परिमित क्षेत्र

"Galois field" redirects here. For Galois field extensions, see Galois extension.

गणित में, एक परिमित क्षेत्र (finite field) या गैलोइस क्षेत्र (Évariste Galois के सम्मान में तथाकथित) एक क्षेत्र (गणित) है जिसमें तत्व (गणित) की एक सीमित संख्या होती है। किसी भी क्षेत्र की तरह, एक परिमित क्षेत्र एक सेट (गणित) होता है, जिस पर गुणन, जोड़, घटाव और भाग के संचालन परिभाषित होते हैं और कुछ बुनियादी नियमों को पूरा करते हैं। परिमित क्षेत्रों के सबसे सामान्य उदाहरण पूर्णांक mod p (integers mod p) द्वारा दिए गए हैं जब p एक अभाज्य संख्या है।

एक परिमित क्षेत्र (finite field) का क्रम (order) उसके तत्वों की संख्या है, जो या तो एक अभाज्य संख्या या एक अभाज्य घात है। प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए p और प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक k के लिए क्रम $p^{k},$ के क्षेत्र हैं, जो सभी समरूपी हैं।

गणित और कंप्यूटर विज्ञान के कई क्षेत्रों में परिमित क्षेत्र (finite field) मौलिक हैं, जिनमें संख्या सिद्धांत , बीजगणितीय ज्यामिति , गैलोइस सिद्धांत , परिमित ज्यामिति , क्रिप्टोग्राफी और कोडिंग सिद्धांत शामिल हैं।

गुण

एक परिमित क्षेत्र (finite field) एक परिमित समुच्चय है जो एक क्षेत्र (गणित) है; इसका मतलब है कि गुणा, जोड़, घटाव और भाग (शून्य से भाग को छोड़कर) परिभाषित हैं और क्षेत्र सिद्धांतों के रूप में ज्ञात अंकगणित के नियमों को पूरा करते हैं।

एक परिमित क्षेत्र (finite field) के तत्वों की संख्या को इसका क्रम (order) या, कभी-कभी, इसका आकार कहा जाता है। q क्रम (order) का एक परिमित क्षेत्र (finite field) मौजूद है अगर और केवल अगर q एक प्रमुख संख्या (prime number) है p^k (जहां p एक अभाज्य संख्या है और k एक धनात्मक पूर्णांक है)। क्रम (order) p^k के क्षेत्र में, किसी भी तत्व की p प्रतियां जोड़ने पर परिणाम हमेशा शून्य होता है ; यानी क्षेत्र की विशेषता (बीजगणित) p है।

यदि q = p^k, क्रम (order) के सभी क्षेत्र q समरूपी हैं (देखें § Existence and uniqueness नीचे)।इसके अलावा, एक क्षेत्र (फ़ील्ड) में समान क्रम वाले दो भिन्न परिमित क्षेत्र विस्तार नहीं हो सकते हैं। इसलिए एक ही क्रम के साथ सभी परिमित क्षेत्रों (finite fields) की पहचान की जा सकती है, और उन्हें स्पष्ट रूप से निरूपित किया जाता है $\mathbb {F} _{q}$, F_q या GF(q), जहां अक्षर GF "गैलॉइस फील्ड" के लिए है। q क्रम (order) के एक परिमित क्षेत्र में, बहुपद X^q − X में परिमित क्षेत्र के सभी q तत्व मूल के रूप में होते हैं। एक परिमित क्षेत्र के गैर-शून्य तत्व एक गुणक समूह बनाते हैं। यह समूह चक्रीय समूह है, इसलिए सभी गैर-शून्य तत्वों को एक ही तत्व की घातों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसे क्षेत्र का एक आदिम तत्व (परिमित क्षेत्र) कहा जाता है। (सामान्य तौर पर किसी दिए गए क्षेत्र के लिए कई मौलिक तत्व होंगे।)

परिमित क्षेत्रों के सबसे सरल उदाहरण अभाज्य क्रम के क्षेत्र हैं: प्रत्येक अभाज्य संख्या p के लिए, क्रम (order) p का प्रमुख क्षेत्र , $\mathbb {F} _{p}$, पूर्णांक मॉड्यूल (integers modulo) p, Z/pZ के रूप में निर्मित किया जा सकता है।

p क्रम (order) के प्रमुख क्षेत्र के तत्वों को 0, ..., p − 1 श्रेणी में पूर्णांकों द्वारा दर्शाया जा सकता है। योग, अंतर और गुणनफल संगत पूर्णांक संक्रिया के परिणाम के p से विभाजन का शेषफल है। यूक्लिडियन डिवीजन द्वारा हैं p संबंधित पूर्णांक ऑपरेशन के परिणाम का। विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथम का उपयोग करके किसी तत्व के गुणनात्मक व्युत्क्रम की गणना की जा सकती है (देखें Extended Euclidean algorithm § Modular integers)

मान लीजिए F एक परिमित क्षेत्र है। F में किसी भी तत्व x और किसी पूर्णांक n के लिए, n ⋅ x द्वारा x की n प्रतियों के योग को निरूपित करें। सबसे छोटा धनात्मक n ऐसा है कि n ⋅ 1 = 0 क्षेत्र की विशेषता p है। यह गुणन को परिभाषित करने की अनुमति देता है $(k,x)\mapsto k\cdot x$, GF(p) के एक तत्व k का F के एक तत्व x द्वारा k लिए एक पूर्णांक प्रतिनिधि (integer representative) चुनकर। यह गुणन F को GF(p)-सदिश स्थल (vector space) बनाता है। यह इस प्रकार है कि किसी पूर्णांक n के लिए F के तत्वों की संख्या pⁿ है।

