सतत फलन: Difference between revisions
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(ε, δ) | निरंतरता की एप्सिलॉन-डेल्टा परिभाषा का (ε, δ) रूप पहली बार 1817 में [[बर्नार्ड बोलजानो]] द्वारा दिया गया था। [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] ने <math>y = f(x)</math> की निरंतरता को इस प्रकार परिभाषित किया: स्वतंत्र वेरिएबल x का एक असीम रूप से छोटा वेतन वृद्धि <math>\alpha</math> हमेशा एक असीम रूप से छोटा उत्पन्न करता है आश्रित वेरिएबल y का <math>f(x+\alpha)-f(x)</math> बदलें (उदाहरण देखें, कोर्ट्स डी'एनालिसिस, पृष्ठ 34)। कॉची ने परिवर्तनीय मात्राओं के संदर्भ में असीम रूप से छोटी मात्राओं को परिभाषित किया, और निरंतरता की उनकी परिभाषा आज इस्तेमाल की जाने वाली अनंतिम परिभाषा के समानान्तर है ([[सूक्ष्म निरंतरता]] देखें)। बिंदुवार निरंतरता और एकसमान निरंतरता के बीच औपचारिक परिभाषा और अंतर पहली बार 1830 के दशक में बोलजानो द्वारा दिया गया था, लेकिन काम 1930 के दशक तक प्रकाशित नहीं हुआ था। बोल्ज़ानो की तरह,<ref>{{cite journal |url=http://dml.cz/handle/10338.dmlcz/400352|title=Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes daß zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetzetes Resultat gewähren, wenigstens eine reelle Wurzel der Gleichung liege |year=1817 |last1=Bolzano |first1=Bernard |publisher=Haase|location=Prague}}</ref> [[कार्ल वीयरस्ट्रैस]]<ref>{{Citation | last1=Dugac | first1=Pierre | title=Eléments d'Analyse de Karl Weierstrass | journal=Archive for History of Exact Sciences | year=1973 | volume=10 | issue=1–2 | pages=41–176 | doi=10.1007/bf00343406| s2cid=122843140 }}</ref> ने किसी बिंदु c पर किसी फलन की निरंतरता से मना किया जब तक कि इसे c के दोनों किनारों पर परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन एडौर्ड गौरसैट<ref>{{Citation | last1=Goursat | first1=E. | title=A course in mathematical analysis | publisher=Ginn | location=Boston | year=1904 | page=2}}</ref> ने फलन को केवल सी और [[केमिली जॉर्डन]] के तरफ परिभाषित करने की अनुमति दी।<ref>{{Citation | last1=Jordan | first1=M.C. | title=Cours d'analyse de l'École polytechnique | publisher=Gauthier-Villars | location=Paris | edition=2nd |year=1893 | volume=1|page=46|url={{Google books|h2VKAAAAMAAJ|page=46|plainurl=yes}}}}</ref> इसकी अनुमति दी गई, तथापि फलन केवल c पर परिभाषित किया गया हो। बिंदुवार निरंतरता की वे तीनों गैर-समतुल्य परिभाषाएँ अभी भी उपयोग में हैं।<ref>{{Citation|last1=Harper|first1=J.F.|title=Defining continuity of real functions of real variables|journal=BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics|year=2016|volume=31|issue=3|doi=10.1080/17498430.2015.1116053|pages=1–16|s2cid=123997123}}</ref> [[एडवर्ड हेन]] ने 1872 में समान निरंतरता की पहली प्रकाशित परिभाषा प्रदान की, लेकिन ये विचार 1854 में [[पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट]] द्वारा दिए गए व्याख्यानों पर आधारित थे।<ref>{{citation|last1=Rusnock|first1=P.|last2=Kerr-Lawson|first2=A.|title=Bolzano and uniform continuity|journal=Historia Mathematica|volume=32|year=2005|pages=303–311|issue=3|doi=10.1016/j.hm.2004.11.003|doi-access=free}}</ref> | ||
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===परिभाषा=== | ===परिभाषा=== | ||
