\,$ एक दूसरे के विलोम हैं, जैसे हैं $\,\leq \,$ तथा $\,\geq .\,$ एक द्विआधारी संबंध इसके विलोम के बराबर है यदि और केवल यदि यह सममित संबंध है।

पूरक

Main article: Complementary relation

यदि R सेट X और Y पर एक बाइनरी संबंध है तो ${\overline {R}}=\{(x,y):{\text{ not }}xRy\}$ (द्वारा भी दर्शाया गया है R या ¬ R) है complementary relation X और Y के ऊपर R का।

उदाहरण के लिए, $\,=\,$ तथा $\,\neq \,$ एक दूसरे के पूरक हैं, जैसे हैं $\,\subseteq \,$ तथा $\,\not \subseteq ,\,$ $\,\supseteq \,$ तथा $\,\not \supseteq ,\,$ तथा $\,\in \,$ तथा $\,\not \in ,\,$ और, कुल ऑर्डर के लिए भी < और $\,\geq ,\,$ और > और $\,\leq .\,$ विलोम संबंध का पूरक $R^{\textsf {T}}$ पूरक का विलोम है: ${\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.$ यदि $X=Y,$ पूरक में निम्नलिखित गुण होते हैं:

• यदि कोई संबंध सममित है, तो पूरक भी सममित है।
• एक प्रतिवर्त संबंध का पूरक अप्रतिवर्ती है—और इसके विपरीत।
• एक सख्त कमजोर आदेश का पूरक कुल पूर्व आदेश है - और इसके विपरीत।

प्रतिबंध

Main article: Restriction (mathematics)

यदि R एक समुच्चय X पर एक द्विआधारी सजातीय संबंध है और S, X का एक उपसमुच्चय है तो $R_{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ and }}x\in S{\text{ and }}y\in S\}$ है restriction relation R से S ओवर X.

यदि R सेट X और Y पर एक द्विआधारी संबंध है और यदि S, X का एक उपसमुच्चय है तो $R_{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ and }}x\in S\}$ है left-restriction relation R से S ओवर X और Y।

यदि R सेट X और Y पर एक द्विआधारी संबंध है और यदि S, Y का एक उपसमुच्चय है तो $R^{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ and }}y\in S\}$ है right-restriction relation R से S ओवर X और Y।

यदि कोई संबंध प्रतिवर्ती संबंध, अप्रतिवर्ती, सममित संबंध, प्रतिसममित संबंध, असममित संबंध, सकर्मक संबंध, क्रमिक संबंध, त्रिकोटॉमी (गणित), एक आंशिक क्रम, कुल आदेश, सख्त कमजोर आदेश, सख्त कमजोर आदेश # कुल पूर्व आदेश (कमजोर क्रम) है , या एक तुल्यता संबंध, तो भी इसके प्रतिबंध हैं।

हालांकि, एक प्रतिबंध का सकर्मक समापन सकर्मक बंद होने के प्रतिबंध का एक उपसमुच्चय है, अर्थात, सामान्य रूप से समान नहीं है। उदाहरण के लिए, महिलाओं के लिए y का जनक x है संबंध को प्रतिबंधित करने से संबंध x, महिला y की मां है; इसका सकर्मक समापन एक महिला को उसकी नानी से संबंधित नहीं करता है। दूसरी ओर, के माता-पिता का सकर्मक समापन है का पूर्वज है; महिलाओं के लिए इसका प्रतिबंध एक महिला को उसकी नानी से जोड़ता है।