पहचान (गणित)

$$(x+y)^{p}=x^{p}+y^{p}$$

(कभी-कभी फ्रेशमैन का सपना कहा जाता है) विशेषता p के क्षेत्र में सच है। यह द्विपद प्रमेय से अनुसरण करता है, क्योंकि (x + y)^p के विस्तार का प्रत्येक द्विपद गुणांक पहले और अंतिम को छोड़कर, p का एक गुणज (multiple) है।

फ़र्मेट की छोटी प्रमेय के अनुसार, यदि p एक अभाज्य संख्या है और x क्षेत्र (फ़ील्ड) GF(p) में है तो x^p = x. इसका तात्पर्य समानता से है

$$X^{p}-X=\prod _{a\in \mathrm {GF} (p)}(X-a)$$

GF(p) के बहुपदों के लिए। अधिक सामान्यतः, GF(pⁿ) में प्रत्येक तत्व बहुपद समीकरण x^pn − x = 0 को संतुष्ट करता है।

परिमित क्षेत्र (finite field) का कोई भी परिमित क्षेत्र विस्तार (finite field extension) वियोज्य (separable) और सरल (simple) है। यानी अगर E एक परिमित क्षेत्र (finite field) है और F, E का एक उपक्षेत्र (subfield) है , तो E को F से एक एकल तत्व जिसका न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) वियोज्य (separable) है से जोड़कर प्राप्त किया जाता है। एक शब्दजाल (jargon) का उपयोग करने के लिए, परिमित क्षेत्र (finite fields) सही क्षेत्र (perfect) हैं।

एक अधिक सामान्य बीजगणितीय संरचना जो एक क्षेत्र (field) की अन्य सभी सूक्तियों (axioms) को संतुष्ट करती है, लेकिन जिसके गुणन को क्रमविनिमेय (commutative) होने की आवश्यकता नहीं होती है, उसे विभाजन की अंगूठी (division ring) या कभी-कभी विषम क्षेत्र (skew field) कहा जाता है। वेडरबर्न की छोटी प्रमेय के अनुसार, कोई भी परिमित विभाजन वलय (finite division ring) क्रमविनिमेय (commutative) होता है, और इसलिए एक परिमित क्षेत्र (finite field) होता है।

अस्तित्व और विशिष्टता

मान लीजिए q = pⁿ एक प्रमुख घात (prime power) है, और F बहुपद (polynomial) का विभाजन क्षेत्र (splitting field) हो

$$P=X^{q}-X$$

प्रमुख क्षेत्र (prime field) GF(p) के ऊपर। इसका मतलब यह है कि F निम्नतम क्रम (lowest order) का एक परिमित क्षेत्र (finite field) है, जिसमें P के q अलग-अलग मूल हैं (P का औपचारिक व्युत्पन्न P′ = −1 है , जिसका अर्थ है कि gcd(P, P′) = 1, जिसका सामान्य अर्थ यह है कि विभाजन क्षेत्र (splitting field) मूल (original) का एक वियोज्य विस्तार है)। उपरोक्त पहचान दर्शाता है कि P के दो मूलों (roots) का योग और गुणनफल P के मूल (root) हैं, साथ ही P के मूल का गुणनात्मक व्युत्क्रम (multiplicative inverse)। दूसरे शब्दों में, P के मूल q क्रम (order) का एक क्षेत्र (field) बनाते हैं, जो विभाजन क्षेत्र (splitting field) की न्यूनतमता (minimality) से F के बराबर है।

बंटवारे वाले क्षेत्रों के समरूपता तक की विशिष्टता का तात्पर्य इस प्रकार है कि क्रम के सभी क्षेत्र q समरूपी हैं। इसके अलावा, यदि कोई क्षेत्र F आदेश का एक क्षेत्र है q = p^k एक उपक्षेत्र के रूप में, इसके तत्व हैं q की जड़ें X^q − X, तथा F आदेश का एक और उपक्षेत्र नहीं हो सकता q.

संक्षेप में, हमारे पास निम्नलिखित वर्गीकरण प्रमेय है जिसे पहली बार 1893 में ई. एच. मूर द्वारा सिद्ध किया गया था:

एक परिमित क्षेत्र का क्रम एक प्रमुख शक्ति है। हर प्रधान शक्ति के लिए q आदेश के क्षेत्र हैं q, और वे सभी समरूपी हैं। इन क्षेत्रों में हर तत्व संतुष्ट

$$x^{q}=x,$$

और बहुपद X^q − X कारक के रूप में

$$X^{q}-X=\prod _{a\in F}(X-a).$$

यह इस प्रकार है कि GF(pⁿ) इसमें एक सबफील्ड आइसोमॉर्फिक शामिल है GF(p^m) अगर और केवल अगर m का भाजक है n; उस स्थिति में, यह उपक्षेत्र अद्वितीय है। वास्तव में, बहुपद X^pm − X विभाजित X^pn − X अगर और केवल अगर m का भाजक है n.

स्पष्ट निर्माण

गैर-अभाज्य क्षेत्र

p अभाज्य (prime) और n > 1 के साथ एक प्रमुख घात (prime power) q = pⁿ को देखते हुए, फ़ील्ड GF(q) को स्पष्ट रूप से निम्नलिखित तरीके से स्पष्ट रूप से बनाया जा सकता है। सबसे पहले डिग्री n के GF(p)[X] में एक अलघुकरणीय बहुपद (irreducible polynomial) P चुनते है (इस तरह का एक अलघुकरणीय बहुपद (irreducible polynomial) हमेशा मौजूद रहता है)। फिर भागफल वलय (quotient ring)

$$\mathrm{G}\mathrm{F}(q)=$$