मूल परीक्षण: Difference between revisions
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गणित में, मूल परीक्षण | गणित में, मूल परीक्षण अनंत श्रृंखला की [[अभिसरण श्रृंखला]] (एक [[अभिसरण परीक्षण]]) के लिए मानदंड है। यह मात्रा पर निर्भर करता है | ||
:<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},</math> | :<math>\limsup_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|},</math> | ||
कहाँ <math>a_n</math> श्रृंखला की शर्तें हैं, और बताती हैं कि यदि यह मात्रा | कहाँ <math>a_n</math> श्रृंखला की शर्तें हैं, और बताती हैं कि यदि यह मात्रा से कम है तो श्रृंखला पूरी तरह से परिवर्तित हो जाती है, लेकिन यदि यह से अधिक है तो यह अलग हो जाती है। यह विद्युत शृंखला के संबंध में विशेष रूप से उपयोगी है। | ||
== मूल परीक्षण स्पष्टीकरण == | == मूल परीक्षण स्पष्टीकरण == | ||
[[File:Decision diagram for the root test.svg|thumb|जड़ परीक्षण के लिए निर्णय आरेख]]मूल परीक्षण सबसे पहले [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] द्वारा विकसित किया गया था जिन्होंने इसे अपनी पाठ्यपुस्तक कौर्स डी'एनालिसिस (1821) में प्रकाशित किया था।<ref>{{citation|title=The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass|first=Umberto|last=Bottazzini|publisher=Springer-Verlag|year=1986|isbn=978-0-387-96302-0|pages=[https://archive.org/details/highercalculushi0000bott/page/116 116–117]|url=https://archive.org/details/highercalculushi0000bott/page/116}}. Translated from the Italian by Warren Van Egmond.</ref> इस प्रकार, इसे कभी-कभी कॉची रूट परीक्षण या कॉची रेडिकल परीक्षण के रूप में जाना जाता है। | [[File:Decision diagram for the root test.svg|thumb|जड़ परीक्षण के लिए निर्णय आरेख]]मूल परीक्षण सबसे पहले [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] द्वारा विकसित किया गया था जिन्होंने इसे अपनी पाठ्यपुस्तक कौर्स डी'एनालिसिस (1821) में प्रकाशित किया था।<ref>{{citation|title=The Higher Calculus: A History of Real and Complex Analysis from Euler to Weierstrass|first=Umberto|last=Bottazzini|publisher=Springer-Verlag|year=1986|isbn=978-0-387-96302-0|pages=[https://archive.org/details/highercalculushi0000bott/page/116 116–117]|url=https://archive.org/details/highercalculushi0000bott/page/116}}. Translated from the Italian by Warren Van Egmond.</ref> इस प्रकार, इसे कभी-कभी कॉची रूट परीक्षण या कॉची रेडिकल परीक्षण के रूप में जाना जाता है। श्रृंखला के लिए | ||
:<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> | :<math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> | ||
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:<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-p)^n</math> | :<math>f(z) = \sum_{n=0}^\infty c_n (z-p)^n</math> | ||
जहां गुणांक सी<sub>''n''</sub>, और केंद्र p सम्मिश्र संख्याएँ हैं और तर्क z | जहां गुणांक सी<sub>''n''</sub>, और केंद्र p सम्मिश्र संख्याएँ हैं और तर्क z सम्मिश्र चर है। | ||
फिर इस शृंखला की शर्तें a द्वारा दी जाएंगी<sub>''n''</sub> = सी<sub>''n''</sub>(जेड - पी)<sup>n</sup>. इसके बाद कोई रूट परीक्षण को ए पर लागू करता है<sub>''n''</sub> ऊपरोक्त अनुसार। ध्यान दें कि कभी-कभी इस तरह की श्रृंखला को p के चारों ओर | फिर इस शृंखला की शर्तें a द्वारा दी जाएंगी<sub>''n''</sub> = सी<sub>''n''</sub>(जेड - पी)<sup>n</sup>. इसके बाद कोई रूट परीक्षण को ए पर लागू करता है<sub>''n''</sub> ऊपरोक्त अनुसार। ध्यान दें कि कभी-कभी इस तरह की श्रृंखला को p के चारों ओर शक्ति श्रृंखला कहा जाता है, क्योंकि [[अभिसरण की त्रिज्या]] सबसे बड़े अंतराल या p पर केंद्रित डिस्क की त्रिज्या R होती है, जिससे कि श्रृंखला आंतरिक रूप से सभी बिंदुओं z के लिए अभिसरण हो जाएगी (अभिसरण पर) अंतराल या डिस्क की सीमा को आम तौर पर अलग से जांचना पड़ता है)। ऐसी शक्ति श्रृंखला पर लागू मूल परीक्षण का [[परिणाम]] कॉची-हैडामर्ड प्रमेय है: अभिसरण की त्रिज्या बिल्कुल है <math>1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}},</math> इस बात का ध्यान रखें कि यदि हर 0 है तो हमारा वास्तव में मतलब ∞ है। | ||