इसके अलावा, पूर्णता की विभिन्न अवधारणाएं (आदेश सिद्धांत) (कुल होने के साथ भ्रमित नहीं होना) प्रतिबंधों पर नहीं चलती हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं पर संबंध की एक संपत्ति $\,\leq \,$ क्या वह हर खाली सेट | गैर-खाली सबसेट है $S\subseteq \mathbb {R}$ एक ऊपरी सीमा के साथ $\mathbb {R}$ में एक सर्वोच्च (जिसे सर्वोच्च भी कहा जाता है) है $\mathbb {R} .$ हालाँकि, परिमेय संख्याओं के लिए यह सर्वोच्चता आवश्यक रूप से तर्कसंगत नहीं है, इसलिए वही संपत्ति संबंध के प्रतिबंध पर नहीं टिकती है $\,\leq \,$ तर्कसंगत संख्या के लिए।

एक बाइनरी रिलेशन R ओवर सेट X और Y कहा जाता है contained in X और Y पर एक संबंध S लिखा है $R\subseteq S,$ यदि R, S का उपसमुच्चय है, अर्थात सभी के लिए $x\in X$ तथा $y\in Y,$ अगर xRy, तो xSy। यदि R, S में समाहित है और S, R में समाहित है, तो R और S कहलाते हैं equal लिखित आर = एस। यदि आर एस में निहित है लेकिन एस आर में निहित नहीं है, तो आर कहा जाता है smaller S से, लिखा हुआ $R\subsetneq S.$ उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं पर, संबंध $\,>\,$ की तुलना में छोटा है $\,\geq ,\,$ और रचना के बराबर $\,>\,\circ \,>.\,$

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

सेट एक्स और वाई पर द्विआधारी संबंधों को एक्स और वाई द्वारा अनुक्रमित लॉजिकल मैट्रिक्स द्वारा बूलियन सेमिरिंग में प्रविष्टियों के साथ बीजगणितीय रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है (इसके अलावा OR और गुणन से संबंधित है) जहां मैट्रिक्स जोड़ संबंधों के संघ से मेल खाता है, मैट्रिक्स गुणन की संरचना से मेल खाता है संबंध (X और Y पर संबंध और Y और Z पर संबंध), हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस) संबंधों के प्रतिच्छेदन से मेल खाता है, शून्य मैट्रिक्स खाली संबंध से मेल खाता है, और लोगों का मैट्रिक्स सार्वभौमिक संबंध से मेल खाता है। सजातीय संबंध (जब X = Y) एक वसा मैट्रिक्स (वास्तव में, बूलियन सेमीरिंग पर एक मैट्रिक्स अर्ध बीजगणित) बनाते हैं जहां पहचान मैट्रिक्स पहचान संबंध से मेल खाती है।

सेट बनाम कक्षाएं

कुछ गणितीय संबंध, जैसे कि बराबर, उपसमुच्चय, और सदस्य, को ऊपर परिभाषित बाइनरी संबंधों के रूप में नहीं समझा जा सकता है, क्योंकि उनके डोमेन और कोडोमेन को स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत की सामान्य प्रणालियों में सेट नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समानता की सामान्य अवधारणा को एक द्विआधारी संबंध के रूप में मॉडल करना $\,=,$ डोमेन और कोडोमेन को सभी सेटों का वर्ग मानें, जो सामान्य सेट सिद्धांत में सेट नहीं है।

अधिकांश गणितीय संदर्भों में, समानता, सदस्यता और उपसमुच्चय के संबंधों के संदर्भ हानिरहित हैं क्योंकि उन्हें संदर्भ में कुछ सेट तक सीमित रूप से समझा जा सकता है। इस समस्या का सामान्य वर्क-अराउंड पर्याप्त बड़े सेट A का चयन करना है, जिसमें रुचि की सभी वस्तुएं शामिल हैं, और प्रतिबंध के साथ काम करना =_A के बजाय =। इसी तरह, संबंध का सबसेट $\,\subseteq \,$ डोमेन और कोडोमेन पी (ए) (एक विशिष्ट सेट ए का पावर सेट) तक सीमित होने की आवश्यकता है: परिणामी सेट रिलेशन द्वारा निरूपित किया जा सकता है $\,\subseteq _{A}.\,$ साथ ही, संबंध के सदस्य को बाइनरी संबंध प्राप्त करने के लिए डोमेन ए और कोडोमेन पी (ए) तक सीमित होना चाहिए $\,\in _{A}\,$ वह एक सेट है। बर्ट्रेंड रसेल ने यह मानकर दिखाया है $\,\in \,$ सभी सेटों पर परिभाषित होने के कारण सहज सेट सिद्धांत में एक विरोधाभास होता है, रसेल का विरोधाभास देखें।

