लाप्लास ऑपरेटर: Difference between revisions
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तीन आयामों में, विभिन्न समन्वय प्रणालियों में लाप्लासियन के साथ काम करना | |||
तीन आयामों में, विभिन्न समन्वय प्रणालियों में लाप्लासियन के साथ काम करना साधारण है। | |||
कार्तीय निर्देशांक में, | कार्तीय निर्देशांक में, | ||
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<math display="block">\Delta f = \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (r f) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2},</math> | <math display="block">\Delta f = \frac{1}{r} \frac{\partial^2}{\partial r^2} (r f) + \frac{1}{r^2 \sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left(\sin \theta \frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^2 \sin^2 \theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2},</math> | ||
जहां {{math|''φ''}} | जहां {{math|''φ''}} दिगंशीय कोण और {{math|''θ''}} आंचल कोण कोण या सह-अक्षांश का प्रतिनिधित्व करता है सामान्य घुमावदार निर्देशांक में ({{math|''ξ''<sup>1</sup>, ''ξ''<sup>2</sup>, ''ξ''<sup>3</sup>}}): | ||
<math display="block">\Delta = \nabla \xi^m \cdot \nabla \xi^n \frac{\partial^2}{\partial \xi^m \, \partial \xi^n} + \nabla^2 \xi^m \frac{\partial}{\partial \xi^m } = g^{mn} \left(\frac{\partial^2}{\partial\xi^m \, \partial\xi^n} - \Gamma^{l}_{mn}\frac{\partial}{\partial\xi^l} \right),</math> | <math display="block">\Delta = \nabla \xi^m \cdot \nabla \xi^n \frac{\partial^2}{\partial \xi^m \, \partial \xi^n} + \nabla^2 \xi^m \frac{\partial}{\partial \xi^m } = g^{mn} \left(\frac{\partial^2}{\partial\xi^m \, \partial\xi^n} - \Gamma^{l}_{mn}\frac{\partial}{\partial\xi^l} \right),</math> | ||
जहां आइंस्टीन सम्मेलन सम्मेलन, | जहां आइंस्टीन सम्मेलन सम्मेलन, | ||
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जब भी ρ घूर्णन होता है, और इसी तरह: | जब भी ρ घूर्णन होता है, और इसी तरह: | ||
<math display="block">\Delta (f\circ\tau) =(\Delta f)\circ \tau</math> | <math display="block">\Delta (f\circ\tau) =(\Delta f)\circ \tau</math> | ||
जब भी τ अनुवाद है। (अधिक | जब भी τ अनुवाद है। (अधिक साधारण तौर पर, यह सच रहता है जब ρ प्रतिबिंब (गणित) जैसे ओर्थोगोनल परिवर्तन होता है।) | ||
वास्तव में, सभी स्केलर रेखीय अंतर ऑपरेटरों का बीजगणित, निरंतर गुणांक के साथ, जो सभी यूक्लिडियन परिवर्तनों के साथ यात्रा करता है, लाप्लास ऑपरेटर द्वारा उत्पन्न बहुपद बीजगणित है। | वास्तव में, सभी स्केलर रेखीय अंतर ऑपरेटरों का बीजगणित, निरंतर गुणांक के साथ, जो सभी यूक्लिडियन परिवर्तनों के साथ यात्रा करता है, लाप्लास ऑपरेटर द्वारा उत्पन्न बहुपद बीजगणित है। | ||
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इसे हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के रूप में जाना जाता है। | इसे हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण के रूप में जाना जाता है। | ||
यदि {{math|Ω}} में परिबद्ध डोमेन है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, तब लाप्लासियन के ईजेनफंक्शन हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए अलौकिक आधार हैं {{math|[[Lp space|''L''<sup>2</sup>(Ω)]]}}. यह परिणाम अनिवार्य रूप से कॉम्पैक्ट ऑपरेटर स्व-आसन्न ऑपरेटरों पर वर्णक्रमीय प्रमेय से अनुसरण करता है, जो लाप्लासियन के व्युत्क्रम पर लागू होता है (जो कॉम्पैक्ट है, पॉइंकेयर असमानता और रेलीच-कोंड्राचोव प्रमेय द्वारा)।<ref>{{harvnb|Gilbarg|Trudinger|2001|loc=Theorem 8.6}}</ref> यह भी दिखाया जा सकता है कि eigenfunctions असीम रूप से अलग-अलग कार्य हैं।