समाकल रूपांतर: Difference between revisions
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गणित में, | गणित में, [[ अभिन्न |समाकल]] रूपांतर एक फलन को उसके मूल [[ समारोह स्थान |फलन स्थान]] से समाकलन के माध्यम से दूसरे फलन स्पेस में मैप करता है, जहाँ मूल फलन के कुछ गुणों को मूल फलन स्पेस की तुलना में अधिक आसानी से वर्णन और हेरफेर किया जा सकता है। रूपांतरित फलन को सामान्यतः 'इनवर्स परिवर्तन' का उपयोग करके मूल फलन स्थान पर वापस मैप किया जा सकता है। | ||
== सामान्य रूप == | == सामान्य रूप == | ||
एक समाकल रूपांतर निम्नलिखित रूप का कोई भी [[ परिवर्तन (फ़ंक्शन) |रूपांतर( | एक समाकल रूपांतर निम्नलिखित रूप का कोई भी [[ परिवर्तन (फ़ंक्शन) |रूपांतर (फलन)]]T है: | ||
:<math>(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt</math> | :<math>(Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt</math> | ||
इस रूपांतरण का इनपुट एक | इस रूपांतरण का इनपुट एक [[ परिवर्तन (फ़ंक्शन) |फलन]] f है, और आउटपुट एक अन्य [[ परिवर्तन (फ़ंक्शन) |फलन]] <math>Tf</math> है। समाकलित रूपान्तरण एक विशेष प्रकार का गणितीय संकारक है। | ||
कई उपयोगी समाकल रूपांतर हैं। प्रत्येक को | कई उपयोगी समाकल रूपांतर हैं। प्रत्येक को फलन K के दो वेरिएबल्स, कर्नेल फलन, समाकल कर्नेल या ट्रांसफ़ॉर्म के न्यूक्लियस के विकल्प द्वारा निर्दिष्ट किया गया है | ||
कुछ कर्नेल में एक व्युत्क्रम कर्नेल <math>K^{-1}( u,t )</math> होता है जो (मोटे तौर पर बोलना) एक व्युत्क्रम रूपांतरण देता है: | कुछ कर्नेल में एक व्युत्क्रम कर्नेल <math>K^{-1}( u,t )</math> होता है जो (मोटे तौर पर बोलना) एक व्युत्क्रम रूपांतरण देता है: | ||
:<math>f(t) = \int_{u_1}^{u_2} (Tf)(u)\, K^{-1}( u,t )\, du</math> | :<math>f(t) = \int_{u_1}^{u_2} (Tf)(u)\, K^{-1}( u,t )\, du</math> | ||
एक सममित कर्नेल वह है जो दो चरों के अनुमत होने पर अपरिवर्तित रहता है; यह एक कर्नेल | एक सममित कर्नेल वह है जो दो चरों के अनुमत होने पर अपरिवर्तित रहता है; यह एक कर्नेल फलन <math>K</math> है जैसे कि <math>K(t, u) = K(u, t)</math>. समाकल समीकरणों के सिद्धांत में, सममित कर्नेल स्व-संलग्न ऑपरेटरों के अनुरूप होती है।<ref> Chapter 8.2, Methods of Theoretical Physics Vol. I (Morse & Feshbach)</ref> | ||
== प्रेरणा == | == प्रेरणा == | ||
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== इतिहास == | == इतिहास == | ||
परिमित अंतराल में | परिमित अंतराल में फलन को व्यक्त करने के लिए रूपांतरण के अग्रदूत फूरियर श्रृंखला थे। बाद में परिमित अंतराल की आवश्यकता को दूर करने के लिए [[ फूरियर रूपांतरण |फूरियर रूपांतरण]] विकसित किया गया था। | ||