इस समस्या का एक अन्य समाधान उचित वर्गों के साथ एक सेट सिद्धांत का उपयोग करना है, जैसे वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत या मोर्स-केली सेट सिद्धांत, और डोमेन और कोडोमेन (और इसलिए ग्राफ) को उचित वर्ग होने दें: ऐसा सिद्धांत, समानता, सदस्यता और उपसमुच्चय बिना किसी विशेष टिप्पणी के द्विआधारी संबंध हैं। (आदेशित ट्रिपल की अवधारणा में मामूली संशोधन करने की आवश्यकता है (X, Y, G), जैसा कि आम तौर पर एक उचित वर्ग एक आदेशित टपल का सदस्य नहीं हो सकता है; या बेशक कोई इस संदर्भ में अपने ग्राफ के साथ द्विआधारी संबंध की पहचान कर सकता है।) इस परिभाषा के साथ उदाहरण के लिए, प्रत्येक सेट और उसके पावर सेट पर एक द्विआधारी संबंध को परिभाषित किया जा सकता है।

सजातीय संबंध

Main article: Homogeneous relation

एक सजातीय संबंध एक समुच्चय पर X, X और स्वयं के ऊपर एक द्विआधारी संबंध है, अर्थात यह कार्तीय गुणनफल का एक उपसमुच्चय है $X\times X.$ इसे एक्स पर एक (बाइनरी) संबंध भी कहा जाता है।

एक सेट एक्स पर एक सजातीय संबंध आर को ग्राफ सिद्धांत # निर्देशित ग्राफ के साथ पहचाना जा सकता है, जहां एक्स वर्टेक्स सेट है और आर एज सेट है (एक वर्टेक्स एक्स से एक वर्टेक्स वाई तक एक किनारा है और केवल अगर xRy). सभी सजातीय संबंधों का सेट ${\mathcal {B}}(X)$ एक सेट पर X पावर सेट है $2^{X\times X}$ जो एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है जो इसके विपरीत संबंध के संबंध के मानचित्रण के समावेशन (गणित) के साथ संवर्धित है। संबंधों की संरचना को एक बाइनरी ऑपरेशन के रूप में देखते हुए ${\mathcal {B}}(X)$, यह समावेशन के साथ एक अर्धसमूह बनाता है।

सजातीय संबंध के कुछ महत्वपूर्ण गुण R एक सेट पर X हो सकता है:

• Reflexive: सभी के लिए $x\in X,$ xRx. उदाहरण के लिए, $\,\geq \,$ स्वतुल्य संबंध है लेकिन > नहीं है।
• Irreflexive: सभी के लिए $x\in X,$ नहीं xRx. उदाहरण के लिए, $\,>\,$ एक अप्रासंगिक संबंध है, लेकिन $\,\geq \,$ नहीं है।
• Symmetric: सभी के लिए $x,y\in X,$ यदि xRy फिर yRx. उदाहरण के लिए, का रक्त संबंधी एक सममित संबंध है।
• Antisymmetric: सभी के लिए $x,y\in X,$ यदि xRy तथा yRx फिर $x=y.$ उदाहरण के लिए, $\,\geq \,$ एक विषम संबंध है।
• Asymmetric: सभी के लिए $x,y\in X,$ यदि xRy फ़िर नही yRx. एक संबंध असममित है यदि और केवल यदि यह प्रतिसममित और अपरिवर्तनीय दोनों है। उदाहरण के लिए, > एक असममित संबंध है, लेकिन $\,\geq \,$ नहीं है।
• Transitive: सभी के लिए $x,y,z\in X,$ यदि xRy तथा yRz फिर xRz. एक सकर्मक संबंध अपरिवर्तनीय है अगर और केवल अगर यह असममित है। उदाहरण के लिए, का पूर्वज सकर्मक संबंध है, जबकि का जनक नहीं है।
• Connected: सभी के लिए $x,y\in X,$ यदि $x\neq y$ फिर xRy या yRx.
• Strongly connected: सभी के लिए $x,y\in X,$ xRy या yRx.

