एबेलियन समूह: Difference between revisions
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गणित में, एक एबेलियन समूह, जिसे कम्यूटेटिव समूह भी कहा जाता है, एक ऐसा [[समूह (गणित)]] होता है जिसमें दो समूह तत्वों पर समूह संक्रिया को लागू करने का परिणाम उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें वे लिखे गए हैं। अर्थात्, समूह संक्रिया [[विनिमेय|क्रमविनिमेय]] है। एक ऑपरेशन के रूप में जोड़ के साथ, [[पूर्णांक]] और [[वास्तविक संख्या]] एबेलियन समूह बनाते हैं, और एक एबेलियन समूह की अवधारणा को इन उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। एबेलियन समूहों का नाम 19वीं सदी के प्रारम्भ में गणितज्ञ [[नील्स हेनरिक एबेल]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{Harvard citation text|Jacobson|2009}} p. 41</ref> | गणित में, एक '''एबेलियन समूह''', जिसे कम्यूटेटिव समूह भी कहा जाता है, एक ऐसा [[समूह (गणित)]] होता है जिसमें दो समूह तत्वों पर समूह संक्रिया को लागू करने का परिणाम उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें वे लिखे गए हैं। अर्थात्, समूह संक्रिया [[विनिमेय|क्रमविनिमेय]] है। एक ऑपरेशन के रूप में जोड़ के साथ, [[पूर्णांक]] और [[वास्तविक संख्या]] एबेलियन समूह बनाते हैं, और एक एबेलियन समूह की अवधारणा को इन उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। एबेलियन समूहों का नाम 19वीं सदी के प्रारम्भ में गणितज्ञ [[नील्स हेनरिक एबेल]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{Harvard citation text|Jacobson|2009}} p. 41</ref> | ||
एक एबेलियन समूह की अवधारणा कई मौलिक [[बीजगणितीय संरचना|बीजगणितीय संरचनाओं]] को रेखांकित करती है, जैसे [[क्षेत्र (गणित)|फ़ील्ड्स]], वलय्स, वेक्टर रिक्त स्थान और [[एक क्षेत्र पर बीजगणित|बीजगणित]]। एबेलियन समूहों का सिद्धांत आम तौर पर उनके [[गैर-अबेलियन समूह|गैर-अबेलियन]] समकक्षों की तुलना में सरल होता है, और परिमित एबेलियन समूहों को बहुत अच्छी तरह से समझा जाता है और पूरी तरह से वर्गीकृत किया जाता है। | एक एबेलियन समूह की अवधारणा कई मौलिक [[बीजगणितीय संरचना|बीजगणितीय संरचनाओं]] को रेखांकित करती है, जैसे [[क्षेत्र (गणित)|फ़ील्ड्स]], वलय्स, वेक्टर रिक्त स्थान और [[एक क्षेत्र पर बीजगणित|बीजगणित]]। एबेलियन समूहों का सिद्धांत आम तौर पर उनके [[गैर-अबेलियन समूह|गैर-अबेलियन]] समकक्षों की तुलना में सरल होता है, और परिमित एबेलियन समूहों को बहुत अच्छी तरह से समझा जाता है और पूरी तरह से वर्गीकृत किया जाता है। | ||
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Latest revision as of 12:02, 4 September 2023
गणित में, एक एबेलियन समूह, जिसे कम्यूटेटिव समूह भी कहा जाता है, एक ऐसा समूह (गणित) होता है जिसमें दो समूह तत्वों पर समूह संक्रिया को लागू करने का परिणाम उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें वे लिखे गए हैं। अर्थात्, समूह संक्रिया क्रमविनिमेय है। एक ऑपरेशन के रूप में जोड़ के साथ, पूर्णांक और वास्तविक संख्या एबेलियन समूह बनाते हैं, और एक एबेलियन समूह की अवधारणा को इन उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। एबेलियन समूहों का नाम 19वीं सदी के प्रारम्भ में गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है।[1]
एक एबेलियन समूह की अवधारणा कई मौलिक बीजगणितीय संरचनाओं को रेखांकित करती है, जैसे फ़ील्ड्स, वलय्स, वेक्टर रिक्त स्थान और बीजगणित। एबेलियन समूहों का सिद्धांत आम तौर पर उनके गैर-अबेलियन समकक्षों की तुलना में सरल होता है, और परिमित एबेलियन समूहों को बहुत अच्छी तरह से समझा जाता है और पूरी तरह से वर्गीकृत किया जाता है।
| बीजगणितीय संरचना → 'समूह सिद्धांत' समूह सिद्धांत |
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परिभाषा
एबेलियन समूह एक समुच्चय है, जिसमें ऑपरेशन ⋅ है जो ए के किसी भी दो तत्वों और को के दूसरे तत्व बनाने के लिए जोड़ता है, जिसे कहा जाता है। प्रतीक ⋅ ठोस रूप से दिए गए ऑपरेशन के लिए एक सामान्य प्लेसहोल्डर है। एक एबेलियन समूह के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, सेट और ऑपरेशन, को चार आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए, जिसे एबेलियन समूह स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाता है (कुछ लेखकों ने सिद्धांतों में कुछ गुण सम्मिलित किए हैं जो एक ऑपरेशन की परिभाषा से संबंधित हैं: अर्थात। के तत्वों की किसी भी आदेशित जोड़ी के लिए ऑपरेशन परिभाषित किया गया है, परिणाम अच्छी तरह परिभाषित है, और परिणाम A से संबंधित है):
संबद्धता
सभी के लिए , , तथा में , समीकरण रखती है।
तत्समक अवयव
एक तत्व मौजूद है में , जैसे कि सभी तत्वों के लिए में , समीकरण रखती है।
व्युत्क्रम तत्व
प्रत्येक के लिए में एक तत्व मौजूद है में ऐसा है कि , कहाँ पे