वियोज्य विस्तार

क्षेत्र सिद्धांत (गणित) में, बीजगणित की शाखा, एक बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार $E/F$ यदि प्रत्येक के लिए इसे वियोज्य विस्तार कहा जाता है $\alpha \in E$ , का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)। $\alpha$ ऊपर $F$ एक [[वियोज्य बहुपद]] है (अर्थात, इसका औपचारिक व्युत्पन्न शून्य बहुपद नहीं है, या समकक्ष रूप से किसी भी विस्तार क्षेत्र में इसकी कोई दोहराई गई जड़ें नहीं हैं)।^[1] एक अत्यधिक सामान्य परिभाषा भी है जो कब क्रियान्वित होती है $E$ आवश्यक रूप से बीजगणितीय नहीं है $F$ . जो विस्तार अलग नहीं किया जा सकता, उसे अविभाज्य कहा जाता है।

विशेषता (बीजगणित) वाले क्षेत्र (गणित) का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार क्षेत्र शून्य का मामला वियोज्य है, और एक परिमित क्षेत्र का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार वियोज्य होता है।^[2]

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि गणित में विचार किए जाने वाले अधिकांश विस्तार वियोज्य हैं। फिर भी, पृथक्करण की अवधारणा महत्वपूर्ण है, क्योंकि अविभाज्य विस्तारों का अस्तित्व विशेषता शून्य में सिद्ध कई प्रमेयों को गैर-शून्य विशेषता तक विस्तारित करने में मुख्य बाधा है। उदाहरण के लिए, गैलोज़ सिद्धांत का मौलिक प्रमेय सामान्य विस्तार के बारे में एक प्रमेय है, जो गैर-शून्य विशेषता में तभी सत्य रहता है जब विस्तार को भी अलग करने योग्य माना जाता है।^[3]

विपरीत अवधारणा, विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार, स्वाभाविक रूप से भी होती है, क्योंकि प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार को अलग करने योग्य विस्तार के विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है। एक बीजगणितीय विस्तार $E/F$ गैर-शून्य विशेषताओं वाले क्षेत्रों का $p$ विशुद्ध रूप से अविभाज्य विस्तार है यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $\alpha \in E\setminus F$ , का न्यूनतम बहुपद $\alpha$ ऊपर $F$ प्रत्येक तत्व के लिए एक पृथक्करणीय बहुपद या समकक्ष नहीं है $x$ का $E$ , एक धनात्मक पूर्णांक है $k$ ऐसा है कि $x^{p^{k}}\in F$ .^[4]

(विशुद्ध रूप से) अविभाज्य विस्तार का सबसे सरल उदाहरण है $E=\mathbb {F} _{p}(x)\supset F=\mathbb {F} _{p}(x^{p})$ , परिमित क्षेत्र में गुणांक के साथ अनिश्चित x में तर्कसंगत कार्य के क्षेत्र $\mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /(p)$ . तत्व $x\in E$ न्यूनतम बहुपद है $f(X)=X^{p}-x^{p}\in F[X]$ , रखना $f'\!(X)=0$ और p-फोल्ड मल्टीपल रूट, जैसे $f(X)=(X-x)^{p}\in E[X]$ . यह घात p का सरल बीजगणितीय विस्तार है $E=F[x]$ , लेकिन गैलोज़ समूह के बाद से यह सामान्य विस्तार नहीं है ${\text{Gal}}(E/F)$ तुच्छ समूह होता है |

अनौपचारिक चर्चा

एक मनमाना बहुपद $f$ किसी क्षेत्र में गुणांक के साथ $F$ कहा जाता है कि इसकी जड़ें अलग-अलग होती हैं यदि ऐसा है तो यह वर्ग-मुक्त बहुपद वर्ग-मुक्त है $deg f$ कुछ विस्तार क्षेत्र में जड़ें $E\supseteq F$ . उदाहरण के लिए, बहुपद $g (X) = X 2 - 1$ बिल्कुल है $deg g = 2$ जटिल तल में जड़ें; अर्थात् $1$ और $-1$ , और इसलिए इसकी जड़ें अलग-अलग होती हैं। दूसरी ओर, बहुपद $h (X) = (X - 2) 2$ , जो अचर बहुपद का वर्ग है, उसके अलग-अलग मूल नहीं होते, क्योंकि इसकी घात दो होती है, और $2$ ही इसका मूल होता है |

प्रत्येक बहुपद को उसके गुणांकों के क्षेत्र के बीजगणितीय समापन पर रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है। इसलिए, बहुपद के अलग-अलग मूल नहीं होते हैं यदि यह धनात्मक डिग्री वाले बहुपद के वर्ग से विभाज्य हो सकता है। यह मामला तभी है जब बहुपद और उसके औपचारिक व्युत्पन्न का बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक स्थिरांक नहीं है। इस प्रकार यह परीक्षण करने के लिए कि क्या कोई बहुपद वर्ग-मुक्त है, स्पष्ट रूप से किसी क्षेत्र विस्तार पर विचार करना आवश्यक नहीं है और न ही जड़ों की गणना करना आवश्यक होता है।