ए partial order एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त, प्रतिसममित और सकर्मक है। ए strict partial order एक ऐसा संबंध है जो अप्रतिवर्ती, प्रतिसममित और सकर्मक है। ए total order एक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त, प्रतिसममित, सकर्मक और जुड़ा हुआ है। A strict total order एक ऐसा संबंध है जो अप्रतिवर्ती, प्रतिसममित, सकर्मक और जुड़ा हुआ है। एक equivalence relation एक संबंध है जो स्वतुल्य, सममित और सकर्मक है। उदाहरण के लिए, x विभाजित करता है y एक आंशिक है, लेकिन प्राकृतिक संख्याओं पर कुल आदेश नहीं है $\mathbb {N} ,$ x <y एक सख्त कुल आदेश है $\mathbb {N} ,$ और x, y के समांतर है, यूक्लिडियन विमान में सभी रेखाओं के समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध है।

सेक्शन #ऑपरेशन्स ऑन बाइनरी रिलेशंस में परिभाषित सभी ऑपरेशन सजातीय संबंधों पर भी लागू होते हैं। इसके अलावा, एक सेट एक्स पर एक सजातीय संबंध क्लोजर ऑपरेशंस के अधीन हो सकता है जैसे:

Reflexive closure

एक्स युक्त आर पर सबसे छोटा रिफ्लेक्सिव संबंध,

Transitive closure

R युक्त X पर सबसे छोटा सकर्मक संबंध,

Equivalence closure

R युक्त X पर सबसे छोटा समतुल्य संबंध।

विषम संबंध

गणित में, एक विषम संबंध एक द्विआधारी संबंध है, जो कार्टेशियन उत्पाद का एक सबसेट है $A\times B,$ जहाँ A और B संभवतः भिन्न समुच्चय हैं।उपसर्ग हेटेरो ग्रीक ἕτερος (हेटरोस, अन्य, अन्य, अलग) से है।

एक विषम संबंध को 'आयताकार संबंध' कहा गया है,यह सुझाव देते हुए कि इसमें द्विआधारी संबंध # सजातीय संबंध का वर्ग-समरूपता नहीं है $A=B.$ सजातीय संबंधों से परे द्विआधारी संबंधों के विकास पर टिप्पणी करते हुए, शोधकर्ताओं ने लिखा, ... सिद्धांत का एक प्रकार विकसित हुआ है जो संबंधों को शुरू से ही मानता है heterogeneous या rectangular, यानी संबंधों के रूप में जहां सामान्य मामला यह है कि वे विभिन्न सेटों के बीच संबंध हैं।

