लाप्लास ऑपरेटर: Difference between revisions
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गणित में, लाप्लास ऑपरेटर या लाप्लासियन यूक्लिडियन | गणित में, लाप्लास ऑपरेटर या लाप्लासियन अवकल संकारक है जो यूक्लिडियन स्थान पर एक अदिश फलन के प्रवणता के विचलन द्वारा दिया जाता है। यह सामान्यतः प्रतीकों <math>\nabla\cdot\nabla</math>, <math>\nabla^2</math> (जहां <math>\nabla</math> डेल है), या <math>\Delta</math> द्वारा दर्शाया जाता है। कार्तीय समन्वय प्रणाली में, लाप्लासियन को प्रत्येक स्वतंत्र चर के संबंध में फ़ंक्शन के दूसरे आंशिक व्युत्पन्न के योग द्वारा दिया जाता है। अन्य समन्वय प्रणालियों में, जैसे कि बेलनाकार निर्देशांक और गोलाकार निर्देशांक, लाप्लासियन का भी उपयोगी रूप है। अनौपचारिक रूप से, लाप्लासियन {{math|Δ''f'' (''p'')}} फलन का {{math|''f''}} बिंदु पर {{math|''p''}} के औसत मूल्य से मापता है {{math|''f''}} छोटे गोले या गेंदों पर केंद्रित {{math|''p''}} से विचलित {{math|''f'' (''p'')}} होता है । | ||
लाप्लास ऑपरेटर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे-साइमन डी लाप्लास (1749-1827) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार आकाशीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए ऑपरेटर को लागू किया था: किसी दिए गए द्रव्यमान घनत्व वितरण के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षमता का लाप्लासियन निरंतर गुणक है। वह घनत्व वितरण। लाप्लास के समीकरण के समाधान {{math|1=Δ''f'' = 0}} हार्मोनिक फ़ंक्शन कहलाते हैं और निर्वात के क्षेत्रों में संभावित गुरुत्वाकर्षण क्षमता का प्रतिनिधित्व करते हैं। | लाप्लास ऑपरेटर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे-साइमन डी लाप्लास (1749-1827) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार आकाशीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए ऑपरेटर को लागू किया था: किसी दिए गए द्रव्यमान घनत्व वितरण के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षमता का लाप्लासियन निरंतर गुणक है। वह घनत्व वितरण। लाप्लास के समीकरण के समाधान {{math|1=Δ''f'' = 0}} हार्मोनिक फ़ंक्शन कहलाते हैं और निर्वात के क्षेत्रों में संभावित गुरुत्वाकर्षण क्षमता का प्रतिनिधित्व करते हैं। | ||
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जहां बाद की सूचनाएं औपचारिक रूप से लिखने से प्राप्त होती हैं: | जहां बाद की सूचनाएं औपचारिक रूप से लिखने से प्राप्त होती हैं: | ||
<math display="block">\nabla = \left ( \frac{\partial }{\partial x_1} , \ldots , \frac{\partial }{\partial x_n} \right ).</math> | <math display="block">\nabla = \left ( \frac{\partial }{\partial x_1} , \ldots , \frac{\partial }{\partial x_n} \right ).</math> | ||
स्पष्ट रूप से, के लाप्लासियन {{math|''f''}} इस प्रकार कार्तीय निर्देशांक में सभी अमिश्रित दूसरे आंशिक | स्पष्ट रूप से, के लाप्लासियन {{math|''f''}} इस प्रकार कार्तीय निर्देशांक में सभी अमिश्रित दूसरे आंशिक व्युत्पन्न का योग है {{math|''x<sub>i</sub>''}}: | ||
{{NumBlk||<math display="block">\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}</math>|{{EqRef|2}}}} | {{NumBlk||<math display="block">\Delta f = \sum_{i=1}^n \frac {\partial^2 f}{\partial x^2_i}</math>|{{EqRef|2}}}} | ||