इस संदर्भ में, अघुलनशील बहुपद के मामले में कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है। एक प्राथमिकता, ऐसा लग सकता है कि अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए वर्ग द्वारा विभाज्य होना असंभव है, जिसमें स्वयं को छोड़कर कोई गैर-स्थिर भाजक नहीं है। चूकि,अपरिवर्तनीयता परिवेश क्षेत्र पर निर्भर करती है, और एक बहुपद अप्रासंगिक हो सकता है $F$ और के कुछ विस्तार पर कम करने योग्य $F$ . इसी प्रकार, एक वर्ग से विभाज्यता परिवेश क्षेत्र पर निर्भर करती है। यदि अघुलनशील बहुपद $f$ ऊपर $F$ कुछ क्षेत्र विस्तार पर एक वर्ग द्वारा विभाज्य है, तो (उपरोक्त चर्चा के अनुसार) का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $f$ और इसका व्युत्पन्न $f'$ स्थिर नहीं है. ध्यान दें कि के गुणांक $f'$ के समान क्षेत्र से संबंधित हैं $f$ , और दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक परिवेश क्षेत्र से स्वतंत्र है, इसलिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक $f$ और $f'$ में गुणांक है $F$ . तब से $f$ में अपरिवर्तनीय है $F$ , यह सबसे बड़ा सामान्य भाजक आवश्यक रूप से है $f$ अपने आप। क्योंकि की डिग्री $f'$ की डिग्री से बिल्कुल कम है $f$ , यह इस प्रकार है कि का व्युत्पन्न $f$ शून्य है, जिसका अर्थ है कि क्षेत्र के किसी क्षेत्र की विशेषता एक अभाज्य संख्या है $p$ , और $f$ लिखा जा सकता है

f(x)=\sum _{i=0}^{k}a_{i}x^{pi}.

इस जैसे बहुपद, जिसका औपचारिक व्युत्पन्न शून्य है, को अविभाज्य कहा जाता है। जो बहुपद अविभाज्य नहीं हैं, उन्हें वियोज्य कहा जाता है। एक वियोज्य विस्तार एक ऐसा विस्तार है जो वियोज्य तत्वों द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, यानी ऐसे तत्व जिनके न्यूनतम बहुपद वियोज्य होता हैं।

विभाज्य और अविभाज्य बहुपद

एक अघुलनशील बहुपद $f$ में $F [X]$ वियोज्य बहुपद है यदि इसके किसी भी क्षेत्र विस्तार में अलग-अलग जड़ें हों $F$ (अर्थात यदि इसे बीजगणितीय रूप से समापन क्षेत्र पर अलग-अलग रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है $F)$ .^[5] $f$ में $F [X]$ एक अपरिवर्तनीय बहुपद बनता है और $f'$ इसका औपचारिक व्युत्पन्न फिर अपरिवर्तनीय बहुपद के लिए निम्नलिखित समतुल्य स्थितियाँ हैं $f$ अलग करने योग्य होता है :

यदि $E$ का विस्तार है $F$ जिसमें $f$ रैखिक गुणनखंडों का गुणनफल है तो इन गुणनखंडों का कोई भी वर्ग विभाजित नहीं होता है $f$ में $E [X]$ (वह है $f$ वर्ग-मुक्त बहुपद है|वर्ग-मुक्त ओवर $E$ ).^[6]
एक विस्तार उपस्थित है $E$ का $F$ ऐसा है कि $f$ है $deg(f)$ जोड़ीवार अलग-अलग जड़ें $E$ .^[6]* अटल $1$ एक बहुपद का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है $f$ और $f'$ .^[7]
औपचारिक व्युत्पन्न $f'$ का $f$ शून्य बहुपद नहीं होता है.^[8]
या तो की विशेषता $F$ शून्य है, या विशेषता है $p$ , और $f$ रूप का नहीं है $\textstyle \sum _{i=0}^{k}a_{i}X^{pi}.$

चूँकि एक धनात्मक डिग्री बहुपद का औपचारिक व्युत्पन्न तभी शून्य हो सकता है जब क्षेत्र में अभाज्य विशेषता हो, अप्रासंगिक बहुपद को अलग न करने के लिए, इसके गुणांकों को अभाज्य विशेषता के क्षेत्र में होना चाहिए। अत्यधिक सामान्यतः, अपरिवर्तनीय (गैर-शून्य) बहुपद $f$ में $F [X]$ वियोज्य नहीं है, यदि की विशेषता $F$ एक (गैर-शून्य) अभाज्य संख्या है $p$ , और $f (X)= g (X p$ ) कुछ अघुलनशील बहुपद के लिए $g$ में $F [X]$ .^[9] इस गुण के बार-बार प्रयोग से यह पता चलता है कि वास्तव में, $f(X)=g(X^{p^{n}})$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$ और कुछ अलग करने योग्य अघुलनशील बहुपद $g$ में $F [X]$ (कहाँ $F$ को प्रमुख विशेषता p) माना जाता है।^[10]

यदि फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण $x\mapsto x^{p}$ का $F$ विशेषण नहीं है, तत्व है $a\in F$ जो नहीं है $p$ के तत्व की शक्ति $F$ . इस मामले में, बहुपद $X^{p}-a$ अघुलनशील और अविभाज्य है. इसके विपरीत, यदि कोई अविभाज्य अपरिवर्तनीय (गैर-शून्य) बहुपद उपस्थित है $\textstyle f(X)=\sum a_{i}X^{ip}$ में $F [X]$ , फिर फ्रोबेनियस अंतः रूपांतरण $F$ स्वचालितता नहीं हो सकता, क्योंकि, अन्यथा, हमारे पास होता $a_{i}=b_{i}^{p}$ कुछ के लिए $b_{i}$ , और बहुपद $f$ के रूप में कारक होगा