[[File:Function-1 x.svg|thumb|कार्यक्रम <math>f(x)=\tfrac 1 x</math> अपने डोमेन पर निरंतर है (<math>\R\setminus \{0\}</math>), लेकिन असंतत (निरंतर नहीं या विलक्षणता (गणित)#वास्तविक विश्लेषण)। <math>x=0</math><ref>{{cite book |last1=Strang |first1=Gilbert |title=गणना|year=1991 |publisher=SIAM|isbn=0961408820 |page=702|url={{Google books|OisInC1zvEMC|page=87|plainurl=yes}}}}</ref>.फिर भी, [[कॉची प्रमुख मूल्य|कॉची प्रमुख मान]] को परिभाषित किया जा सकता है। दूसरी ओर, जटिल विश्लेषण में (<math>\mathbb{C}</math>, विशेष रूप से <math>\widehat{\mathbb{C}}</math>.), इस बिंदु (x=0) को अपरिभाषित नहीं माना जाता है (गणित)#वे मान जिनके लिए फलन अपरिभाषित हैं और इसे विलक्षणता कहा जाता है, क्योंकि जब सोचा जाता है <math>x</math> जटिल | [[File:Function-1 x.svg|thumb|कार्यक्रम <math>f(x)=\tfrac 1 x</math> अपने डोमेन पर निरंतर है (<math>\R\setminus \{0\}</math>), लेकिन असंतत (निरंतर नहीं या विलक्षणता (गणित)#वास्तविक विश्लेषण)। <math>x=0</math><ref>{{cite book |last1=Strang |first1=Gilbert |title=गणना|year=1991 |publisher=SIAM|isbn=0961408820 |page=702|url={{Google books|OisInC1zvEMC|page=87|plainurl=yes}}}}</ref>.फिर भी, [[कॉची प्रमुख मूल्य|कॉची प्रमुख मान]] को परिभाषित किया जा सकता है। दूसरी ओर, जटिल विश्लेषण में (<math>\mathbb{C}</math>, विशेष रूप से <math>\widehat{\mathbb{C}}</math>.), इस बिंदु (x=0) को अपरिभाषित नहीं माना जाता है (गणित)#वे मान जिनके लिए फलन अपरिभाषित हैं और इसे विलक्षणता कहा जाता है, क्योंकि जब सोचा जाता है <math>x</math> जटिल वेरिएबल के रूप में, यह बिंदु [[ध्रुव (जटिल विश्लेषण)]] है, और फिर अधिकतम परिमित प्रमुख भाग वाली [[लॉरेंट श्रृंखला]] को एकवचन बिंदुओं के आसपास परिभाषित किया जा सकता है। इसके अलावा, उदाहरण जैसे फलनों का अध्ययन करने के लिए रीमैन क्षेत्र#तर्कसंगत फलनों का उपयोग अक्सर मॉडल के रूप में किया जाता है।]]वास्तविक फलन, जो कि वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं तक का फलन (गणित) है, को कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में फलन के ग्राफ़ द्वारा दर्शाया जा सकता है; ऐसा फलन निरंतर होता है यदि, मोटे तौर पर कहें तो, ग्राफ़ एकल अखंड [[वक्र]] है जिसका फलन का डोमेन संपूर्ण वास्तविक रेखा है। अधिक गणितीय रूप से कठोर परिभाषा नीचे दी गई है।<ref>{{cite web | url=http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | title=निरंतरता और असंततता| last1=Speck | first1=Jared | year=2014 | page=3 | access-date=2016-09-02 | website=MIT Math | quote=Example 5. The function <math>1/x</math> is continuous on <math>(0, \infty)</math> and on <math>(-\infty, 0),</math> i.e., for <math>x > 0</math> and for <math>x < 0,</math> in other words, at every point in its domain. However, it is not a continuous function since its domain is not an interval. It has a single point of discontinuity, namely <math>x = 0,</math> and it has an infinite discontinuity there. | archive-date=2016-10-06 | archive-url=https://web.archive.org/web/20161006014646/http://math.mit.edu/~jspeck/18.01_Fall%202014/Supplementary%20notes/01c.pdf | url-status=dead }}</ref> | ||