== प्रमाण == | == प्रमाण == | ||
एक श्रृंखला Σa के अभिसरण का प्रमाण<sub>''n''</sub> [[प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण]] का | एक श्रृंखला Σa के अभिसरण का प्रमाण<sub>''n''</sub> [[प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण]] का अनुप्रयोग है। यदि सभी n ≥ N (N कुछ निश्चित [[प्राकृतिक संख्या]]) के लिए हमारे पास है <math>\sqrt[n]{|a_n|} \le k < 1</math>, तब <math>|a_n| \le k^n < 1</math>. ज्यामितीय श्रृंखला के बाद से <math>\sum_{n=N}^\infty k^n</math> अभिसरण करता है इसलिए करता है <math>\sum_{n=N}^\infty |a_n|</math> तुलना परीक्षण द्वारा. इसलिए Σa<sub>''n''</sub> बिल्कुल एकाग्र हो जाता है। | ||
अगर <math>\sqrt[n]{|a_n|} > 1</math> अपरिमित रूप से अनेक n के लिए, फिर a<sub>''n''</sub> 0 पर अभिसरण करने में विफल रहता है, इसलिए श्रृंखला अपसारी है। | अगर <math>\sqrt[n]{|a_n|} > 1</math> अपरिमित रूप से अनेक n के लिए, फिर a<sub>''n''</sub> 0 पर अभिसरण करने में विफल रहता है, इसलिए श्रृंखला अपसारी है। | ||
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:<math>R = 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}.</math> | :<math>R = 1/\limsup_{n \rightarrow \infty}{\sqrt[n]{|c_n|}}.</math> | ||
==उदाहरण== | ==उदाहरण== | ||
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यह उदाहरण दिखाता है कि मूल परीक्षण अनुपात परीक्षण से कैसे अधिक मजबूत है। इस श्रृंखला के लिए अनुपात परीक्षण अनिर्णायक है यदि <math>n</math> इसलिए अजीब है <math>a_n=a_{n+1} = .5^n</math> (हालांकि नहीं तो <math>n</math> सम है), क्योंकि | यह उदाहरण दिखाता है कि मूल परीक्षण अनुपात परीक्षण से कैसे अधिक मजबूत है। इस श्रृंखला के लिए अनुपात परीक्षण अनिर्णायक है यदि <math>n</math> इसलिए अजीब है <math>a_n=a_{n+1} = .5^n</math> (हालांकि नहीं तो <math>n</math> सम है), क्योंकि | ||
:: <math>r=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{ 2 \cdot.5^{n}}{2 \cdot.5^{n}}\right| =1. </math> | :: <math>r=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{ 2 \cdot.5^{n}}{2 \cdot.5^{n}}\right| =1. </math> | ||
== रूट परीक्षण पदानुक्रम == | == रूट परीक्षण पदानुक्रम == | ||
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एक श्रृंखला के लिए <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> सकारात्मक शर्तों के साथ हमारे पास अभिसरण/विचलन के लिए निम्नलिखित परीक्षण हैं। | एक श्रृंखला के लिए <math>\sum_{n=1}^\infty a_n</math> सकारात्मक शर्तों के साथ हमारे पास अभिसरण/विचलन के लिए निम्नलिखित परीक्षण हैं। | ||
होने देना <math>K\geq1</math> | होने देना <math>K\geq1</math> पूर्णांक हो, और चलो <math>\ln_{(K)}(x)</math> निरूपित करें <math>K</math>[[प्राकृतिक]] लघुगणक का वां पुनरावृत्ति, अर्थात <math>\ln_{(1)}(x)=\ln (x)</math> और किसी के लिए भी <math>2\leq k\leq K</math>, | ||
<math>\ln_{(k)}(x)=\ln_{(k-1)}(\ln (x))</math>. | <math>\ln_{(k)}(x)=\ln_{(k-1)}(\ln (x))</math>. | ||
Revision as of 12:14, 25 July 2023
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