फूरियर श्रृंखला का उपयोग करते हुए, समय के किसी भी प्रायोगिक | फूरियर श्रृंखला का उपयोग करते हुए, समय के किसी भी प्रायोगिक फलन (उदाहरण के लिए एक [[ इलेक्ट्रॉनिक उपकरण |इलेक्ट्रॉनिक उपकरण]] के टर्मिनलों पर [[ वोल्टेज |वोल्टेज]]) को ज्या और [[ कोज्या |कोज्या]] के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, प्रत्येक को उपयुक्त रूप से बढ़ाया जाता है (एक स्थिर कारक से गुणा किया जाता है), स्थानांतरित (उन्नत) या समय में मंद) और (आवृत्ति में वृद्धि या कमी)। फूरियर श्रृंखला में ज्या और कोज्या ऑर्थोनॉर्मल आधार का एक उदाहरण हैं। | ||
== उपयोग उदाहरण == | == उपयोग उदाहरण == | ||
समाकल रूपांतरणों के अनुप्रयोग के एक उदाहरण के रूप में, [[ लाप्लास रूपांतरण |लाप्लास रूपांतरण]] पर विचार करें। यह एक ऐसी तकनीक है जो "समय" डोमेन में "जटिल आवृत्ति" डोमेन कहे जाने वाले | समाकल रूपांतरणों के अनुप्रयोग के एक उदाहरण के रूप में, [[ लाप्लास रूपांतरण |लाप्लास रूपांतरण]] पर विचार करें। यह एक ऐसी तकनीक है जो "समय" डोमेन में "जटिल आवृत्ति" डोमेन कहे जाने वाले [[ अभिन्न-विभेदक समीकरण |समाकल-विभेदक समीकरण]] में [[ अंतर समीकरण |अंतर समीकरण]] या पूर्णांक-अंतर समीकरणों को मैप करती है। (जटिल आवृत्ति वास्तविक, भौतिक आवृत्ति के समान है। विशेष रूप से, जटिल आवृत्ति s = -σ + iω का काल्पनिक घटक ω आवृत्ति की सामान्य अवधारणा से मेल खाता है, अर्थात, वह दर जिस पर एक साइनसॉइड चक्र होता है, जबकि जटिल आवृत्ति का वास्तविक घटक σ "की डिग्री से मेल खाता है (यानी आयाम की एक घातीय कमी)। जटिल आवृत्ति के संदर्भ में समीकरण को जटिल आवृत्ति डोमेन (जटिल में बहुपद समीकरणों को आसानी से हल किया जाता है। फ़्रीक्वेंसी डोमेन, टाइम डोमेन में [[ eigenvalues |आइगेन मान]] के अनुरूप है), जो फ़्रीक्वेंसी डोमेन में तैयार किए गए समाधान के लिए अग्रणी है। यह व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को नियोजित करना, अर्थात, मूल लाप्लास परिवर्तन की व्युत्क्रम प्रक्रिया, एक टाइम-डोमेन समाधान प्राप्त करना इत्यादि काम करता है। इस उदाहरण में, जटिल आवृत्ति डोमेन (आमतौर पर भाजक में होने वाली) में बहुपद समय डोमेन में शक्ति श्रृंखला के अनुरूप होते हैं, जबकि जटिल आवृत्ति डोमेन में अक्षीय बदलाव समय डोमेन में क्षयकारी घातांक द्वारा अवमंदन के अनुरूप होते हैं। | ||
लाप्लास परिवर्तन भौतिकी में और विशेष रूप से इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में व्यापक अनुप्रयोग | लाप्लास परिवर्तन का भौतिकी में और विशेष रूप से इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में व्यापक अनुप्रयोग है, जहां विशेषता समीकरण (कैलकुलस) जो जटिल आवृत्ति डोमेन में एक विद्युत परिपथ के व्यवहार का वर्णन करता है, वह उस समय में घातीय रूप से स्केल किए गए और समय-स्थानांतरित अवमंदित साइनसॉइड के रैखिक संयोजनों के अनुरूप होता है। अन्य समाकल परिवर्तन अन्य वैज्ञानिक और गणितीय विषयों के भीतर विशेष प्रयोज्यता पाते हैं। | ||