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भौतिकी में दिखने वाले लाप्लासियन के लिए और प्रेरणा यह है कि इसका समाधान {{math|1=Δ''f'' = 0}} क्षेत्र में {{math|''U''}} ऐसे कार्य हैं जो डिरिचलेट ऊर्जा को कार्यात्मक (गणित) स्थिर बिंदु बनाते हैं: | भौतिकी में दिखने वाले लाप्लासियन के लिए और प्रेरणा यह है कि इसका समाधान {{math|1=Δ''f'' = 0}} क्षेत्र में {{math|''U''}} ऐसे कार्य हैं जो डिरिचलेट ऊर्जा को कार्यात्मक (गणित) स्थिर बिंदु बनाते हैं: | ||
<math display="block"> E(f) = \frac{1}{2} \int_U \lVert \nabla f \rVert^2 \,dx.</math> | <math display="block"> E(f) = \frac{1}{2} \int_U \lVert \nabla f \rVert^2 \,dx.</math> | ||
इसे देखने के लिए, मान लीजिए {{math|''f'' : ''U'' → '''R'''}} | इसे देखने के लिए, मान लीजिए {{math|''f'' : ''U'' → '''R'''}} फलन है, और {{math|''u'' : ''U'' → '''R'''}} ऐसा कार्य है जो की सीमा पर गायब हो जाता है {{mvar|U}}. फिर: | ||
<math display="block">\left. \frac{d}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} E(f+\varepsilon u) = \int_U \nabla f \cdot \nabla u \, dx = -\int_U u \, \Delta f\, dx </math> | <math display="block">\left. \frac{d}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} E(f+\varepsilon u) = \int_U \nabla f \cdot \nabla u \, dx = -\int_U u \, \Delta f\, dx </math> | ||
जहां अंतिम समानता ग्रीन की पहली पहचान का उपयोग करती है। यह गणना दर्शाती है कि यदि {{math|1=Δ''f'' = 0}}, तब {{math|''E''}} चारों ओर स्थिर है {{math|''f''}}. इसके विपरीत यदि {{math|''E''}} चारों ओर स्थिर है {{math|''f''}}, तब {{math|1=Δ''f'' = 0}} विविधताओं की कलन की मौलिक लेम्मा द्वारा। | जहां अंतिम समानता ग्रीन की पहली पहचान का उपयोग करती है। यह गणना दर्शाती है कि यदि {{math|1=Δ''f'' = 0}}, तब {{math|''E''}} चारों ओर स्थिर है {{math|''f''}}. इसके विपरीत यदि {{math|''E''}} चारों ओर स्थिर है {{math|''f''}}, तब {{math|1=Δ''f'' = 0}} विविधताओं की कलन की मौलिक लेम्मा द्वारा। | ||
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गोलाकार निर्देशांक में {{mvar|N}} आयाम, parametrization के साथ {{math|1=''x'' = ''rθ'' ∈ '''R'''<sup>''N''</sup>}} साथ {{mvar|r}} सकारात्मक वास्तविक त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करना और {{mvar|θ}} इकाई क्षेत्र का तत्व {{math|[[N sphere|''S''<sup>''N''−1</sup>]]}}, | गोलाकार निर्देशांक में {{mvar|N}} आयाम, parametrization के साथ {{math|1=''x'' = ''rθ'' ∈ '''R'''<sup>''N''</sup>}} साथ {{mvar|r}} सकारात्मक वास्तविक त्रिज्या का प्रतिनिधित्व करना और {{mvar|θ}} इकाई क्षेत्र का तत्व {{math|[[N sphere|''S''<sup>''N''−1</sup>]]}}, | ||
<math display="block"> \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f</math> | <math display="block"> \Delta f = \frac{\partial^2 f}{\partial r^2} + \frac{N-1}{r} \frac{\partial f}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \Delta_{S^{N-1}} f</math> | ||
कहां {{math|Δ<sub>''S''<sup>''N''−1</sup></sub>}} लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर है {{math|(''N'' − 1)}}-गोला, गोलाकार लाप्लासियन के रूप में जाना जाता है। दो रेडियल | कहां {{math|Δ<sub>''S''<sup>''N''−1</sup></sub>}} लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर है {{math|(''N'' − 1)}}-गोला, गोलाकार लाप्लासियन के रूप में जाना जाता है। दो रेडियल व्युत्पन्न शब्दों को समान रूप से फिर से लिखा जा सकता है: | ||
<math display="block">\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \right).</math> | <math display="block">\frac{1}{r^{N-1}} \frac{\partial}{\partial r} \left(r^{N-1} \frac{\partial f}{\partial r} \right).</math> | ||