संबंधों की गणना

बीजगणितीय तर्क में विकास ने द्विआधारी संबंधों के उपयोग की सुविधा प्रदान की है। संबंधों की गणना में समुच्चयों का बीजगणित, संबंधों की संरचना द्वारा विस्तारित और विपरीत संबंधों का उपयोग शामिल है। समावेश $R\subseteq S,$ जिसका अर्थ है कि aRb का अर्थ है aSb, संबंधों के एक जाली (आदेश सिद्धांत) में दृश्य सेट करता है। लेकिन जबसे $P\subseteq Q\equiv (P\cap {\bar {Q}}=\varnothing )\equiv (P\cap Q=P),$ समावेशन प्रतीक अतिश्योक्तिपूर्ण है। फिर भी, संबंधों की संरचना और ऑपरेटरों की हेरफेर संबंधों की संरचना के अनुसार # श्रोडर नियम | श्रोडर नियम, की शक्ति सेट में काम करने के लिए एक कलन प्रदान करता है $A\times B.$ सजातीय संबंधों के विपरीत, संबंधों के संचालन की संरचना केवल एक आंशिक कार्य है। रचित संबंधों के डोमेन के लिए सीमा के मिलान की आवश्यकता ने सुझाव दिया है कि विषम संबंधों का अध्ययन श्रेणी सिद्धांत का एक अध्याय है, जैसा कि सेट की श्रेणी में है, सिवाय इसके कि इस श्रेणी के रूपवाद संबंध हैं। objects }} श्रेणी के संबंधों की श्रेणी सेट होती है, और संबंध-रूपवाद एक श्रेणी (गणित) में आवश्यकतानुसार बनते हैं।

प्रेरित अवधारणा जाली

द्विआधारी संबंधों को उनकी प्रेरित अवधारणा जाली के माध्यम से वर्णित किया गया है: एक अवधारणा C ⊂ R दो गुणों को संतुष्ट करती है: (1) C का तार्किक मैट्रिक्स तार्किक वैक्टर का बाहरी उत्पाद है

$C_{ij}\ =\ u_{i}v_{j},\quad u,v$ तार्किक वैक्टर। (2) सी अधिकतम है, किसी अन्य बाहरी उत्पाद में निहित नहीं है। इस प्रकार C को एक गैर-विस्तारित आयत के रूप में वर्णित किया गया है।

किसी दिए गए संबंध के लिए $R\subseteq X\times Y,$ अवधारणाओं का समूह, उनके जुड़ने और मिलने से बढ़ा हुआ, समावेशन के साथ अवधारणाओं का एक प्रेरित जाल बनाता है $\sqsubseteq$ एक पूर्व आदेश बनाना।

MacNeille पूर्णता प्रमेय (1937) (कि किसी भी आंशिक क्रम को एक पूर्ण जाली में एम्बेड किया जा सकता है) को 2013 के एक सर्वेक्षण लेख में अवधारणा लैटिस पर संबंधों के अपघटन का हवाला दिया गया है। अपघटन है

$R\ =\ f\ E\ g^{\textsf {T}},$ जहाँ f और g फलन (गणित) हैं, कहलाते हैं mappings या वाम-कुल, इस संदर्भ में एकसमान संबंध। प्रेरित अवधारणा जाली आंशिक आदेश ई के पूर्ण होने के लिए आइसोमोर्फिक है जो संबंध आर के न्यूनतम अपघटन (एफ, जी, ई) से संबंधित है।

विशेष मामलों पर नीचे विचार किया गया है: ई कुल आदेश फेरर्स प्रकार से मेल खाता है, और ई पहचान अलग-अलग, एक सेट पर समकक्ष संबंध के सामान्यीकरण से मेल खाती है।

संबंधों को 'शीन रैंक' द्वारा रैंक किया जा सकता है जो किसी संबंध को कवर करने के लिए आवश्यक अवधारणाओं की संख्या की गणना करता है। अवधारणाओं के साथ संबंधों का संरचनात्मक विश्लेषण डेटा खनन के लिए एक दृष्टिकोण प्रदान करता है।

विशेष संबंध

• प्रस्ताव: यदि R एक क्रमिक संबंध है और R^T तो इसका स्थानान्तरण है $I\subseteq R^{\textsf {T}}R$ कहाँ पे $I$ m × m तत्समक संबंध है।
• प्रस्ताव: यदि R एक विशेषण संबंध है, तो $I\subseteq RR^{\textsf {T}}$ कहाँ पे $I$ है $n\times n$ पहचान संबंध।