एक अन्य उपयोग उदाहरण पथ समाकल सूत्रीकरण में कर्नेल है | एक अन्य उपयोग उदाहरण पथ समाकल सूत्रीकरण में कर्नेल है: | ||
:<math>\psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x',t') K(x,t; x', t') dx'.</math> | :<math>\psi(x,t) = \int_{-\infty}^\infty \psi(x',t') K(x,t; x', t') dx'.</math> | ||
यह बताता है कि कुल आयाम <math>\psi(x,t)</math>, <math>(x,t)</math> पर पहुँचने के लिए सभी संभावित मानों का योग <math>x'</math> कुल आयाम का <math>\psi(x',t')</math> बिंदु पर पहुंचने के लिए <math>(x',t')</math> <math>x'</math> को <math>x</math> से जाने के लिए आयाम से गुणा {{large|[}}अर्थात। <math>K(x,t;x',t')</math>{{large|]}} करके प्राप्त होता है <ref>Eq 3.42 in Feynman and Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, emended edition:</ref> इसे अक्सर किसी दिए गए सिस्टम के[[ प्रचारक ]]के रूप में जाना जाता है। यह कर्नेल समाकल परिवर्तन का कर्नेल है। हालाँकि, प्रत्येक क्वांटम सिस्टम के लिए, एक अलग कर्नेल होता<ref>[http://physics.stackexchange.com/questions/156273/mathematically-what-is-the-kernel-in-path-integral Mathematically, what is the kernel in path integral?]</ref> है। | यह बताता है कि कुल आयाम <math>\psi(x,t)</math>, <math>(x,t)</math> पर पहुँचने के लिए सभी संभावित मानों का योग <math>x'</math> कुल आयाम का <math>\psi(x',t')</math> बिंदु पर पहुंचने के लिए <math>(x',t')</math> <math>x'</math> को <math>x</math> से जाने के लिए आयाम से गुणा {{large|[}}अर्थात। <math>K(x,t;x',t')</math>{{large|]}} करके प्राप्त होता है <ref>Eq 3.42 in Feynman and Hibbs, Quantum Mechanics and Path Integrals, emended edition:</ref> इसे अक्सर किसी दिए गए सिस्टम के[[ प्रचारक ]]के रूप में जाना जाता है। यह कर्नेल समाकल परिवर्तन का कर्नेल है। हालाँकि, प्रत्येक क्वांटम सिस्टम के लिए, एक अलग कर्नेल होता<ref>[http://physics.stackexchange.com/questions/156273/mathematically-what-is-the-kernel-in-path-integral Mathematically, what is the kernel in path integral?]</ref> है। | ||
== रूपांतरों की तालिका == | == रूपांतरों की तालिका == | ||
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| <math>\infty</math> | | <math>\infty</math> | ||
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| | | [[Abel transform|एसोसिएटेड लीजेंड्रे ट्रांसफॉर्म]] | ||
| <math>\mathcal{J}_{n,m}</math> | | <math>\mathcal{J}_{n,m}</math> | ||
| <math>(1-x^2)^{-m/2}P^{m}_n(x)</math> | | <math>(1-x^2)^{-m/2}P^{m}_n(x)</math> | ||
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== विभिन्न डोमेन == | == विभिन्न डोमेन == | ||
यहां वास्तविक संख्याओं पर समाकल रूपांतर के लिए | यहां वास्तविक संख्याओं पर समाकल रूपांतर के लिए फलन परिभाषित किए गए हैं, लेकिन समूह फलन के लिए उन्हें सामान्यतः परिभाषित किया जा सकता है। | ||