वास्तविक फलनों की निरंतरता को आमतौर पर [[सीमा (गणित)]] के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। समारोह {{math|''f''}} | वास्तविक फलनों की निरंतरता को आमतौर पर [[सीमा (गणित)]] के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। समारोह {{math|''f''}} वेरिएबल के साथ {{mvar|x}} वास्तविक संख्या पर निरंतर है {{mvar|c}}, यदि की सीमा <math>f(x),</math> जैसा {{mvar|x}} आदत है {{mvar|c}}, के बराबर है <math>f(c).</math> | ||
किसी फलन की (वैश्विक) निरंतरता की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, जो किसी फलन के डोमेन की प्रकृति पर निर्भर करती हैं। | किसी फलन की (वैश्विक) निरंतरता की कई अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, जो किसी फलन के डोमेन की प्रकृति पर निर्भर करती हैं। | ||
फलन खुले अंतराल पर निरंतर होता है यदि अंतराल फलन के डोमेन में समाहित होता है, और फलन अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है। फलन जो अंतराल पर निरंतर होता है <math>(-\infty, +\infty)</math> (संपूर्ण वास्तविक रेखा) को अक्सर केवल सतत फलन कहा जाता है; यह भी कहता है कि ऐसा कार्य सर्वत्र निरन्तर होता रहता है। उदाहरण के लिए, सभी बहुपद फलन हर जगह सतत होते हैं। | फलन खुले अंतराल पर निरंतर होता है यदि अंतराल फलन के डोमेन में समाहित होता है, और फलन अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर होता है। फलन जो अंतराल पर निरंतर होता है <math>(-\infty, +\infty)</math> (संपूर्ण वास्तविक रेखा) को अक्सर केवल सतत फलन कहा जाता है; यह भी कहता है कि ऐसा कार्य सर्वत्र निरन्तर होता रहता है। उदाहरण के लिए, सभी बहुपद फलन हर जगह सतत होते हैं। | ||
फलन अर्ध-खुले अंतराल पर निरंतर होता है|अर्ध-खुला या [[बंद अंतराल]] अंतराल, यदि अंतराल फलन के डोमेन में समाहित है, तो फलन अंतराल के प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर निरंतर होता है, और फलन का मान अंतराल से संबंधित प्रत्येक समापन बिंदु पर फलन के मानों की सीमा होती है जब | फलन अर्ध-खुले अंतराल पर निरंतर होता है|अर्ध-खुला या [[बंद अंतराल]] अंतराल, यदि अंतराल फलन के डोमेन में समाहित है, तो फलन अंतराल के प्रत्येक आंतरिक बिंदु पर निरंतर होता है, और फलन का मान अंतराल से संबंधित प्रत्येक समापन बिंदु पर फलन के मानों की सीमा होती है जब वेरिएबल अंतराल के आंतरिक भाग से समापन बिंदु की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, फलन <math>f(x) = \sqrt{x}</math> अपने पूरे डोमेन पर निरंतर है, जो बंद अंतराल है <math>[0,+\infty).</math> | ||
आम तौर पर सामने आने वाले कई फलन आंशिक फलन होते हैं जिनका डोमेन कुछ [[पृथक बिंदु]]ओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं से बनता है। उदाहरण कार्य हैं <math display="inline">x \mapsto \frac {1}{x}</math> और <math>x\mapsto \tan x.</math> जब वे अपने क्षेत्र में निरंतर होते हैं, तो कुछ संदर्भों में कहा जाता है कि वे निरंतर हैं, हालांकि वे हर जगह निरंतर नहीं होते हैं। अन्य संदर्भों में, मुख्य रूप से जब कोई असाधारण बिंदुओं के निकट अपने व्यवहार में रुचि रखता है, तो वह कहता है कि वे असंतत हैं। | आम तौर पर सामने आने वाले कई फलन आंशिक फलन होते हैं जिनका डोमेन कुछ [[पृथक बिंदु]]ओं को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं से बनता है। उदाहरण कार्य हैं <math display="inline">x \mapsto \frac {1}{x}</math> और <math>x\mapsto \tan x.</math> जब वे अपने क्षेत्र में निरंतर होते हैं, तो कुछ संदर्भों में कहा जाता है कि वे निरंतर हैं, हालांकि वे हर जगह निरंतर नहीं होते हैं। अन्य संदर्भों में, मुख्य रूप से जब कोई असाधारण बिंदुओं के निकट अपने व्यवहार में रुचि रखता है, तो वह कहता है कि वे असंतत हैं। | ||