परिणाम के रूप में, पर परिभाषित | परिणाम के रूप में, पर परिभाषित फलन के गोलाकार लाप्लासियन {{math|''S''<sup>''N''−1</sup> ⊂ '''R'''<sup>''N''</sup>}} तक विस्तारित फ़ंक्शन के सामान्य लाप्लासियन के रूप में गणना की जा सकती है {{math|'''R'''<sup>''N''</sup>∖{0}<nowiki/>}} ताकि यह किरणों के साथ स्थिर हो, यानी डिग्री शून्य का सजातीय कार्य। | ||
== यूक्लिडियन आक्रमण == | == यूक्लिडियन आक्रमण == | ||
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लाप्लास ऑपरेटर का अन्य सामान्यीकरण जो छद्म-रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स पर उपलब्ध है, बाहरी व्युत्पन्न का उपयोग करता है, जिसके संदर्भ में जियोमीटर के लाप्लासियन को व्यक्त किया जाता है | लाप्लास ऑपरेटर का अन्य सामान्यीकरण जो छद्म-रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स पर उपलब्ध है, बाहरी व्युत्पन्न का उपयोग करता है, जिसके संदर्भ में जियोमीटर के लाप्लासियन को व्यक्त किया जाता है | ||
<math display="block"> \Delta f = \delta d f .</math> | <math display="block"> \Delta f = \delta d f .</math> | ||
यहां {{mvar|δ}} कोडिफ़रेंशियल है, जिसे हॉज स्टार ऑपरेटर और बाहरी | यहां {{mvar|δ}} कोडिफ़रेंशियल है, जिसे हॉज स्टार ऑपरेटर और बाहरी व्युत्पन्न के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। यह ऑपरेटर ऊपर परिभाषित विश्लेषक के लाप्लासियन से संकेत में भिन्न है। अधिक सामान्यतः, हॉज लाप्लासियन को विभेदक रूपों पर परिभाषित किया गया है {{mvar|α}} द्वारा | ||
<math display="block">\Delta \alpha = \delta d \alpha + d \delta \alpha .</math> | <math display="block">\Delta \alpha = \delta d \alpha + d \delta \alpha .</math> | ||
इसे लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर#लाप्लास-डी_रहम_ऑपरेटर|लाप्लास-डी राम ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है, जो वीटजेनबॉक पहचान द्वारा लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर से संबंधित है। | इसे लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर#लाप्लास-डी_रहम_ऑपरेटर|लाप्लास-डी राम ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है, जो वीटजेनबॉक पहचान द्वारा लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर से संबंधित है। | ||
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यह लैपलेस ऑपरेटर का सामान्यीकरण इस अर्थ में है कि यह अंतर ऑपरेटर है जो अंतर्निहित स्थान के आइसोमेट्री समूह के तहत अपरिवर्तनीय है और समय-स्वतंत्र कार्यों तक सीमित होने पर यह लैपलेस ऑपरेटर को कम कर देता है। यहां मीट्रिक का समग्र चिह्न इस प्रकार चुना जाता है कि ऑपरेटर के स्थानिक भाग नकारात्मक संकेत स्वीकार करते हैं, जो उच्च-ऊर्जा कण भौतिकी में सामान्य सम्मेलन है। D'Alembert ऑपरेटर को वेव ऑपरेटर के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि यह वेव समीकरणों में दिखाई देने वाला डिफरेंशियल ऑपरेटर है, और यह क्लेन-गॉर्डन समीकरण का भी हिस्सा है, जो द्रव्यमान रहित मामले में वेव समीकरण को कम करता है। | यह लैपलेस ऑपरेटर का सामान्यीकरण इस अर्थ में है कि यह अंतर ऑपरेटर है जो अंतर्निहित स्थान के आइसोमेट्री समूह के तहत अपरिवर्तनीय है और समय-स्वतंत्र कार्यों तक सीमित होने पर यह लैपलेस ऑपरेटर को कम कर देता है। यहां मीट्रिक का समग्र चिह्न इस प्रकार चुना जाता है कि ऑपरेटर के स्थानिक भाग नकारात्मक संकेत स्वीकार करते हैं, जो उच्च-ऊर्जा कण भौतिकी में सामान्य सम्मेलन है। D'Alembert ऑपरेटर को वेव ऑपरेटर के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि यह वेव समीकरणों में दिखाई देने वाला डिफरेंशियल ऑपरेटर है, और यह क्लेन-गॉर्डन समीकरण का भी हिस्सा है, जो द्रव्यमान रहित मामले में वेव समीकरण को कम करता है। | ||