द्विक्रियात्मक

एक समानता संबंध की अवधारणा के सामान्यीकरण के रूप में, अलग-अलग विशेषताओं के आधार पर वस्तुओं को विभाजित करने के लिए एक द्विभाजित संबंध का विचार है। ऐसा करने का एक तरीका एक मध्यवर्ती सेट के साथ है $Z=\{x,y,z,\ldots \}$ संकेतक (अनुसंधान) एस। विभाजन संबंध $R=FG^{\textsf {T}}$ का उपयोग कर संबंधों की एक रचना है univalent संबंधों $F\subseteq A\times Z{\text{ and }}G\subseteq B\times Z.$ जैक्स रिगुएट ने रचना एफ जी के बाद से इन संबंधों को कार्यात्मक नाम दिया^T में असमान संबंध शामिल हैं, जिन्हें आमतौर पर आंशिक कार्य कहा जाता है।

1950 में रिगुट ने दिखाया कि ऐसे संबंध समावेशन को संतुष्ट करते हैं:

$$R\ R^{\textsf {T}}\ R\ \subseteq \ R$$

ऑटोमेटा सिद्धांत में, आयताकार संबंध शब्द का उपयोग एक भिन्नात्मक संबंध को निरूपित करने के लिए भी किया गया है। यह शब्दावली इस तथ्य को याद करती है कि, जब एक तार्किक मैट्रिक्स के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है, तो एक भिन्नात्मक संबंध के स्तंभों और पंक्तियों को एक ब्लॉक मैट्रिक्स के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जिसमें (असममित) मुख्य विकर्ण पर आयताकार ब्लॉक होते हैं। अधिक औपचारिक रूप से, एक संबंध $R$ पर $X\times Y$ यदि और केवल यदि इसे कार्टेशियन उत्पादों के संघ के रूप में लिखा जा सकता है, तो यह भिन्न है $A_{i}\times B_{i}$, जहां $A_{i}$ के एक उपसमुच्चय का विभाजन हैं $X$ और यह $B_{i}$ इसी तरह के एक सबसेट का विभाजन $Y$. संकेतन {y: xRy} = xR का उपयोग करते हुए, एक द्विभाजित संबंध को एक संबंध R के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जैसे कि जहाँ भी x₁आर और एक्स₂R में एक गैर-खाली चौराहा है, तो ये दो सेट मेल खाते हैं; औपचारिक रूप से $x_{1}\cap x_{2}\neq \varnothing$ तात्पर्य $x_{1}R=x_{2}R.$ 1997 में शोधकर्ताओं ने डेटाबेस प्रबंधन में विविध निर्भरताओं के आधार पर द्विआधारी अपघटन की उपयोगिता पाई। इसके अलावा, bisimulation के अध्ययन में विवर्तनिक संबंध मौलिक हैं। सजातीय संबंधों के संदर्भ में, एक आंशिक तुल्यता संबंध भिन्नात्मक होता है।

फेरर्स प्रकार

एक सेट पर एक सख्त आदेश क्रम सिद्धांत में उत्पन्न होने वाला एक सजातीय संबंध है। 1951 में जैक्स रिगुएट ने एक पूर्णांक के विभाजन (संख्या सिद्धांत) के क्रम को अपनाया, जिसे फेरर्स आरेख कहा जाता है, ताकि सामान्य रूप से द्विआधारी संबंधों को आदेश दिया जा सके। एक सामान्य द्विआधारी संबंध के संबंधित तार्किक मैट्रिक्स में पंक्तियाँ होती हैं जो एक के अनुक्रम के साथ समाप्त होती हैं। इस प्रकार फेरर के आरेख के बिंदुओं को बदल दिया जाता है और मैट्रिक्स में दाईं ओर संरेखित किया जाता है।

फेरर्स प्रकार के संबंध R के लिए आवश्यक बीजगणितीय कथन है

$$R{\bar {R}}^{\textsf {T}}R\subseteq R.$$

अगर कोई एक रिश्ता $R,\ {\bar {R}},\ R^{\textsf {T}}$ फेरर्स प्रकार का है, तो वे सभी हैं।