<ref>{{harvnb|Gilbarg|Trudinger|2001|loc=Corollary 8.11}}</ref> | यदि {{math|Ω}} में परिबद्ध डोमेन है {{math|'''R'''<sup>''n''</sup>}}, तब लाप्लासियन के ईजेनफंक्शन हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए अलौकिक आधार हैं {{math|[[Lp space|''L''<sup>2</sup>(Ω)]]}}. यह परिणाम अनिवार्य रूप से कॉम्पैक्ट ऑपरेटर स्व-आसन्न ऑपरेटरों पर वर्णक्रमीय प्रमेय से अनुसरण करता है, जो लाप्लासियन के व्युत्क्रम पर लागू होता है (जो कॉम्पैक्ट है, पॉइंकेयर असमानता और रेलीच-कोंड्राचोव प्रमेय द्वारा)।<ref>{{harvnb|Gilbarg|Trudinger|2001|loc=Theorem 8.6}}</ref> यह भी दिखाया जा सकता है कि eigenfunctions असीम रूप से अलग-अलग कार्य हैं।<ref>{{harvnb|Gilbarg|Trudinger|2001|loc=Corollary 8.11}}</ref> साधारण तौर पर, ये परिणाम लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के लिए सीमा के साथ किसी भी कॉम्पैक्ट रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर, या वास्तव में किसी भी अण्डाकार ऑपरेटर की डिरिचलेट ईजेनवेल्यू समस्या के लिए सीमित डोमेन पर चिकनी गुणांक के साथ होते हैं। कब {{math|Ω}} एन-क्षेत्र है|{{mvar|n}}-स्फीयर, लाप्लासियन के ईजेनफंक्शन गोलाकार हार्मोनिक्स हैं। | ||
== वेक्टर लाप्लासियन == | == वेक्टर लाप्लासियन == | ||
Revision as of 10:22, 17 May 2023
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
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गणित में, लाप्लास ऑपरेटर या लाप्लासियन अवकल संकारक है जो यूक्लिडियन स्थान पर एक अदिश फलन के प्रवणता के विचलन द्वारा दिया जाता है। यह सामान्यतः प्रतीकों , (जहां डेल है), या द्वारा दर्शाया जाता है। कार्तीय समन्वय प्रणाली में, लाप्लासियन को प्रत्येक स्वतंत्र चर के संबंध में फलन के दूसरे आंशिक व्युत्पन्न के योग द्वारा दिया जाता है। अन्य समन्वय प्रणालियों में, जैसे कि बेलनाकार निर्देशांक और गोलाकार निर्देशांक, लाप्लासियन का भी उपयोगी रूप है। अनौपचारिक रूप से, लाप्लासियन Δf (p) फलन का f बिंदु पर p के औसत मूल्य से मापता है f छोटे गोले या गेंदों पर केंद्रित p से विचलित f (p) होता है ।
लाप्लास ऑपरेटर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे-साइमन डी लाप्लास (1749-1827) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार आकाशीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए ऑपरेटर को लागू किया था। किसी दिए गए द्रव्यमान घनत्व वितरण के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षमता का लाप्लासियन निरंतर गुणक है। वह घनत्व वितरण लाप्लास के समीकरण के समाधान Δf = 0 हार्मोनिक फलन कहलाते हैं और निर्वात के क्षेत्रों में संभावित गुरुत्वाकर्षण क्षमता का प्रतिनिधित्व करते हैं।
लाप्लासियन भौतिक घटनाओं का वर्णन करने वाले कई अंतर समीकरणों में होता है। प्वासों का समीकरण विद्युत क्षमता और गुरुत्वाकर्षण क्षमता का वर्णन करता है ।प्रसार समीकरण ऊष्मा समीकरण और द्रव यांत्रिकी का वर्णन करता है, तरंग समीकरण तरंग समीकरण का वर्णन करता है और क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर समीकरण। मूर्ति प्रोद्योगिकी और कंप्यूटर विज़न में, लाप्लासियन ऑपरेटर का उपयोग विभिन्न कार्यों के लिए किया गया है, जैसे बूँद का पता लगाना और किनारे का पता लगाना। लाप्लासियन सबसे सरल अण्डाकार संचालिका है और हॉज सिद्धांत के साथ-साथ डी रम कोहोलॉजी के परिणामों के मूल में है।
परिभाषा
लाप्लास संचालिका द्वितीय-क्रम अवकल समीकरण है। n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में द्वितीय-क्रम अवकल संचालिका है, जिसे अपसरण () के रूप में प्रवणता का () परिभाषित किया गया है . इस प्रकार यदि व्युत्पन्न दो बार-विभेदक वास्तविक-मूल्यवान फलन है, फिर का लाप्लासियन द्वारा परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान कार्य है।
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जहां बाद की सूचनाएं औपचारिक रूप से लिखने से प्राप्त होती हैं।