का अतिरिक्त कारक {{math|''c''}} भौतिकी में मीट्रिक की आवश्यकता होती है यदि स्थान और समय को विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है; समान कारक की आवश्यकता होगी यदि, उदाहरण के लिए, {{mvar|x}} दिशा मीटर में मापी गई जबकि {{mvar|y}} दिशा सेंटीमीटर में मापी गई। दरअसल, सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी | का अतिरिक्त कारक {{math|''c''}} भौतिकी में मीट्रिक की आवश्यकता होती है यदि स्थान और समय को विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है; समान कारक की आवश्यकता होगी यदि, उदाहरण के लिए, {{mvar|x}} दिशा मीटर में मापी गई जबकि {{mvar|y}} दिशा सेंटीमीटर में मापी गई। दरअसल, सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी सामान्यतः ऐसी इकाइयों में काम करते हैं {{math|1=[[Natural units|''c'' = 1]]}} समीकरण को सरल बनाने के लिए। | ||
डी'अलेम्बर्ट ऑपरेटर छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स पर हाइपरबोलिक ऑपरेटर के लिए सामान्यीकृत करता है। | डी'अलेम्बर्ट ऑपरेटर छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स पर हाइपरबोलिक ऑपरेटर के लिए सामान्यीकृत करता है। | ||
Revision as of 09:46, 17 May 2023
| के बारे में लेखों की एक श्रृंखला का हिस्सा |
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गणित में, लाप्लास ऑपरेटर या लाप्लासियन अवकल संकारक है जो यूक्लिडियन स्थान पर एक अदिश फलन के प्रवणता के विचलन द्वारा दिया जाता है। यह सामान्यतः प्रतीकों , (जहां डेल है), या द्वारा दर्शाया जाता है। कार्तीय समन्वय प्रणाली में, लाप्लासियन को प्रत्येक स्वतंत्र चर के संबंध में फ़ंक्शन के दूसरे आंशिक व्युत्पन्न के योग द्वारा दिया जाता है। अन्य समन्वय प्रणालियों में, जैसे कि बेलनाकार निर्देशांक और गोलाकार निर्देशांक, लाप्लासियन का भी उपयोगी रूप है। अनौपचारिक रूप से, लाप्लासियन Δf (p) फलन का f बिंदु पर p के औसत मूल्य से मापता है f छोटे गोले या गेंदों पर केंद्रित p से विचलित f (p) होता है ।
लाप्लास ऑपरेटर का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ पियरे-साइमन डी लाप्लास (1749-1827) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार आकाशीय यांत्रिकी के अध्ययन के लिए ऑपरेटर को लागू किया था: किसी दिए गए द्रव्यमान घनत्व वितरण के कारण गुरुत्वाकर्षण क्षमता का लाप्लासियन निरंतर गुणक है। वह घनत्व वितरण। लाप्लास के समीकरण के समाधान Δf = 0 हार्मोनिक फ़ंक्शन कहलाते हैं और निर्वात के क्षेत्रों में संभावित गुरुत्वाकर्षण क्षमता का प्रतिनिधित्व करते हैं।
लाप्लासियन भौतिक घटनाओं का वर्णन करने वाले कई अंतर समीकरणों में होता है। प्वासों का समीकरण विद्युत क्षमता और गुरुत्वाकर्षण क्षमता का वर्णन करता है; प्रसार समीकरण ऊष्मा समीकरण और द्रव यांत्रिकी का वर्णन करता है, तरंग समीकरण तरंग समीकरण का वर्णन करता है, और क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर समीकरण। इमेज प्रोसेसिंग और कंप्यूटर विज़न में, लाप्लासियन ऑपरेटर का उपयोग विभिन्न कार्यों के लिए किया गया है, जैसे ब्लॉब डिटेक्शन और एज डिटेक्शन। लाप्लासियन सबसे सरल अण्डाकार संचालिका है और हॉज सिद्धांत के साथ-साथ डी रम कोहोलॉजी के परिणामों के मूल में है।