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[[कॉची]] ने किसी फलन की निरंतरता को निम्नलिखित सहज शब्दों में परिभाषित किया है: स्वतंत्र | [[कॉची]] ने किसी फलन की निरंतरता को निम्नलिखित सहज शब्दों में परिभाषित किया है: स्वतंत्र वेरिएबल में अतिसूक्ष्म परिवर्तन, आश्रित वेरिएबल के अतिसूक्ष्म परिवर्तन से मेल खाता है (देखें कौर्स डी'एनालिसिस, पृष्ठ 34)। गैर-मानक विश्लेषण इसे गणितीय रूप से कठोर बनाने का तरीका है। वास्तविक रेखा को अनंत और अतिसूक्ष्म संख्याओं को जोड़कर अतिवास्तविक संख्याएँ बनाने के लिए संवर्धित किया जाता है। गैरमानक विश्लेषण में, निरंतरता को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। | ||
{{block indent|em=1.5|text=A real-valued function {{math|''f''}} is continuous at {{mvar|x}} if its natural extension to the hyperreals has the property that for all infinitesimal {{math|''dx''}}, <math>f(x + dx) - f(x)</math> is infinitesimal<ref>{{cite web| url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html |title=Elementary Calculus|work=wisc.edu}}</ref>}} | {{block indent|em=1.5|text=A real-valued function {{math|''f''}} is continuous at {{mvar|x}} if its natural extension to the hyperreals has the property that for all infinitesimal {{math|''dx''}}, <math>f(x + dx) - f(x)</math> is infinitesimal<ref>{{cite web| url=http://www.math.wisc.edu/~keisler/calc.html |title=Elementary Calculus|work=wisc.edu}}</ref>}} | ||
(सूक्ष्म निरंतरता देखें)। दूसरे शब्दों में, स्वतंत्र | (सूक्ष्म निरंतरता देखें)। दूसरे शब्दों में, स्वतंत्र वेरिएबल की अतिसूक्ष्म वृद्धि हमेशा आश्रित वेरिएबल में अतिसूक्ष्म परिवर्तन उत्पन्न करती है, जो ऑगस्टिन-लुई कॉची की निरंतरता की परिभाषा को आधुनिक अभिव्यक्ति देती है। | ||
===निरंतर फलनों का निर्माण=== | ===निरंतर फलनों का निर्माण=== | ||
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ऐसे फलनों की सीमा | ऐसे फलनों की सीमा | ||
<math display="block">f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)</math> | <math display="block">f(x) := \lim_{n \to \infty} f_n(x)</math> | ||
सभी के लिए मौजूद है <math>x \in D,</math>, परिणामी फलन <math>f(x)</math> फलनों के अनुक्रम के [[बिंदुवार अभिसरण]] के रूप में जाना जाता है <math>\left(f_n\right)_{n \in N}.</math> बिंदुवार सीमा फलन को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है, | सभी के लिए मौजूद है <math>x \in D,</math>, परिणामी फलन <math>f(x)</math> फलनों के अनुक्रम के [[बिंदुवार अभिसरण]] के रूप में जाना जाता है <math>\left(f_n\right)_{n \in N}.</math> बिंदुवार सीमा फलन को निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है, तथापि सभी फलन हों <math>f_n</math> निरंतर हैं, जैसा कि दाईं ओर का एनीमेशन दिखाता है। हालाँकि, यदि सभी कार्य हों तो f सतत है <math>f_n</math> [[[[एकसमान अभिसरण]] प्रमेय]] द्वारा निरंतर और अनुक्रम एकसमान अभिसरण हैं। इस प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि घातांकीय फलन, लघुगणक, [[वर्गमूल]] फलन और [[त्रिकोणमितीय फलन]] निरंतर हैं। | ||
===दिशात्मक और अर्ध-निरंतरता=== | ===दिशात्मक और अर्ध-निरंतरता=== | ||