संपर्क

मान लीजिए B, A का घात समुच्चय है, जो A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय है। फिर एक संबंध g एक 'संपर्क संबंध' है, यदि यह तीन गुणों को संतुष्ट करता है:

1. ${\text{for all }}x\in A,Y=\{x\}{\text{ implies }}xgY.$
2. $Y\subseteq Z{\text{ and }}xgY{\text{ implies }}xgZ.$
3. ${\text{for all }}y\in Y,ygZ{\text{ and }}xgY{\text{ implies }}xgZ.$

सेट सदस्यता संबंध, ε = का एक तत्व है, इन गुणों को संतुष्ट करता है इसलिए ε एक संपर्क संबंध है। 1970 में जॉर्ज ऑमन द्वारा एक सामान्य संपर्क संबंध की धारणा पेश की गई थी। संबंधों की गणना के संदर्भ में, संपर्क संबंध के लिए पर्याप्त शर्तों में शामिल हैं

$$C^{\textsf {T}}{\bar {C}}\ \subseteq \ \ni {\bar {C}}\ \ \equiv \ C\ {\overline {\ni {\bar {C}}}}\ \subseteq \ C,$$

कहाँ पे $\ni$ सेट सदस्यता (∈) का विलोम है।

अग्रिम आदेश आर \ आर

प्रत्येक संबंध R एक पूर्व-आदेश उत्पन्न करता है $R\backslash R$ जो संबंधों की संरचना#भागफल है। बातचीत और पूरक के संदर्भ में, $R\backslash R\ \equiv \ {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}.$ का विकर्ण बनाना $R^{\textsf {T}}{\bar {R}}$, की संगत पंक्ति $R^{\text{T}}$ और का स्तंभ ${\bar {R}}$ विपरीत तार्किक मान होंगे, इसलिए विकर्ण सभी शून्य हैं। फिर

$R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\bar {I}}\ \implies \ I\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}\ =\ R\backslash R,$ ताकि $R\backslash R$ प्रतिवर्त संबंध है।

सकर्मक संबंध दिखाने के लिए, इसकी आवश्यकता होती है $(R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.$ याद करें कि $X=R\backslash R$ सबसे बड़ा संबंध ऐसा है $RX\subseteq R.$ फिर

$R(R\backslash R)\subseteq R$

$R(R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R$ (दोहराना)

$\equiv R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\overline {(R\backslash R)(R\backslash R)}}$ (श्रोडर का नियम)

$\equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}$ (पूरक)

$\equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.$ (परिभाषा)

यू के पावर सेट पर समावेशन (सेट सिद्धांत) संबंध Ω तत्व (गणित) से इस तरह प्राप्त किया जा सकता है $\,\in \,$ यू के सबसेट पर:

$\Omega \ =\ {\overline {\ni {\bar {\in }}}}\ =\ \in \backslash \in .$

एक रिश्ते की सीमा

एक संबंध R दिया गया है, एक उप-संबंध इसे कहते हैं fringe की तरह परिभाषित किया गया है

$$\operatorname {fringe} (R)=R\cap {\overline {R{\bar {R}}^{\textsf {T}}R}}.$$

जब R एक आंशिक पहचान संबंध, द्विक्रियात्मक, या एक ब्लॉक विकर्ण संबंध है, तो फ्रिंज (R) = R. अन्यथा फ्रिंज ऑपरेटर अपने तार्किक मैट्रिक्स के संदर्भ में वर्णित एक सीमा उप-संबंध का चयन करता है: फ्रिंज (R) पार्श्व विकर्ण है यदि R एक ऊपरी दायाँ त्रिकोणीय रैखिक क्रम या सख्त क्रम है। फ्रिंज (आर) ब्लॉक फ्रिंज है अगर आर अपरिवर्तनीय है ($R\subseteq {\bar {I}}$) या ऊपरी दायां ब्लॉक त्रिकोणीय। फ्रिंज (आर) सीमा आयतों का एक क्रम है जब आर फेरर्स प्रकार का होता है।

