जनक फलन: Difference between revisions

औपचा'''रिक श्रृंखला के लिए परिभाषित''' संचालन से जुड़े कुछ अभिव्यक्ति द्वारा उत्पन्न कार्यों को प्रायः बंद-रूप अभिव्यक्ति (श्रृंखला के स्थान पर) में व्यक्त किया जाता है। इन भावों को अनिश्चित के संदर्भ में {{mvar|x}} के संबंध में अंकगणितीय संचालन, भेदभाव सम्मिलित हो सकता है{{mvar|x}} और संरचना के साथ (यानी, प्रतिस्थापन) अन्य जनक फलन; चूंकि इन कार्यों को कार्यों के लिए भी परिभाषित किया गया है, परिणाम एक कार्य की तरह दिखता है{{mvar|x}}. वस्तुतः, बंद रूप की अभिव्यक्ति को प्रायः एक ऐसे फलन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जिसका मूल्यांकन (पर्याप्त रूप से छोटे) ठोस मूल्यों पर किया जा सकता है {{mvar|x}}, और जिसकी [[श्रृंखला विस्तार]] के रूप में औपचारिक श्रृंखला है; यह पदनाम जनक फलनों की व्याख्या करता है। हालाँकि, इस तरह की व्याख्या संभव नहीं है, क्योंकि एक गैर-संख्यात्मक मान के लिए प्रतिस्थापित किए जाने पर अभिसारी श्रृंखला देने के लिए औपचारिक श्रृंखला की आवश्यकता नहीं होती है।{{mvar|x}}. साथ ही, वे सभी व्यंजक नहीं हैं जो के फलन के रूप में अर्थपूर्ण हैं{{mvar|x}} अर्थपूर्ण हैं क्योंकि अभिव्यक्तियाँ औपचारिक श्रृंखला को निर्दिष्ट करती हैं; उदाहरण के लिए, की नकारात्मक और भिन्नात्मक घातयाँ{{mvar|x}} ऐसे कार्यों के उदाहरण हैं जिनके पास संबंधित औपचारिक घात श्रृंखला नहीं है।

== परिभाषाएँ ==

<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty \frac{n!}{ (n-j)!} \, z^n = \frac{j! \cdot z^j}{(1-z)^{j+1}},</math>

<math display="block">\frac{z^k}{(1-z)^{k+1}} = \sum_{i=0}^k \binom{k}{i} \frac{(-1)^{k-i}}{(1-z)^{i+1}},</math>

<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty n^m z^n = \sum_{j=0}^m \begin{Bmatrix} m+1 \\ j+1 \end{Bmatrix} \frac{(-1)^{m-j} j!}{(1-z)^{j+1}}. </math>

=== तर्कसंगत कार्य ===

हम यह भी ध्यान देते हैं कि तर्कसंगत जनक फलनों का वर्ग निश्चित रूप से उन जनक फलनों से मेल खाता है जो प्रपत्र के अर्ध-बहुपद अनुक्रमों की गणना करते हैं <ref name="GFLECT">{{harvnb|Lando|2003|loc=§2.4}}</ref>

<math display="block">f_n = p_1(n) \rho_1^n + \cdots + p_l(n) \rho_l^n, </math>

<math display="block">F(s, t) := \sum_{m,n \geq 0} f(m, n) w^m z^n</math>

इस परिणाम की कई तरह से गणना की जाती है, जिसमें कॉची का अभिन्न सूत्र या [[समोच्च एकीकरण]], जटिल [[अवशेष (जटिल विश्लेषण)]] लेना, या दो चरों में औपचारिक घात श्रृंखला के प्रत्यक्ष हेरफेर द्वारा सम्मिलित है।

<math display="block">(a_0, a_0 + a_1, a_0 + a_1 + a_2, \ldots)</math>

<math display="block">G(a_n; x) \cdot \frac{1}{1-x}</math>

<math display="block">\begin{align}

\int_0^z G(t) \, dt & = \sum_{n = 1}^\infty \frac{g_{n-1}}{n} z^n.