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विस्तार से, समारोह <math>f : X \to Y</math> [[अनुक्रमिक निरंतरता]] है यदि जब भी कोई अनुक्रम हो <math>\left(x_n\right)</math> में <math>X</math> सीमा तक एकत्रित हो जाता है <math>x,</math> क्रम <math>\left(f\left(x_n\right)\right)</math> में एकत्रित हो जाता है <math>f(x).</math> इस प्रकार क्रमिक रूप से निरंतर कार्य अनुक्रमिक सीमाओं को संरक्षित करते हैं। प्रत्येक सतत कार्य क्रमिक रूप से निरंतर होता है। अगर <math>X</math> प्रथम-गणनीय स्थान है और गणनीय विकल्प का अभिगृहीत धारण करता है, फिर इसका व्युत्क्रम भी धारण करता है: अनुक्रमिक सीमाओं को संरक्षित करने वाला कोई भी कार्य निरंतर होता है। विशेषकर, यदि <math>X</math> मीट्रिक स्थान है, अनुक्रमिक निरंतरता और निरंतरता समतुल्य हैं। गैर-प्रथम-गणनीय स्थानों के लिए, अनुक्रमिक निरंतरता निरंतरता की तुलना में सख्ती से कमजोर हो सकती है। (वे स्थान जिनके लिए दो गुण समतुल्य हैं, [[अनुक्रमिक स्थान]] कहलाते हैं।) यह सामान्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान में अनुक्रमों के बजाय नेट पर विचार करने को प्रेरित करता है। निरंतर कार्य नेट की सीमाओं को संरक्षित करते हैं, और वास्तव में यह गुण निरंतर फलनों की विशेषता बताता है। | विस्तार से, समारोह <math>f : X \to Y</math> [[अनुक्रमिक निरंतरता]] है यदि जब भी कोई अनुक्रम हो <math>\left(x_n\right)</math> में <math>X</math> सीमा तक एकत्रित हो जाता है <math>x,</math> क्रम <math>\left(f\left(x_n\right)\right)</math> में एकत्रित हो जाता है <math>f(x).</math> इस प्रकार क्रमिक रूप से निरंतर कार्य अनुक्रमिक सीमाओं को संरक्षित करते हैं। प्रत्येक सतत कार्य क्रमिक रूप से निरंतर होता है। अगर <math>X</math> प्रथम-गणनीय स्थान है और गणनीय विकल्प का अभिगृहीत धारण करता है, फिर इसका व्युत्क्रम भी धारण करता है: अनुक्रमिक सीमाओं को संरक्षित करने वाला कोई भी कार्य निरंतर होता है। विशेषकर, यदि <math>X</math> मीट्रिक स्थान है, अनुक्रमिक निरंतरता और निरंतरता समतुल्य हैं। गैर-प्रथम-गणनीय स्थानों के लिए, अनुक्रमिक निरंतरता निरंतरता की तुलना में सख्ती से कमजोर हो सकती है। (वे स्थान जिनके लिए दो गुण समतुल्य हैं, [[अनुक्रमिक स्थान]] कहलाते हैं।) यह सामान्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान में अनुक्रमों के बजाय नेट पर विचार करने को प्रेरित करता है। निरंतर कार्य नेट की सीमाओं को संरक्षित करते हैं, और वास्तव में यह गुण निरंतर फलनों की विशेषता बताता है। | ||
उदाहरण के लिए, वास्तविक | उदाहरण के लिए, वास्तविक वेरिएबल के वास्तविक-मानवान फलनों के मामले पर विचार करें:<ref>{{cite book |title=यूक्लिडियन अंतरिक्ष में कैलकुलस और विश्लेषण|edition=illustrated |first1=Jerry |last1=Shurman |publisher=Springer |year=2016 |isbn=978-3-319-49314-5 |pages=271–272 |url=https://books.google.com/books?id=wTmgDQAAQBAJ}}</ref> | ||
{{math theorem|name=Theorem|note=|style=|math_statement=A function <math>f : A \subseteq \R \to \R</math> is continuous at <math>x_0</math> if and only if it is [[sequentially continuous]] at that point. | {{math theorem|name=Theorem|note=|style=|math_statement=A function <math>f : A \subseteq \R \to \R</math> is continuous at <math>x_0</math> if and only if it is [[sequentially continuous]] at that point. | ||
Revision as of 21:22, 13 July 2023
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गणित में, सतत फलन ऐसा फलन (गणित) होता है, जिसमें किसी फलन के तर्क का निरंतर परिवर्तन (अर्थात् बिना छलांग के परिवर्तन) फलन के