समाकल रूपांतर

For other uses, see रूपांतरण (गणित).

गणित में, समाकल रूपांतर एक फलन को उसके मूल फलन स्थान से समाकलन के माध्यम से दूसरे फलन स्पेस में मैप करता है, जहाँ मूल फलन के कुछ गुणों को मूल फलन स्पेस की तुलना में अधिक आसानी से वर्णन और हेरफेर किया जा सकता है। रूपांतरित फलन को सामान्यतः 'इनवर्स परिवर्तन' का उपयोग करके मूल फलन स्थान पर वापस मैप किया जा सकता है।

सामान्य रूप

एक समाकल रूपांतर निम्नलिखित रूप का कोई भी रूपांतर (फलन)T है:

$(Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt$

इस रूपांतरण का इनपुट एक फलन f है, और आउटपुट एक अन्य फलन $Tf$ है। समाकलित रूपान्तरण एक विशेष प्रकार का गणितीय संकारक है।

कई उपयोगी समाकल रूपांतर हैं। प्रत्येक को फलन K के दो वेरिएबल्स, कर्नेल फलन, समाकल कर्नेल या ट्रांसफ़ॉर्म के न्यूक्लियस के विकल्प द्वारा निर्दिष्ट किया गया है

कुछ कर्नेल में एक व्युत्क्रम कर्नेल $K^{-1}(u,t)$ होता है जो (मोटे तौर पर बोलना) एक व्युत्क्रम रूपांतरण देता है:

$f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du$

एक सममित कर्नेल वह है जो दो चरों के अनुमत होने पर अपरिवर्तित रहता है; यह एक कर्नेल फलन $K$ है जैसे कि $K(t,u)=K(u,t)$. समाकल समीकरणों के सिद्धांत में, सममित कर्नेल स्व-संलग्न ऑपरेटरों के अनुरूप होती है।

प्रेरणा

समस्याओं के कई वर्ग हैं जिन्हें हल करना मुश्किल है - या कम से कम काफी बीजगणितीय रूप से - उनके मूल प्रतिनिधित्व में हल करना मुश्किल है। एक समाकल रूपांतर एक समीकरण को उसके मूल डोमेन से दूसरे डोमेन में मैप करता है, जिसमें मूल डोमेन की तुलना में समीकरण में हेरफेर करना और उसे हल करना बहुत आसान हो सकता है। इसके बाद प्राप्त हल को समाकल परिवर्तन के व्युत्क्रम के साथ मूल डोमेन पर वापस मैप किया जा सकता है।

प्रायिकता के कई अनुप्रयोग हैं जो समाकल परिवर्तनों पर निर्भर करते हैं, जैसे मूल्य निर्धारण कर्नेल या स्टोकेस्टिक छूट कारक, या मजबूत आँकड़ों से पुनर्प्राप्त डेटा का चौरसाई; कर्नेल (सांख्यिकी) देखें।

इतिहास

परिमित अंतराल में फलन को व्यक्त करने के लिए रूपांतरण के अग्रदूत फूरियर श्रृंखला थे। बाद में परिमित अंतराल की आवश्यकता को दूर करने के लिए फूरियर रूपांतरण विकसित किया गया था।

फूरियर श्रृंखला का उपयोग करते हुए, समय के किसी भी प्रायोगिक फलन (उदाहरण के लिए एक इलेक्ट्रॉनिक उपकरण के टर्मिनलों पर वोल्टेज) को ज्या और कोज्या के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, प्रत्येक को उपयुक्त रूप से बढ़ाया जाता है (एक स्थिर कारक से गुणा किया जाता है), स्थानांतरित (उन्नत) या समय में मंद) और (आवृत्ति में वृद्धि या कमी)। फूरियर श्रृंखला में ज्या और कोज्या ऑर्थोनॉर्मल आधार का एक उदाहरण हैं।

उपयोग उदाहरण

समाकल रूपांतरणों के अनुप्रयोग के एक उदाहरण के रूप में, लाप्लास रूपांतरण पर विचार करें। यह एक ऐसी तकनीक है जो "समय" डोमेन में "जटिल आवृत्ति" डोमेन कहे जाने वाले समाकल-विभेदक समीकरण में अंतर समीकरण या पूर्णांक-अंतर समीकरणों को मैप करती है। (जटिल आवृत्ति वास्तविक, भौतिक आवृत्ति के समान है। विशेष रूप से, जटिल आवृत्ति s = -σ + iω का काल्पनिक घटक ω आवृत्ति की सामान्य अवधारणा से मेल खाता है, अर्थात, वह दर जिस पर एक साइनसॉइड चक्र होता है, जबकि जटिल आवृत्ति का वास्तविक घटक σ "की डिग्री से मेल खाता है (यानी आयाम की एक घातीय कमी)। जटिल आवृत्ति के संदर्भ में समीकरण को जटिल आवृत्ति डोमेन (जट