\end{align}</math>

<math display="block"> z^k G^{(k)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^\underline{k} g_n z^n = \sum_{n = 0}^\infty n (n-1) \dotsb (n-k+1) g_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math>

<math display="block"> \sum_{j=0}^k \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} z^j F^{(j)}(z) = \sum_{n = 0}^\infty n^k f_n z^n \quad\text{for all } k \in \mathbb{N}. </math>

==== अनुक्रमों की अंकगणितीय प्रगति की गणना करना ====

<math display="block">\begin{align}

\sum_{n = 0}^\infty f_{2n+1} z^{2n+1} &= \frac{F(z) - F(-z)}{2}.

\end{align}</math>

<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty f_{an+b} z^{an+b} = \frac{1}{a} \sum_{m=0}^{a-1} \omega_a^{-mb} F\left(\omega_a^m z\right).</math>

<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty f_{\left\lfloor \frac{n}{m} \right\rfloor} z^n = \frac{1-z^m}{1-z} F(z^m) = \left(1 + z + \cdots + z^{m-2} + z^{m-1}\right) F(z^m).</math>

जहां गुणांक {{math|''c_i''(''z'')}} तर्कसंगत कार्यों के क्षेत्र में हैं, {{math|ℂ(''z'')}}. समान रूप से, {{math|''F''(''z'')}} होलोनोमिक है यदि सदिश स्थान समाप्त हो गया है {{math|ℂ(''z'')}} इसके सभी व्युत्पादित्स के सेट द्वारा परिमित आयामी है।

<math display="block">\widehat{c}_s(n) f_{n+s} + \widehat{c}_{s-1}(n) f_{n+s-1} + \cdots + \widehat{c}_0(n) f_n = 0,</math>

==== उदाहरण ====

<math display="block">\sum_{n = 0}^\infty \frac{z^n}{(n!)^2}</math>

सभी होलोनोमिक हैं।

<!--Depending on how in depth this article gets on the topic, there are many, many other examples of useful software tools that can be listed here or on this page in another section.-->

=== असतत-समय फूरियर रूपांतरण से संबंध ===

जब श्रृंखला निरपेक्ष अभिसरण,

<math display="block">G \left ( a_n; e^{-i \omega} \right) = \sum_{n=0}^\infty a_n e^{-i \omega n}</math>

<math display="block">G(a_n; x) = \frac{A(x) + B(x) \left (1- \frac{x}{r} \right )^{-\beta}}{x^\alpha}</math>

<math display="block">a_n \sim \frac{B(r)}{r^\alpha \Gamma(\beta)} \, n^{\beta-1}\left(\frac{1}{r}\right)^n \sim \frac{B(r)}{r^{\alpha}} \binom{n+\beta-1}{n}\left(\frac{1}{r}\right)^n = \frac{B(r)}{r^\alpha} \left(\!\!\binom{\beta}{n}\!\!\right)\left(\frac{1}{r}\right)^n\,,</math>

<math display="block">G\left(a_n - \frac{B(r)}{r^\alpha} \binom{n+\beta-1}{n}\left(\frac{1}{r}\right)^n; x \right) = G(a_n; x) - \frac{B(r)}{r^\alpha} \left(1 - \frac{x}{r}\right)^{-\beta}\,.</math>

==== वर्गों के अनुक्रम की स्पर्शोन्मुख वृद्धि ====

==== कैटलन संख्या की स्पर्शोन्मुख वृद्धि ====

[[ कैटलन संख्या ]]ों के लिए सामान्य जनक फलन है

<math display="block">G(C_n; x) = \frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}.</math>

<math display="block">C_n \sim \frac{B(r)}{r^\alpha \Gamma(\beta)} \, n^{\beta-1} \left(\frac{1}{r} \right)^n = \frac{-\frac12}{\left(\frac14\right)^1 \Gamma\left(-\frac12\right)} \, n^{-\frac12-1} \left(\frac{1}{\,\frac14\,}\right)^n = \frac{4^n}{n^\frac32 \sqrt\pi}.</math>

कोई भी कई सूचकांकों के साथ सरणियों के लिए कई चर में जनक फलन को परिभाषित कर सकता है। इन्हें बहुभिन्नरूपी जनक फलन या, कभी-कभी, अति जनक फलन कहा जाता है। दो चरों के लिए, इन्हें प्रायः द्विभाजित जनक फलन कहा जाता है।