* यदि इसके बजाय कोई वृत्त (आवर्ती | * यदि इसके बजाय कोई वृत्त (आवर्ती फलन) पर फलन का उपयोग करता है, तो समाकल कर्नेल बाइपेरियोडिक फलन की तरह कार्य करता है; वृत्त पर फलन द्वारा कनवल्शन से [[ गोलाकार घुमाव |गोलाकार कनवल्शन]] प्राप्त होता है। | ||
* यदि क्रम n के [[ चक्रीय समूह |चक्रीय समूह ({{math|''C<sub>n</sub>''}} या {{math|'''Z'''/''n'''''Z'''}})]]पर | * यदि क्रम n के [[ चक्रीय समूह |चक्रीय समूह ({{math|''C<sub>n</sub>''}} या {{math|'''Z'''/''n'''''Z'''}})]]पर फलन का उपयोग किया जाता है, तो समाकल कर्नेल के रूप में n × n मैट्रिक्स प्राप्त होता है; कनवल्शन [[ परिसंचारी मैट्रिसेस |परिसंचारी मैट्रिसेस के अनुरूप है]]। | ||
== सामान्य सिद्धांत == | == सामान्य सिद्धांत == | ||
हालांकि समाकल रूपांतर के गुण व्यापक रूप से भिन्न होते हैं, लेकिन उनमें कुछ गुण समान होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक समाकल रूपांतर एक[[ रैखिक ऑपरेटर ]]है, क्योंकि समाकल एक लीनियर ऑपरेटर है, और वास्तव में यदि कर्नेल को एक सामान्यीकृत | हालांकि समाकल रूपांतर के गुण व्यापक रूप से भिन्न होते हैं, लेकिन उनमें कुछ गुण समान होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक समाकल रूपांतर एक[[ रैखिक ऑपरेटर ]]है, क्योंकि समाकल एक लीनियर ऑपरेटर है, और वास्तव में यदि कर्नेल को एक सामान्यीकृत फलन होने की अनुमति है, तो सभी लीनियर ऑपरेटर समाकल रूपांतर होते हैं (इस कथन का एक उचित रूप से तैयार किया गया संस्करण [[ श्वार्ट्ज कर्नेल प्रमेय |श्वार्ट्ज कर्नेल प्रमेय]])। | ||
ऐसे [[ अभिन्न समीकरण |समाकल समीकरण]] के सामान्य सिद्धांत को [[ फ्रेडहोम सिद्धांत |फ्रेडहोम सिद्धांत]] के रूप में जाना जाता है। इस सिद्धांत में, कर्नेल को एक [[ कॉम्पैक्ट ऑपरेटर |कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]] के रूप में समझा जाता है जो फ़ंक्शन के बैनच स्थान पर कार्य करता है। स्थिति के आधार पर, कर्नेल को विभिन्न प्रकार से [[ फ्रेडहोम ऑपरेटर |फ्रेडहोम ऑपरेटर]], [[ परमाणु ऑपरेटर |परमाणु ऑपरेटर]] या [[ फ्रेडहोम कर्नेल |फ्रेडहोम कर्नेल]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। {{colbegin}} | ऐसे [[ अभिन्न समीकरण |समाकल समीकरण]] के सामान्य सिद्धांत को [[ फ्रेडहोम सिद्धांत |फ्रेडहोम सिद्धांत]] के रूप में जाना जाता है। इस सिद्धांत में, कर्नेल को एक [[ कॉम्पैक्ट ऑपरेटर |कॉम्पैक्ट ऑपरेटर]] के रूप में समझा जाता है जो फ़ंक्शन के बैनच स्थान पर कार्य करता है। स्थिति के आधार पर, कर्नेल को विभिन्न प्रकार से [[ फ्रेडहोम ऑपरेटर |फ्रेडहोम ऑपरेटर]], [[ परमाणु ऑपरेटर |परमाणु ऑपरेटर]] या [[ फ्रेडहोम कर्नेल |फ्रेडहोम कर्नेल]] के रूप में संदर्भित किया जाता है। {{colbegin}} | ||
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