दूसरी ओर, फ्रिंज (आर) = ∅ जब आर एक सघन क्रम, रैखिक, सख्त क्रम है।

गणितीय ढेर

Main article: Heap (mathematics)

दो सेट ए और बी दिए गए हैं, उनके बीच द्विआधारी संबंधों का सेट ${\mathcal {B}}(A,B)$ एक टर्नरी ऑपरेशन से लैस किया जा सकता है $[a,\ b,\ c]\ =\ ab^{\textsf {T}}c$ जहां बी^T b के विलोम संबंध को दर्शाता है। 1953 में विक्टर वैगनर ने सेमीहीप्स, हीप्स और सामान्यीकृत हीप्स को परिभाषित करने के लिए इस टर्नरी ऑपरेशन के गुणों का उपयोग किया। इन परिभाषाओं द्वारा विषम और सजातीय संबंधों के विपरीत पर प्रकाश डाला गया है:

There is a pleasant symmetry in Wagner's work between heaps, semiheaps, and generalised heaps on the one hand, and groups, semigroups, and generalised groups on the other. Essentially, the various types of semiheaps appear whenever we consider binary relations (and partial one-one mappings) between different sets A and B, while the various types of semigroups appear in the case where A = B.

— Christopher Hollings, "Mathematics across the Iron Curtain: a history of the algebraic theory of semigroups"

यह भी देखें

• सार पुनर्लेखन प्रणाली
• योज्य संबंध, मॉड्यूल के बीच एक बहु-मूल्यवान समरूपता
• रूपक (श्रेणी सिद्धांत)
• संबंधों की श्रेणी, वस्तुओं के रूप में सेट वाली श्रेणी और आकारिकी के रूप में द्विआधारी संबंध
• संगम (शब्द पुनर्लेखन), द्विआधारी संबंधों के कई असामान्य लेकिन मौलिक गुणों पर चर्चा करता है
• पत्राचार (बीजीय ज्यामिति), बीजगणितीय समीकरणों द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संबंध
• हस्स आरेख, एक ग्राफिक का मतलब ऑर्डर संबंध प्रदर्शित करना है
• घटना संरचना, बिंदुओं और रेखाओं के सेट के बीच एक विषम संबंध
• रिश्तेदारों का तर्क, चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा संबंधों का एक सिद्धांत
• आदेश सिद्धांत, आदेश संबंधों के गुणों की जांच करता है

ग्रन्थसूची

• Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas (2012). "Chapter 3: Heterogeneous relations". Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-77968-8.
• Ernst Schröder (1895) Algebra der Logik, Band III, via Internet Archive
• Codd, Edgar Frank (1990). The Relational Model for Database Management: Version 2 (PDF). Boston: Addison-Wesley. ISBN 978-0201141924. Archived (PDF) from the original on 2022-10-09.
• Enderton, Herbert (1977). Elements of Set Theory. Boston: Academic Press. ISBN 978-0-12-238440-0.
• Kilp, Mati; Knauer, Ulrich; Mikhalev, Alexander (2000). Monoids, Acts and Categories: with Applications to Wreath Products and Graphs. Berlin: De Gruyter. ISBN 978-3-11-015248-7.
• Peirce, Charles Sanders (1873). "Description of a Notation for the Logic of Relatives, Resulting from an Amplification of the Conceptions of Boole's Calculus of Logic". Memoirs of the American Academy of Arts and Sciences. 9 (2): 317–178. Bibcode:1873MAAAS...9..317P. doi:10.2307/25058006. hdl:2027/hvd.32044019561034. JSTOR 25058006. Retrieved 2020-05-05.
• Schmidt, Gunther (2010). Relational Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-76268-7.

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बाहरी संबंध

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• "Binary relation", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]